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算数予想問題
第10回 は『文章題(2)』です。割合や比に関する文章題を学習します。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表記します。また、〇の中に数を入れた表示は、文字化けしますので、マル1 のように表します。
まずは、マルイチ計算が使えるように、トレーニングしましょう。また、割合を含むやり取り問題は、流れ図(やり取りを図にしたもの)をかいた上で必ずマスターしておいてください。
マルイチ計算を使えるようにしましょう。
相当算の問題です。問題の整頓は、線分図を書きますが、予習シリーズ124ページの解き方にある線分図を参照してください。はじめの折り紙の枚数をマル1とします。1回目に使った折り紙の枚数は、(マル1/3＋5)枚となります。この時の残りは、(1－1/3＝)2/3より5枚少なくなっていますので、残りは、(マル2/3－5)枚になります。2回目に使った折り紙は、この残りの枚数の4/7より3枚多く使いました。つまり、(マル2/3－5)×4/7＋3で、分配法則によりかっこをはずすと、マル2/3×4/7－5×4/7＋3＝マル8/21－20/7＋3＝マル8/21＋1/7 となります。この後の残りが、マル1/5ですから、1回目と2回目に使った折り紙の枚数に残りを加えるともとの枚数になりますので、マル1/3＋5＋マル8/21＋1/7＋マル1/5＝マル1 となります。まとめると、マル(1/3＋8/21＋1/5)＋(5＋1/7)＝マル1から、マル32/35＋36/7＝マル1、よって、36/7÷(1－32/35)＝60 より、はじめにあった折り紙の枚数は60枚です。
この問題のように、複雑なマルイチ計算もできるようにトレーニングしましょう。解ける問題が増えます。
割合を含むやり取りの問題を学習します。
やり取りの問題です。予習シリーズ125ページの解き方にあるやり取りの流れ図を参照してください。自分でこの図が書けるようにしましょう。合計48個の栗は、やり取り後に3人が持っている個数が等しくなったということから、(48÷3＝)16個ずつになりました。
(1) Cにわたす前にBが持っていた個数は、流れ図のアの個数です。そのとき持っていた個数アの3/7をCにわたしましたので、残りは(1－3/7＝)4/7ですが、これが16個です。残りの割合を考えることがポイントになります。よって、16÷4/7＝28 より、アは28個でした。
(2) Aは、はじめに持っていた個数イの1/5をBにわたしたので、残りは(1－1/5＝)4/5で、これが16個です。16÷4/5＝20 より、Aがはじめにもっていた個数イは20個でした。20個のうちの1/5をBにわたしたところ、Bは28個になったのですから、28－20×1/5＝24 より、はじめにBが持っていた個数ウは、24個です。
倍数算を考えます。
マルイチ計算による倍数算です。倍数算は、和不変、差不変の他に、不変になるものが無い問題があります。この問題の解法として、マルイチ計算による解法を学習します。はじめ、兄と弟の持っているカードの枚数の比は、4：1です。この比の数をマル4、マル1として進めます。兄は3枚なくしたので、(マル4－3)枚になり、弟は友だちから8枚もらったので、(マル1＋8)枚になりました。その結果5：3になったことから、比例式にすると、(マル4－3)：(マル1＋8)＝5：3 と表されます。比例式の性質（内項の積は外項の積に等しい）により、(マル4－3)×3＝(マル1＋8)×5 より、マル12－9＝マル5＋40 となります。ここで、線分図をかくとより理解できます。予習シリーズ126ページの解き方にある図を参照してください。マル(12－5)＝40＋9 ですから、マル1＝49÷7＝7 となります。はじめに兄が持っていたカードの枚数はマル4でしたから、7×4＝28 より、28枚です。
売買損益を考えます。
