No.1177 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数上対策ポイント 6年生(第14回)4・5年生(第15回)

<算数 6年上 第14回>

 第14回は『総合(第10回~第13回)』です。基本問題において、第10回から第13回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。

<今回のポイント>

 総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】
[練習問題1]

 食塩水の問題です。
 2つの容器AとBに入っている食塩水から、同じ重さの食塩水をくみ出して、たがいに移しかえたところ、A、B両方の濃度が等しくなりました。この条件がポイントです。A、B間のやりとりですから、両方の食塩水の合計は変わらず、食塩の合計もかわりません。濃度が等しくなったという、この濃度は、AとBをすべて混ぜたときの濃度と同じということです。
(1) AとBをすべて混ぜたときの濃度を求めます。食塩水の合計は、400+600=1000gで、食塩の合計は、400×0.1+600×0.05=70gです。よって、70÷1000×100=7 より、食塩水の濃度は、7%です。
(2) くみ出した同じ重さの食塩水を□gとして、容器Aで考えます。Aの濃度10%で(400-□)gの食塩水と、Bからの濃度5%で□gの食塩水を混ぜて、7%の食塩水が400gできたことになります。予習シリーズ別冊「解答と解説」79ページの面積図を参照して下さい。図のアとイの面積は等しいですから、食塩水の重さの比は、濃度の差の逆比になります。   食塩水の重さの比は、1/(10-7):1/(7-5)=2:3 です。よって、Aの食塩水は合計400gを2:3に分けたうちの、3を求めます。□=400÷(2+3)×3=240 より、くみ出した食塩水の重さは、240gです。

【対策ポイント2】
[練習問題2]

 既約分数に関する問題で、周期を考える問題です。
(1) 0より大きく1より小さい、分母72の既約分数が何個あるかを考えます。72を素因数分解すると、72=2×2×2×3×3 ですので、分子が2や3の倍数のとき約分できてしまいます。したがって、(分子が)1から71までの数で2や3の倍数をのぞいた個数を求めることになります。2と3の最小公倍数である6までの数{1,2,3,4,5,6}の中で、2と3の倍数をのぞくと{1,5}が残ります。この先も同様に、{7,8,9,10,11,12}の中で{7,11}と、6個1組の中の2個が残ります。この2個は、どれも6でわったときのあまりが1か5となる数です。よって、71÷6=11組あまり5 となり、あまりの5個のうちに2個ありますので、2×11+2=24 より,分母72の既約分数は、24個あります。
(2) 0より大きく1より小さい、分母180の既約分数が何個あるかを考えます。(1)と同様に考えて、素因数分解 180=2×2×3×3×5 より,分子が2や3や5の倍数をのぞきます。   2、3、5の最小公倍数である30までの数の中で、2、3、5の倍数をのぞくと{1,7,11,13,17,19,23,29}の8個が残ります。よって,179÷30=5組あまり29 となり、あまりの29個のうちには、8個ありますので、8×5+8=48 より、分母180の既約分数は、48個あります。
(3) 分子を書き出すと、1,7,11,……,169,173,179 です。これらの数は、両はしから2個ずつ加えると、すべて180になります。よって、分子の和は、180×(48÷2)=4320ですから、分母の180を考えて、4320÷180=24 より、これらの分数の和は、24です。

【対策ポイント3】
[練習問題4]

 平面図形の問題です。
(1) 三角形EBFの面積は、長方形ABCDと同じですので、6×12=72平方cmです。底辺BFの長さを□cmとすると、高さEB=2+6=8cmですから、□=72×2÷8=18cmです。よって、18-12=6 より、CFの長さは6cmです。
(2) 三角形EAHと三角形EBFは相似で、相似比は、EA:EB=2:8=1:4ですから、AH=18÷4×1=4.5cmです。よって、12-4.5=7.5 より、HDの長さは7.5cmです。
(3) 三角形HDGと三角形FBGは相似で、相似比は、HD:FB=7.5:18=5:12ですから、DG:GBも、5:12です。三角形DABにおいて、三角形DHGは、三角形DABの面積の、DH/DA×DG/DBとなります。三角形DABの面積は、6×12÷2=36平方cmで、DH/DA=7.5/12=5/8、また、DG/DB=5/5+12)=5/17です。このことから、三角形DABの面積は、36×5/8×5/17=225/34=(6と21/34)平方cmです。よって、36-(6と21/34)=(29と13/34)より、四角形ABGHの面積は、(29と13/34) 平方cmです。

<算数 5年上 第15回>

 第15回は『総合(第11回~第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。

<今回のポイント>

 総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】

 水量変化の問題です。

[練習問題1]

 (図1)の見取り図から容積を、(図2)のグラフから水の入れ方を読み取ります。
(1) グラフのxは、容器の下の部分に水がいっぱいなった時間を表しています。また、この部分の深さは12cmです。容器の下の部分の容積は、(50×30×12)立方cmで、水の入れ方から、毎分6L=6000立方cmより、(6000×x)立方cmです。50×30×12=6000×x より、x=50×30×12÷6000=3 ですので、xは3(分)です。
(2) グラフから、容器の上の部分の高さ12cmから42cmまでの容積を考えます。容積は、{50×(30+y)×(42-12)}立方cmで、水の入れ方から、{6000×(15-3)}立方cmです。50×(30+y)×30=6000×12 より、30+y=6000×12÷(50×30)=48 ですので、y=48-30=18、よって、yは18cmです。なお、かけ算とわり算の混合計算は、分数を使用すると早く計算できます。

