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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第2回は『数と規則性(1)』です。
復習テーマは、植木算、周期算、等差数列その他の数列、数表などです。新出テーマは、日付の和、うるう年問題、増え方の規則です。
日付の和を取り上げます。平均を利用した解法を説明しますので、よく理解してください。また、様々な考え方を経験してください。
日付の問題です。まず、基本を押さえましょう。
予習シリーズの解き方にある線分図を利用して説明します。同じ曜日は、その月により、4回のときと5回のときがあります。どちらにしても、同じ曜日の日付は、7日ずつ増えていきます。第1週の日付をA日とすると、日付は、2週目が(A＋7)日、3週目が(A＋14)日、4週目が(A＋21)日、5週目が(A＋28)日となります。4週ある月では、A×4＋(7＋14＋21)＝(A×4＋42)日、5週ある月では、A×5＋(42＋28)＝(A×5＋70)日です。つまり、問題文の日数が、70日を越えているときは、5週ある月の問題となります。長い説明になりましたが、ここはポイントになります。
平均の利用ですが、同じ数ずつ増えている数の和（等差数列など）では、平均はその数列の真ん中の数を表します。これを利用すると、真ん中の週の日付を求めることができます。
本問で利用してみます。
まず、58日は、58＜70より、4週と判断できます。そこで、58÷4＝14.5 で、小数になります。これは、2週目の日付と3週目の日付の真ん中の意味です。そこで、1週間の7日を2でわった、3.5日を引く、つまり14.5－3.5＝11が2週目の日付になります。 よって、11－7＝4 より、この月の第1週金曜日は、3月4日です。
なお、5でわって、わり切れるときは、その商が、真ん中である3週目の日付になります。
慣れると、早く解けるようになります。トライしてみてください。
増え方の規則の問題です。
交点の数と分けられる数、について考えてみましょう。規則を考える問題は、手作業といいますか、ある程度書き出して決まりを見つける問題です。
(1) 直線の本数、交点の個数、分けられた内部の個数について、調べます。
直線の本数→ 1本、2本、3本、 4本、 5本、…
交点の個数→ 0個、1個、3個、 6個、10個、…
内部の個数→ 2個、4個、7個、11個、16個、…
直線3本までは、問題にあり、直線4本を自分で調べる(予習シリーズの解き方に考え方もありますが)
書き出したところで、規則性を考えます。
交点の個数＝1つ前の交点の個数＋そのときの直線の本数
内部の個数＝1つ前の内部の個数＋次の直線の本数
の規則が見つかります。
例えば、5本のとき、交点の数は、6＋4＝10個、内部の個数は、11＋5＝16個
(2) 交点の個数は、0個、(0＋1＝)1個、(1＋2＝)3個、(3＋3＝) 6個、(6＋4＝)10個、 (10＋5＝)15個、(15＋6＝)21 より、21個です。結果から見ると、交点の個数は、直線１本のところから、三角数になっています。内部の個数は、2個、(2＋2＝)4個、(4＋3＝)7個、(7＋4＝)11個、(11＋5＝)16個、(16＋6＝)22個、(22＋7＝)29 より、29個に分かれます。結果から見ると、2＋(2＋3＋4＋……)と、階差数列になっています。
規則性の問題は、解法の部分的なところで、学習済みの内容を利用する問題が多いです。基礎を使えるように心掛けましょう。
第2回は『いろいろな図形の面積』です。
面積公式の確認と復習、および、面積の求め方のくふうを学習します。また、三角形の合同という内容にもふれます。メルマガでは、分数は、分子/分母 の形で表します。
面積計算では、今回の内容は重要です。各問題における工夫をしっかり身につけましょう。例題1、2については、公式の使い方をしっかり復習してください。
面積の求め方のくふうを考えます。
底辺、高さの不明な三角形の面積を求めます。予習シリーズ21ページの解き方にある図を参照してください。解き方の図にあるABを底辺と考えます。長さは、14－3＝11cmです。このABにより、三角形をアとイに分けて面積を求めます。ところが、それぞれの高さが不明です。
ここで、アの三角形の高さを〇とし、イの三角形の高さを△として、面積を考えますと、ア＝11×〇÷2、イ＝11×△÷2となりますので、分配法則を利用して、ア＋イ＝11×(〇＋△)÷2とまとめられます。この〇＋△は、長方形のたてである10cmですから、ア＋イ＝11×10÷2＝55より、三角形の面積は、55平方cmです。
この考えをまとめると、予習シリーズ21ページにある青のわくの内容になります。重要ですので、ぜひ、使えるようにしましょう。
正方形の対角線を利用して、面積を求めます。
(1) 20cmの対角線が与えられた正方形の面積を求めます。正方形は、ひし形でもありますので、「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」により、20×20÷2＝200 より、この正方形の面積は、200平方cmです。
(2) 四分円の面積を求めます。「四分円の面積＝半径×半径×円周率÷4」です。この問題では、半径は正方形の1辺の長さですが、不明です。ここがポイントです。半径が不明でも、半径×半径の値がわかればよいのです。この半径×半径は、言いかえると、1辺×1辺ですから、正方形の面積で、(1)で求めた200ということになります。よって、200×3.14÷4＝50×3.14＝157 より、この四分円の面積は、157平方cmです。
