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＜算数　6年上　第14回＞

　第14回は『総合(第10回～第13回)』です。基本問題において、第10回から第13回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。

＜今回のポイント＞

　総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】

[練習問題1]

　食塩水の問題です。
　2つの容器AとBに入っている食塩水から、同じ重さの食塩水をくみ出して、たがいに移しかえたところ、A、B両方の濃度が等しくなりました。この条件がポイントです。A、B間のやりとりですから、両方の食塩水の合計は変わらず、食塩の合計もかわりません。濃度が等しくなったという、この濃度は、AとBをすべて混ぜたときの濃度と同じということです。
(1) AとBをすべて混ぜたときの濃度を求めます。食塩水の合計は、400＋600＝1000ｇで、食塩の合計は、400×0.1＋600×0.05＝70ｇです。よって、70÷1000×100＝7 より、食塩水の濃度は、7％です。
(2) くみ出した同じ重さの食塩水を□ｇとして、容器Aで考えます。Aの濃度10％で(400－□)ｇの食塩水と、Bからの濃度5％で□ｇの食塩水を混ぜて、7％の食塩水が400ｇできたことになります。予習シリーズ別冊「解答と解説」79ページの面積図を参照して下さい。図のアとイの面積は等しいですから、食塩水の重さの比は、濃度の差の逆比になります。　　 食塩水の重さの比は、1/(10－7)：1/(7－5)＝2：3 です。よって、Aの食塩水は合計400ｇを2：3に分けたうちの、3を求めます。□＝400÷(2＋3)×3＝240 より、くみ出した食塩水の重さは、240ｇです。

【対策ポイント2】

[練習問題2]

　既約分数に関する問題で、周期を考える問題です。
(1) 0より大きく1より小さい、分母72の既約分数が何個あるかを考えます。72を素因数分解すると、72＝2×2×2×3×3 ですので、分子が2や3の倍数のとき約分できてしまいます。したがって、(分子が)1から71までの数で2や3の倍数をのぞいた個数を求めることになります。2と3の最小公倍数である6までの数｛1，2，3，4，5，6｝の中で、2と3の倍数をのぞくと｛1，5｝が残ります。この先も同様に、｛7，8，9，10，11，12｝の中で｛7，11｝と、6個1組の中の2個が残ります。この2個は、どれも6でわったときのあまりが1か5となる数です。よって、71÷6＝11組あまり5 となり、あまりの5個のうちに2個ありますので、2×11＋2＝24 より，分母72の既約分数は、24個あります。
(2) 0より大きく1より小さい、分母180の既約分数が何個あるかを考えます。(1)と同様に考えて、素因数分解 180＝2×2×3×3×5 より，分子が2や3や5の倍数をのぞきます。　　 2、3、5の最小公倍数である30までの数の中で、2、3、5の倍数をのぞくと｛1，7，11，13，17，19，23，29｝の8個が残ります。よって，179÷30＝5組あまり29 となり、あまりの29個のうちには、8個ありますので、8×5＋8＝48 より、分母180の既約分数は、48個あります。
(3) 分子を書き出すと、1，7，11，……，169，173，179 です。これらの数は、両はしから2個ずつ加えると、すべて180になります。よって、分子の和は、180×(48÷2)＝4320ですから、分母の180を考えて、4320÷180＝24 より、これらの分数の和は、24です。

【対策ポイント3】

[練習問題4]

　平面図形の問題です。
(1) 三角形EBFの面積は、長方形ABCDと同じですので、6×12＝72平方cmです。底辺BFの長さを□cmとすると、高さEB＝2＋6＝8cmですから、□＝72×2÷8＝18cmです。よって、18－12＝6 より、CFの長さは6cmです。
(2) 三角形EAHと三角形EBFは相似で、相似比は、EA：EB＝2：8＝1：4ですから、AH＝18÷4×1＝4.5cmです。よって、12－4.5＝7.5 より、HDの長さは7.5cmです。
(3) 三角形HDGと三角形FBGは相似で、相似比は、HD：FB＝7.5：18＝5：12ですから、DG：GBも、5：12です。三角形DABにおいて、三角形DHGは、三角形DABの面積の、DH/DA×DG/DBとなります。三角形DABの面積は、6×12÷2＝36平方cmで、DH/DA＝7.5/12＝5/8、また、DG/DB＝5/5＋12)＝5/17です。このことから、三角形DABの面積は、36×5/8×5/17＝225/34＝(6と21/34)平方cmです。よって、36－(6と21/34)＝(29と13/34)より、四角形ABGHの面積は、(29と13/34)　平方cmです。

＜算数　5年上　第15回＞

　第15回は『総合(第11回～第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。

＜今回のポイント＞

　総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】

　水量変化の問題です。

[練習問題1]

　(図1)の見取り図から容積を、(図2)のグラフから水の入れ方を読み取ります。
(1) グラフのxは、容器の下の部分に水がいっぱいなった時間を表しています。また、この部分の深さは12cmです。容器の下の部分の容積は、(50×30×12)立方cmで、水の入れ方から、毎分6L＝6000立方cmより、(6000×x)立方cmです。50×30×12＝6000×x より、x＝50×30×12÷6000＝3 ですので、xは3(分)です。
(2) グラフから、容器の上の部分の高さ12cmから42cmまでの容積を考えます。容積は、{50×(30＋y)×(42－12)}立方cmで、水の入れ方から、{6000×(15－3)}立方cmです。50×(30＋y)×30＝6000×12 より、30＋y＝6000×12÷(50×30)＝48 ですので、y＝48－30＝18、よって、yは18cmです。なお、かけ算とわり算の混合計算は、分数を使用すると早く計算できます。