複数個仕入れた場合の売買損益の問題です。リンゴを1個60円で□個仕入れて販売します。品物(リンゴ)が「完売(仕入れた個数がすべて売れた状態)の場合」には、1個の利益(売った値段－仕入れた値段)に仕入れ個数をかければ利益になります。つまり、(100－60)×□＝利益合計です。この計算を利用するため、完売にした状態にして考えます。そのため、捨てた15個も100円で売ったことにします。100×15＝1500円の売り上げになりますが、その前に、仕入れ合計をすべて実際の売上合計から引いて利益(3300円)を計算してあるので、この1500円はすべて利益になります。つまり、完売すると利益は、3300＋1500＝4800円になります。(100－60)×□＝4800 より、□＝4800÷40＝120より、仕入れた個数は、120個です。
第11回は『場合の数-ならべ方-』です。ここでは、和の法則と積の法則の違いを学習します。また、並べ方（順列とも言います）の基本も学習します。
和の法則と積の法則を使い分けられるように、問題文の読み取りに注意して練習を重ねましょう。また、道順の問題、ぬり分け問題は、この回で必ずマスターしましょう。
和の法則について学習します。
さいころの出た目の和の問題です。
（区別のつく）大小2個のさいころを同時に1回ふって、出た目の合計が4以下になる目の出方が何通りあるかを考えます。
目の合計が4以下になるのは、4、3、2の場合です。目の出方を(大,小)の形で表しますと、
ア) 4の場合 (1,3)、(2,2)、(3,1) の3通り
イ) 3の場合 (1,2)、(2,1) の2通り
ウ) 2の場合 (1,1) の1通り
よって、3＋2＋1＝6 より、出た目の合計が4以下になるのは、6通りです。
このように、複数のことがら（和が4、3、2になる場合）が同時にはおこらないとき、別々の場合に分けて場合の数を考え、結果をたし算することを、和の法則といいます。
なお、例題2の道順の問題も、和の法則と考えられます。
ごばんの目の形をした道を進む道順の問題です。P地点からQ地点まで最短距離（遠回りしない最も短い道のり）で行く道順が何通りあるかを考えます。最短距離ですので、この問題では、右方向か上方向に進むことで、左方向や下方向に進むことはできません。
基本は、ある道の角(かど)まで行くには、どの角を通って行けるかを考えることです。予習シリーズ116ページの解き方にある図を参照して下さい。
P→A（角Pから角Aに行くことを表します）は1通りの行き方しかありません。そこで、角Aに1とかいておきます。A→Bも1通りですので、角Bにも1とかきます。
同様に、P→C→D→Eもそれぞれ1通りなので、角C、角D、角Eにそれぞれ1とかきます。次に、角Fには、A→F、C→Fの2通りあります。そこで、角Fに2とかきます。
このように、それぞれの角に、前（横とたて）の角に書かれた数を合計した数をかいていきます。この後も、角ごとに合計の数を書き込んでいきます。
結果として、ゴールの角Qは、左どなりの角の6と、下の角の4を合計して6＋4＝10となりますので、P地点からQ地点までの行き方は10通りです。
角に入れる数はその角に着くのに何通りあるかの数、という基本的な考え方をしっかり覚えておいてください。ただ角の数を足す、とだけ覚えてしまうと、応用問題に対応できなくなりますので、注意しましょう。
積の法則について学習します。
A地点、B地点、C地点を結ぶ道において、行き方が何通りあるかを考える問題です。
(1) A地点からB地点を通ってC地点まで行く道順が何通りあるかを考えます。
A地点からB地点まで3本の道がありますので、A→B(AからBへ行く)の行き方は3通りあります。また、B地点からC地点まで4本の道がありますので、B→Cは4通りあります。どの道を通ってもよいので、A→Bの3通りそれぞれに、B→Cの4通りがありますので、3×4＝12より、A地点からC地点まで行く道順は、全部で12通りになります。
(2) A地点とC地点の間を往復するとき、行きに通った道は帰りには通れないとする条件で道順が何通りあるかを考えます。
行きは、(1)の結果である12通りです。帰りには、C→Bは、4本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り3本ですから、3通りあります。同様に、B→Aも3本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り2本ですから、2通りとなります。
よって、帰りは、3×2＝6より、6通りです。