【対策ポイント2】

 速さの問題です。

[練習問題2]

 速さの問題に、植木算が入っています。
(1) 1周目の速さを求めますので、距離と時間を見つけます。「5番の旗の位置から17番の旗の位置まで走るのに16秒」8mおきの旗の5番目から17番目までは、植木算で、間は17-5=12か所あります。よって、(8×12)m÷16秒=6 より、秒速6mです。
(2) 秒速6mで、2分=120秒かかりましたので、6×120=720 より、1周720mです。また、8m間で立っている旗の数は、720÷8=90 より、間の数は90か所で、池のまわりですから、間の数=旗の数です。よって、旗は90本立っています。
(3) 「10番の旗の位置から37番の旗の位置まで24秒」より、8×(37-10)÷24=9ですから、秒速9mで、2周目は、720÷9=80秒かかりました。平均速度を求めますので、距離の合計÷時間の合計の計算をします。720×2÷(120+80)=7.2 より、平均の速さは、秒速7.2mです

【対策ポイント3】

 ならべ方の問題です。

[練習問題3]

 {0、1、2、4、7}の5枚のカードをならべます。予習シリーズ130ページの「倍数の見分け方」をもう一度、確認して覚えましょう。
(1) 4の倍数は、下2けたが00か4の倍数です。そこで、カード2枚で4の倍数を考えます。(04)、(12)、(20)、(24)、(40)、(72)ができます。このそれぞれの2けたに、残りの3枚から、百の位に1枚のカードをおきます。(12)、(24)、(72)の場合は、百の位に0は使えませんので、それぞれ2通りあります。(04)、(20)、(40)の場合は、残りの3枚が使えますので、それぞれ3通りできます。よって、2通り×3+3通り×3=15 より、4の倍数は15通りできます。
(2) 3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数になっています。そこで、カード3枚で和が3の倍数になる組を考えます。(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)、(1、4、7)ができます。このそれぞれの組で、3けたになるならべ方を考えます。
(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)の場合:百の位は0以外の2通り、十の位は百の位においたカード以外の2通り、一の位は残りの1通り、となりますので、それぞれ2×2×1=4通り
(1、4、7)の場合:3×2×1=6通り、よって、4通り×3+6通り=18 より、3の倍数は18通りできます。

【対策ポイント4】

 ぬり分けの問題です。

[練習問題4]

 {赤、青、黄、緑}の4色をすべて使って、ア~オの5つの部分をぬり分けます。ぬり分けの問題では、となり合う部分に同じ色は使えません。4色でぬり分けますので、4か所のグループにします。つまり、2か所は同じ色でぬることになります。この2か所は、(アとオ)、(イとエ)、(イ、オ)ができます。よって、4か所のぬり方、4×3×2×1=24通りが3つできますので、24×3=72 より、色のぬり方は、ぜんぶで72通りあります。

<算数 4年上 第15回>

 第15回は『総合(第11回~第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。

<今回のポイント>

 総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。

【対策ポイント1】

 植木算の問題です。

[練習問題1]

 420mの池のまわりに、10mの間かくで「くい」を立てていったところ、最初に立てたくいと最後に立てたくいの間が80mはなれています。
(1) 最初と最後の2本のくいの間80mに10mおきにくいを立てると、80÷10=8か所の間になりますが、両はしにはくいがありますので、8-1=7本のくいを立てることになります。420÷10=42 より、池のまわりにくいを立てると42本必要になります。ところが、7本たりないのですから、42-7=35 より、くいは全部で35本あります。
(2) 420÷35=12 より、くいを12mおきに立てればよいことになります。
 

【対策ポイント2】

 三角形や四角形の面積に関する問題です。

[練習問題3]

(1) 三角形AEDにおいて、底辺AD=12cm、高さDE=8-6=2cmです。よって、12×2÷2=12 より、三角形AEDの面積は、12平方cmです。
(2) 三角形AGFの面積をア平方cm、三角形GCEの面積をイ平方cm、四角形FGEDの面積をウ平方cmとします。問題文の条件より、ア=イですので、ア+ウ=イ+ウとなります。(1) より、三角形AED=ア+ウ=12平方cmですから、三角形CDF=イ+ウ=12平方cmです。また、三角形CDFは、底辺CD=8cm、高さDFですから、8×DF÷2=12 より、DF=12×2÷8=3cmとなります。よって、AF=AD-DF=12-3=9 より、x=9cmです。予習シリーズ別冊「解答解説」36ページにある図を参照してください。

【対策ポイント3】

 周期を考える問題です。

[練習問題5]

 白い正方形の紙と赤い正方形の紙を交互に重ねて行きます。このとき、白い紙に見えている数の和は、1+2+3=6です。また、赤い紙に見えている数の和は、5+6+7=18です。
(1) 全部で10まいの紙を重ねますから、白、赤それぞれ5まいずつになっています。よって、(6+18)×5=120ですが、10まい目の赤は8がかくれませんので、120+8=128より、見える数字すべての和は、128です。
(2) 白、赤1まいずつの2まいを1組(白、赤それぞれの右下のマスの数を除きます)として考えていきます。610÷(6+18)=25あまり10となりますが、これは、白、赤の組が25組あり、あまりの10は最後に4つの数の和が10になる、ということを表しています。和が10になるのは、1+2+3+4=10ですから、白の紙とわかります(1まいすべての数字が見えているということです)。よって、2(まい)×25(組)+1(まい)=51より、51まいの紙を重ねました(白が26まい、赤が25まい)。

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