【対策ポイント2】

　速さの問題です。

[練習問題2]

　速さの問題に、植木算が入っています。
(1) 1周目の速さを求めますので、距離と時間を見つけます。「5番の旗の位置から17番の旗の位置まで走るのに16秒」8mおきの旗の5番目から17番目までは、植木算で、間は17－5＝12か所あります。よって、(8×12)m÷16秒＝6 より、秒速6mです。
(2) 秒速6mで、2分＝120秒かかりましたので、6×120＝720 より、1周720mです。また、8m間で立っている旗の数は、720÷8＝90 より、間の数は90か所で、池のまわりですから、間の数＝旗の数です。よって、旗は90本立っています。
(3) 「10番の旗の位置から37番の旗の位置まで24秒」より、8×(37－10)÷24＝9ですから、秒速9mで、2周目は、720÷9＝80秒かかりました。平均速度を求めますので、距離の合計÷時間の合計の計算をします。720×2÷(120＋80)＝7.2 より、平均の速さは、秒速7.2mです

【対策ポイント3】

　ならべ方の問題です。

[練習問題3]

　｛0、1、2、4、7｝の5枚のカードをならべます。予習シリーズ130ページの「倍数の見分け方」をもう一度、確認して覚えましょう。
(1) 4の倍数は、下2けたが00か4の倍数です。そこで、カード2枚で4の倍数を考えます。(04)、(12)、(20)、(24)、(40)、(72)ができます。このそれぞれの2けたに、残りの3枚から、百の位に1枚のカードをおきます。(12)、(24)、(72)の場合は、百の位に0は使えませんので、それぞれ2通りあります。(04)、(20)、(40)の場合は、残りの3枚が使えますので、それぞれ3通りできます。よって、2通り×3＋3通り×3＝15 より、4の倍数は15通りできます。
(2) 3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数になっています。そこで、カード3枚で和が3の倍数になる組を考えます。(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)、(1、4、7)ができます。このそれぞれの組で、3けたになるならべ方を考えます。
(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)の場合：百の位は0以外の2通り、十の位は百の位においたカード以外の2通り、一の位は残りの1通り、となりますので、それぞれ2×2×1＝4通り
(1、4、7)の場合：3×2×1＝6通り、よって、4通り×3＋6通り＝18 より、3の倍数は18通りできます。

【対策ポイント4】

　ぬり分けの問題です。

[練習問題4]

　｛赤、青、黄、緑｝の4色をすべて使って、ア～オの5つの部分をぬり分けます。ぬり分けの問題では、となり合う部分に同じ色は使えません。4色でぬり分けますので、4か所のグループにします。つまり、2か所は同じ色でぬることになります。この2か所は、(アとオ)、(イとエ)、(イ、オ)ができます。よって、4か所のぬり方、4×3×2×1＝24通りが3つできますので、24×3＝72 より、色のぬり方は、ぜんぶで72通りあります。

＜算数　4年上　第15回＞

　第15回は『総合(第11回～第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。

＜今回のポイント＞

　総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】

　植木算の問題です。

[練習問題1]

　420mの池のまわりに、10mの間かくで「くい」を立てていったところ、最初に立てたくいと最後に立てたくいの間が80ｍはなれています。
(1) 最初と最後の2本のくいの間80ｍに10mおきにくいを立てると、80÷10＝8か所の間になりますが、両はしにはくいがありますので、8－1＝7本のくいを立てることになります。420÷10＝42 より、池のまわりにくいを立てると42本必要になります。ところが、7本たりないのですから、42－7＝35 より、くいは全部で35本あります。
(2) 420÷35＝12 より、くいを12mおきに立てればよいことになります。
　

【対策ポイント2】

　三角形や四角形の面積に関する問題です。

[練習問題3]

(1) 三角形AEDにおいて、底辺AD＝12cm、高さDE＝8－6＝2cmです。よって、12×2÷2＝12 より、三角形AEDの面積は、12平方cmです。
(2) 三角形AGFの面積をア平方cm、三角形GCEの面積をイ平方cm、四角形FGEDの面積をウ平方cmとします。問題文の条件より、ア＝イですので、ア＋ウ＝イ＋ウとなります。(1) より、三角形AED＝ア＋ウ＝12平方cmですから、三角形CDF＝イ＋ウ＝12平方cmです。また、三角形CDFは、底辺CD＝8cm、高さDFですから、8×DF÷2＝12 より、DF＝12×2÷8＝3cmとなります。よって、AF＝AD－DF＝12－3＝9 より、x＝9cmです。予習シリーズ別冊「解答解説」36ページにある図を参照してください。

【対策ポイント3】

　周期を考える問題です。

[練習問題5]

　白い正方形の紙と赤い正方形の紙を交互に重ねて行きます。このとき、白い紙に見えている数の和は、1＋2＋3＝6です。また、赤い紙に見えている数の和は、5＋6＋7＝18です。
(1) 全部で10まいの紙を重ねますから、白、赤それぞれ5まいずつになっています。よって、(6＋18)×5＝120ですが、10まい目の赤は8がかくれませんので、120＋8＝128より、見える数字すべての和は、128です。
(2) 白、赤1まいずつの2まいを1組（白、赤それぞれの右下のマスの数を除きます）として考えていきます。610÷(6＋18)＝25あまり10となりますが、これは、白、赤の組が25組あり、あまりの10は最後に4つの数の和が10になる、ということを表しています。和が10になるのは、1＋2＋3＋4＝10ですから、白の紙とわかります（1まいすべての数字が見えているということです）。よって、2(まい)×25(組)＋1(まい)＝51より、51まいの紙を重ねました（白が26まい、赤が25まい）。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。