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第18回は『総合』です。立体図形(2)、平面図形(3)、速さ(2)の復習です。基本問題・練習問題から、注目すべき問題を取り上げてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
1つ1つ、自分の持っている知識と照らし合わせて進めます。そのためには、問題文をきちんと読み取ることが重要です。対策ポイント2が、多少難しいと思います。納得できるまで読み込んでください。
図形の重なりの問題です。大きさの異なる3つの正方形A、B、C（大きさは、A＞B＞C）が問題の図のように、BとCはくっついて図形Dとして、おかれています。Aを毎秒1cmの速さで矢印の方向に動かします。また、AがDに重なりはじめてからの時間と重なりの面積の変化のようすを表したグラフが与えられています。このとき、A、B、Cの1辺の長さを求めます。
グラフの読み取りとして、直線が折れている点は変化があったことを表しています。そこで、4秒後、5秒後の変化を考えます。4秒後まで、面積は一定に増加していますから、4秒後のとき、Aの右辺が(Dのうちの)Bの右辺に到達したことを、つまり、AがB全体に重なったことを意味しています。1×4＝4 より、4cm重なっていますから、Bの1辺の長さは4cmです。その後、Cに重なりはじめ、5秒後に変化があります(グラフが折れます)。予習シリーズ別冊の解答解説102ページの図を参照してください。5秒よりあとに重なりの面積が減っているのは、Cとの重なりの面積より、Bとの重なりの面積が少なくなっているからです。つまり、5秒後のときに重なりの面積が最大になるのは、Aの左辺がBの左辺と重なったことを意味しています(このとき、Cの一部にも重なっています)。よって、1×5＝5 より、Aの1辺の長さは5cmです。また、この時の重なりの面積は19平方cmで、Bの面積(4×4＝)16平方cmを引くと、Cとの重なりの面積が(19－16＝)3平方cmで、Cとは5－4＝1cm重なっていますので、たての長さは3÷1＝3 より3cmですので、Cの1辺の長さは3cmです。
走っている列車の中で、人が動く問題です。列車がトンネル内を走っている間に、太朗君が列車の進む方向と同じ方向に歩くと180歩進めます。また、列車の進む方向と逆の方向に歩くと200歩進めます。
(1) (列車の速さ＋歩く速さ)では、トンネルの長さを進むのに、太朗君が180歩あるく時間がかかります。また、(列車の速さ－歩く速さ)では、同じくトンネルの長さを進むのに、太朗君が200歩あるく時間がかかります。距離(トンネルの長さ)が等しいとき、時間比と速さ比は逆比の関係になりますので、(列車の速さ＋歩く速さ)：(列車の速さ－歩く速さ)＝1/180：1/200＝10：9 となります。よって、歩く速さ：列車の速さ＝(10－9)：(10＋9)＝1：19です。
(2) 太朗君の歩幅は50cm＝0.5mですから、180歩あるくと、0.5×180＝90mとなります。180歩あるくのは、(列車の速さ＋歩く速さ)の速さでトンネルを通過する時間ですので、列車が進む距離＝トンネルの長さは、太朗君が進んだ長さの、1＋19＝20倍です。よって、90×20＝1800より、トンネルの長さは、1800mです。
動く歩道の問題です。A地点からB地点まで動く歩道があり、太郎君がこの動く歩道の上を歩いて進んだり、止まったままで進んだりします。動く歩道の速さをP、太郎君の平地を歩く速さをQとして整頓します。
(1) AB間を、動く歩道の上を太郎君が歩いていくときの速さはP＋Qで、36秒かかります。また、太郎君が動く歩道の上に立ったままでいくときの速さはPで、63秒かかります。AB間の距離を1として、速さの比である、(P＋Q)：Pは、1/36：1/63＝7：4となります。よって、P：Q＝4：(7－4)＝4：3 より、動く歩道の速さと太郎君の平地を歩く速さの比は、4：3です。
(2) (1)の結果を利用して、速さをP＝4、Q＝3とすると、故障したC地点からは、動く歩道の速さP＝4×1/4＝1、太郎君の歩く速さQ＝3×1.5＝4.5 となりますので、P＋Q＝1＋4.5＝5.5です。よって、CB間にかかる、故障する前と故障した後の時間比は、1/7：1/5.5＝11：14です。故障する前の36秒と故障した後の42秒の差である(42－36＝)6秒は、時間比11：14の差ですから、故障する前のCB間にかかる時間は、6÷(14－11)×11＝22秒でした。故障する前は、AC間を36－22＝14秒で、CB間を22秒で進んだことがわかります。一定の速さで進んでいましたので、時間比＝距離比より、AC間とCB間の距離の比は、14：22＝7：11です。
第20回は『総合(第16回～第19回)』です。旅人算についての問題、数列と数表の問題、図形上の点の移動の問題の復習です。なお、分数は、分子/分母の形で、また、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。
今回の総合は、難易度が高いと思いますので、問題文をよく読んで、自分の持っている知識をいかに使っていくかが、ポイントになります。しっかり取り組みましょう。
速さのグラフでは、直角三角形の読み取りが基本となります。グラフより、2人のそれぞれの速さが読み取れます。A地点から出発した人は、15分で2400m進みますので、2400÷15＝160 より、分速160mです。また、B地点から出発した人は、30分で2400m進みますので、2400÷30＝80 より、分速80mです。この2人が、A地点、B地点から同時に向かい合って出発します。2400÷(160＋80)＝10 より、出会う時間ｘは10(分)です。また、yは、A地点から出発した人の10分で進んだきょりです。160×10＝1600 より、yは、1600(m)です。