往復では、行きの12通りのそれぞれに帰りの6通りがありますので、12×6＝72より、往復の道順は72通りです。
このように、複数のことがらが、続けて起こる場合や、同時に起こる場合の計算は、それぞれの場合の数をかけ算します。これを、積の法則といいます。
ならべ方(順列)について学習します。
何人かの人やいくつかの物を並べる問題です。並べ方の問題、または、順列の問題といわれるものです。
父をA、母をB、兄をC、妹をDとします。
(1) 左から1番目には、A、B、C、Dの誰が並んでもよいので4通りあります。 2番目には、1番目に並んだ人を除く3人のうちの誰が並んでもよいので3通りです。 3番目には、1番目、2番目に並んだ人を除く2人のうちのどちらでもよいので2通りとなります。
4番目には、残りの1人がくる1通りです。続けて並んでいきますので、積の法則を使って、4×3×2×1＝24より、4人の並び方は24通りあります。
(2) 両はしのA、Bの並び方は、A○○Bとするか、B○○Aとするかの2通りです。
中のC、Dのならび方は、□CD□とするか、□DC□とするかの2通りです。 2つのことがらが同時に起こりますので、積の法則を使って、2×2＝4より、並び方は、4通りです。
数字を並べる問題です。0、1、2、3の数字が書いてある4枚のカードのうちの3枚を並べる問題です。0が含まれるタイプの問題は慎重に取り組む必要がありますので、気をつけてください。
(1) 百の位には、0以外のカードならどれでもよいので、3通りの置き方ができます。
十の位には、百の位に置いたカード以外の3枚のどれでもよいので、3通りあります。
一の位には、百の位、十の位に置いたカード以外の2枚のどれでもよいので、2通りとなります。
続けて置きますので、積の法則で、3×3×2＝18より、18通りの整数ができます。
(2) 偶数にするには、一の位が0か、2でなければなりません。このとき、百の位には0は置けませんので、その関係から、場合分けをします。
ア) 一の位に0を置くとき。
百の位は、(1か2か3の)3通り。十の位は、一の位に置いた0と百の位に置いたカード以外の2通り。よって、3×2＝6より、6通りの整数ができます。
イ) 一の位に2を置くとき。
百の位は、0と2のカード以外の2通り。十の位は、一の位と百の位に置いたカード以外の2通り。よって、2×2＝4より、4通りの整数ができます。
アの場合とイの場合は別々に起こりますから、和の法則により、6＋4＝10となり、偶数は、10通りできます。
ぬり分けの問題です。いくつかの部分を色でぬり分けます。このとき、となり合う部分に同じ色を使うことはできません。
｛赤、青、黄、緑｝のうちの何色かを使って、ア～エの4つの部分をぬり分けます。
(1) 4色全部を使ってぬるとき。
ア、イ、ウ、エの順にぬることにして、
アは、4色のうちどの色もぬれるので4通り。イは、アに使った色以外の3通り。ウは、アとイに使った色以外の2通り。エは、残りの1色で1通り。続けてぬりますので、積の法則により、4×3×2×1＝24 より、色のぬり方は24通りあります。
(2) 3色を使ってぬるとき。
3色を使いますので、3つの部分にグループ分けをしなければなりません。
(a) アは、ウと同じ色を使うことができますので、(ア＝ウ、イ、エ)の3グループでぬり分けることができます。
(b) また、アは、エと同じ色を使うこともできますので、(ア＝エ、イ、ウ)の3グループでぬり分けます。
(c) イはエと同じ色を使うことができますので、(ア、イ＝エ、ウ)の3グループでぬり分けます。
どの場合も、ぬり方は、1番目の場所は、4色のどれでも使えますので、4通り。2番目の場所は、残りの3色が使えますので、3通り。3番目の場所は、残りの2色が使えますので、2通り。
よって、(a)、(b)、(c)のどのグループも、それぞれ、4×3×2＝24通りですので、全体で、24×3＝72（本来、場合分けしましたので、和の法則により72を3つたします。）より、色のぬり方は72通りになります。
第11回は『三角形の面積』です。
三角形の面積計算は、基本的には正方形、長方形、平行四辺形の面積の、半分あるいは4等分を考えます。
面積計算の公式を使えるようにすることがポイントですが、その要素である底辺と高さは、垂直になっていなければならないことを忘れないでください。