三角形の合同について、学習します。予習シリーズ22、23ページの説明、合同条件をよく読み、理解しましょう。
合同を利用して、辺の長さや角の大きさを求めます。問題文より、等しい長さ、角を読み取りましょう。
(1) 三角形ABCは正三角形です。よって、3つの辺は等しい長さで、3つの角は等しい角です。AB＝BC、BD＝CEです。また、角ABD=角BCE＝60度です。ですから、三角形の合同条件の2番目、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」ですので、三角形ABDと合同な三角形は、三角形BCEです。
(2) (1)の結果、「合同な三角形の対応する角は等しい」ことから、三角形ABDの角BADの大きさは、三角形BCEの角CBEと等しい24度です。三角形の外角の定理により、アの角度は、角BADと角ABDの和となります。角BAD＝24度、角ABD＝60度ですから、24＋60＝84 より、角アの大きさは、84度です。
多少レベルの高い問題に挑戦しましょう。
おうぎ形の中の部分的な面積を求めます。予習シリーズ24ページの解き方にある図を参照してください。
ア＋ウの直角三角形と、イ＋ウの直角三角形において、AOとOBは半径で等しい長さです。また、直角三角形であることから、直角以外の2つの角はそれぞれ等しい角度です。
よって、三角形の合同条件の3番目、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」ですので、合同になります。合同な三角形の面積は等しいので、面積(ア＋ウ)＝面積(イ＋ウ)ですから、面積ア＝面積イになります。色のついた部分の面積(イ＋エ)において、イをアにかえて、面積(ア＋エ)を求めればよいことになります。つまり、半径6cm、中心角65度のおうぎ形の面積を求めます。6×6×3.14×65/360＝4×3.14＝12.56 より、求める面積は、12.56平方cmです。
第2回は『計算のきまり』です。
たし算・ひき算・かけ算・わり算の4種類の計算をまとめて、四則計算といいます。この四則とカッコ( )が混じった計算において、計算の順序には、きまりがあります。予習シリーズ16ページの説明をよく読んで、このきまりをしっかり覚えてください。
今後の算数の計算上とても重要な内容です。式を書くことで、逆算や計算のくふうが見つかります。途中式を必ず書くよう心がけてください。
四則混合計算です。
41－(19＋5)÷6
スタートは（ ）の中から計算します。（ ）の中は、19＋5＝24です。その結果、41－24÷6となります。
41－24÷6
この計算は、ひき算よりわり算が先ですので、24÷6＝4となります。よって、41－4＝37より、答えは37です。
前問と同様に四則混合計算です。
70÷{27－(9＋4)}
かっこが2つ入っています。内側のかっこ( )を小かっこといい、外側のかっこ{ }を中かっこといいます。計算の順は、小かっこが先です。スタートの計算は、（ ）の中からです。9＋4＝13です。
70÷{27－13}となり、その結果、｛ ｝の中の計算は、27－13＝14です。最後に、70÷14＝5 より、答えは、5です。
逆算を学習します。逆算とは、答えから、逆にたどって、□の部分を求める計算をいいます。
逆算の問題です。注意すべきは、ひき算・わり算の逆算で、ひく数・わる数を逆算で求める場合です。例えば、A－□＝Bの逆算は、□＝A－Bとなります。また、A÷□＝Bの逆算は、□＝A÷Bとなります。
逆算は今後のテストで、計算問題で出されるだけでなく、文章題の計算でも使われることがとても多い解法です。特にこの2つの逆算は、実際の中学入試問題でもよく出てくる形です。しっかり身につけてください。
(1) □＋23＝61は、□＝61－23＝38 より、□＝38 です。
(2) 56÷□＝4 は、□＝56÷4＝14 より、□＝14 です。
計算順序を考えた逆算の問題です。
57－□×8＝25
予習シリーズ19ページの解き方の1行目にあるように、計算順序を表す番号を問題の式の上や下にメモしてすることをお勧めします。□×8を1つのかたまりとして〇で表すと、57－〇＝25と表されますから、〇＝57－25＝32です。よって、□×8＝32となります。
□×8＝32
を逆算をして、□＝32÷8＝4より、□は4です。
計算のくふうの問題です。くふうすることで、計算が早くなります。予習シリーズ19ページの計算法則を身に付けておきましょう。
(1) 83×25×4
かけ算だけでできている式は、どの組み合わせで計算してもよいので、25×4 を先に計算すると、25×4＝100 とまとまった数になります。その後、83×100＝8300 より、答えは、100です。楽に早くできました。
(2) 102×7
102＝100＋2 として、(100＋2)×7 を、分配法則を利用して計算します。
(100＋2)×7＝100×7＋2×7
＝700＋14
＝714 より、答えは、714です。
(3) 29×62＋71×62
×62が共通にあるので、分配法則を利用してまとめることができます。
(29＋71)×62＝100×62
＝6200 より、答えは、6200です。
これらの法則を身に付けておくと、計算が早くなることで、問題を解く時間が節約できますね。また、簡単な計算になることが多いので、ミスなくなりますね。
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