2人の間のきょりの関係を表したグラフの問題です。このグラフのポイントは、グラフの線が横軸に着くときに、(姉と妹の)2人が出会ったことを表しています。つまり、同時に出発して、12分後に2人は出会います。また、22分後のグラフの変化は、姉がB地点に到着したことを、x分後に妹がA地点に到着したことを表しています。なお、グラフよりAB間のきょりは3300mです。これらのことから、姉の速さは、3300÷22＝150 より、分速150mです。また、2人は12分で出会いましたので、3300÷12＝275 より、2人の速さの和は、分速275mですから、妹の速さは、275－150＝125 より、分速125mです。3300÷125＝26.4 より、妹がA地点に到着した時間xは、26.4(分)です。22分後は、出会ってから(22－12＝)10分後に2人が離れているきょりは、275×10＝2750 より、yは2750(m)です。
5の倍数でない整数をならべた数列の問題です。この数列は、5で割ったときのあまり、1、2、3、4となる整数を1つの組(群)とした群数列です。つまり、(1,2,3,4)、(6,7,8,9)、(11,12,13,14)、…… となります。また、5で割ったときの商について、1組は商が0の組、2組は商が1の組、3組は商が2の組、…… です。
(1) 99÷5＝19あまり4 より、20組の4番目です。よって、4×20＝80 より、99は80番目にあります。
(2) 99÷4＝24あまり3 より、(24＋1＝)25組の3番目の整数です。25組は、5で割った商が24の組ですので、5×24＋3＝123 より、99番目の整数は123となります。
Oを中心とする大小2つの円の円周上を点P、Qが動く問題です。
(1) 角速度を求めます。点Pは、円を1周(＝360度)するのに30秒かかりますので、360÷30＝12 より、毎秒12度の割合で回転します。点Qは、円を1周するのに20秒かかりますので、360÷20＝18 より、毎秒18度の割合で回転します。
(2) 3点P、Q、Oが一直線上にならぶのは、はじめ180度はなれていた2点PとQが向かい合って進み、点Oからみて同じ位置になったときです。よって、2点P、Qが合わせて180度進んだときです。180÷(12＋18)＝6 より、出発してから6秒後です。
第20回は『総合(第16回～第19回)』です。約数・倍数、つるかめ算、立方体と直方体について復習します。練習問題を取り上げてみましょう。
問題文をていねいに読み取ることが大切になります。質問されていることが何かがわかれば、後は学習済みの解き方で正解まで進めるはずです。文末まで、きちんと読み取ることを習慣づけましょう。また、内容を整頓すること(約数、倍数におけるベン図など)を心がけてください。
倍数の個数の問題です。1から200までの整数を考えます。3でわり切れる整数は3の倍数です。同様に、7でわり切れる整数は7の倍数です。
(1) 3の倍数は200までの整数の中に、200÷3＝66あまり2 より、66個あります。また、7の倍数は200までの整数の中に、200÷7＝28あまり4 より、28個あります。「3または7でわり切れる整数の個数」は、3の倍数の個数と7の倍数の個数の合計ですが、どちらにもふくまれる、3と7の公倍数の個数を引かなければなりません。「公倍数は、最小公倍数の倍数」ですから、3と7の最小公倍数である21の倍数は、200÷21＝9あまり11 より、9個あります。よって、66＋28－9＝85 より、3または7でわり切れる整数は85個あります。
(2)「3か7のどちらか一方でしかわり切れない整数の個数」は、3の倍数の個数と7の倍数の個数から、それぞれ3と7の公倍数の個数をのぞいた個数です。よって、66－9＋28－9＝76 より、76個です。
つるかめ算の問題です。一見、テープをつなぐ植木算の問題と思いがちですが、問題文をきちんと読み整とんしていくとわかってきます。1まいの長さが5cmの紙テープを20まいつなげていきます。のりしろを2cmにしてつなげていく予定でしたが、とちゅうからあやまって、のりしろをを1cmにしたのでつなぎ合わせたテープ全体の長さが75cmになりました。
(1) 20まいのテープをつなぐためには、のりしろは、(20－1＝)19か所です。5×20－2×19＝62 より、つないだテープ全体の長さは62cmになります。
(2) のりしろの長さを2cmから1cmにかえると、1か所について、2－1＝1cm長くなります。(1)の結果より、実さいは、(75－62＝)13cm長いのですから、13÷1＝13 より、のりしろを1cmにしたのは、13か所です。
約数・倍数の問題です。たて48cm、横36cm、高さ30cmの直方体の箱があります。
(1) この箱に、なるべく大きな同じ大きさの立方体をすきまなくつめます。立方体の1辺の長さを□cmとすると、48÷□＝ア、36÷□＝イ、30÷□＝ウ となってわり切れることになります。□は48、36、30の約数で、同じ数ですから公約数です。そして、なるべく大きな長さ(数)ですから、最大公約数です。最大公約数は6で、このとき、ア＝8、イ＝6、ウ＝5となり、これらの数は、たて、横、高さにならべた個数になっていますので、8×6×5＝240 より、立方体が240個必要となります。
(2) この箱を、向きをかえずに積み上げて、立方体を作ります。このときの立方体の1辺を〇cmとすると、48×エ＝○、36×オ＝○、30×カ＝○ となりますので、○は、48、36、30の共通の倍数、つまり公倍数です。箱の数は「少なくとも」という問いですので、1辺の長さをなるべく短くしますので、○は最小公倍数ということになります。最小公倍数は720で、このとき、エ＝720÷48＝15、オ＝720÷36＝20、カ＝720÷30＝24 です。これらの数は、箱をたて、横、高さに積み重ねた個数です。よって、15×20×24＝7200 より、箱は少なくとも7200個必要です。
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