直角三角形の面積を求める計算を学習します。予習シリーズ100ページの説明を理解しましょう。
直角三角形の面積計算です。解き方の図を参照してください。
(1) 同じ直角三角形を2つ組み合わせて長方形として、その面積を半分(÷2)にします。よって、たて4cm、横7cmの長方形の面積を2で割ります。
4×7÷2＝14 より、この直角三角形の面積は、14平方cmです。
(2) 同じ直角三角形を2つ組み合わせると正方形になります。その面積を半分にします。
6×6÷2＝18 より、この直角三角形の面積は、18平方cmです。
(3) 同じ直角三角形を4つ組み合わせると正方形になります。その面積を4等分します。
6×6÷4＝9より、この直角二等辺三角形の面積は、9平方cmです。
直角三角形ではない(直角のない)、普通の三角形の面積を求める計算を学習します。
予習シリーズページ102ページの説明をしっかり理解しましょう。基本は、1本の対角線で平行四辺形を分けた形が三角形である、と考えることです。平行四辺形の面積＝底辺×高さより、「三角形の面積＝底辺×高さ÷2」となります。
また、平行四辺形の面積の求め方で学習したように、三角形においても底辺と高さは、必ず垂直の関係になっていることを忘れないようにしてください。
一般的な三角形の面積をもとめる問題です。
(1) 底辺は12cm、高さは7cmです。
12×7÷2＝42より、この三角形の面積は、42平方cmです。
(2) 底辺と高さは垂直の関係になっていなければならないので、底辺は9cm、高さは8cmです。
よって、9×8÷2＝36より、この三角形の面積は、36平方cmです。
(3) 6cmの辺を底辺として、この辺をのばした直線に垂直な4cmが高さになります。
よって、6×4÷2＝12より、この三角形の面積は、12平方cmです。
高さを5cmとしないように注意しましょう。
公式の使えない図形の面積を求める考え方を学習します。
公式が使える図形に分けたり(分割したり)、図形を付け加えた面積から付け加えて面積を引いて求める問題を考えます。
（面積公式の使えない）一般的な四角形の面積を求める問題です。
2通りの求め方を説明します。予習シリーズ104ページの解き方にある図を参照してください。この図の頂点の記号を使って説明します。
(求め方1)
四角形ABCDを三角形ABCと三角形ADCに分けて、三角形の面積を合計します。
三角形ABCは、底辺5cm、高さ8cmですから、5×8÷2＝20平方cmです。
また、三角形ADCは、底辺6cm、高さ5＋5＝10cmですから、6×10÷2＝30平方cmです。
よって、20＋30＝50より、四角形ABCDの面積は、50平方cmです。
(求め方2)
四角形ABCDの面積は、台形AECDの面積から三角形BECの面積をひいて求めます。台形AECDは、上底6cm、下底8cm、高さ5＋5＝10cmですから、(6＋8)×10÷2＝70平方cmです。
三角形BECは、底辺8cm、高さ5cmですから。8×5÷2＝20平方cmです。
よって、70－20＝50より、四角形ABCDの面積は、50平方cmです。
多角形の面積は、前回に学習した四角形、今回学習した三角形を利用して面積計算をします。多角形を、四角形や三角形に分けて計算した上で合計して面積を求めるか、引いて面積を求めるかの2通りを考えて求めていきます。上級学年で学習する面積も、ここから始まりますので、きちんと身に付けておきましょう。
やや難しい問題を考えます。
面積計算の逆算を考えますが、その面積がわからない問題です。
長方形のたての長さ(6＋3＝)9cmを高さとして、□を底辺とする三角形がみえます。この三角形の面積がわかれば、□は求まります。
この三角形の一部である、色のついていない部分の三角形をウとします。このウは、アの部分と合わせると、底辺12cm、高さ6cmの(直角)三角形になります。
三角形アと、四角形イは面積が等しいので、それぞれに三角形ウを加えると、ア＝イ より、ア＋ウ＝イ＋ウ となり、2つの三角形の面積は等しいことになります。式にすると、12×6÷2＝□×9÷2 となりますので、□×9÷2＝36 です。
よって、36×2÷9＝8 より、□は、8cmです。
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