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算数予想問題
第10回は『割合と比の文章題』です。割合や比に関する文章題を学習します。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表記します。
まずは、それぞれの問題の基礎知識が理解できているかを、重要問題チェックにおいて、チェックしましょう。その上で、問題文のどこに注目して、割合や比をどう使うかを考えて進めます。
割合の入った消去算を学習します。
割合を表す小数・分数が文字にかけてある消去算です。処理の仕方は、今までと変わらず、文字にかけてある小数・分数をそろえて、1種類を消去し(消し去り)ます。
はじめの、兄の所持金をA円、弟の所持金をB円とします。
A＋B＝3000……ア、A×0.3＋B×0.4＝1020……イ
となります。
式アを0.3倍して、A×0.3＋B×0.3＝900……ウ
式イ－式ウ をすると、B×(0.4－0.3)＝1020－900 → B×0.1＝120
よって、B＝120÷0.1＝1200 より、弟のはじめの所持金は、1200円です。
比を利用した売買損益の問題を学習します。
定価を求める問題ですので、定価：売価(値引きして売った値段)を考えて進めます。
定価：売価＝1：(1－0.2)＝5：4……ア
利益は、定価売り利益：売価売り利益＝1：1/3＝3：1 ……イ
となります。
この利益は、それぞれの値段から、原価＝350円を引いたものです。同量の減少では、差は不変です（予習シリーズ5年下・倍数算）。つまり、定価－売価＝定価売り利益－売価売り利益となります。そこで、差をそろえます(比の統一)。
ア・定価と売価の差は、(5－4＝)1、イ・利益の差は、(3－1＝)2ですので、
ア 5：4＝10：8 として、差を2にそろえます。
これにより、原価の350円が、10－3＝8－1＝7とわかりました。
よって、350÷7×10＝500 より、定価は、500円です。
複数個仕入れた場合の、売買損益の問題を考えます。
仕入れた個数を求める問題です。
原価＝1、定価＝1.2、売価＝1.2×(1－0.25)＝0.9 として、売り上げは、30個の定価売りが、売上1.2×30＝36、〇個の売価売りが、売上0.9×○、となりますので、売上合計＝36＋0.9×〇です。
一方、原価から計算して、原価合計＝1×(30＋○)＝30＋〇ですが、この1割の利益を上乗せして、売上合計は、(30＋〇)×(1＋0.1)＝1.1×(30＋○)＝33＋1.1×○です。
この2つが等しいので、36＋0.9×○＝33＋1.1×○ となります。よって、○＝(36－33)÷(1.1－09)＝3÷0.2＝15 より、売価で15個売りました。30＋15＝45 より、仕入れた個数は、45個です。
第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
問題内容を丁寧に読み解き、条件を整頓することを心がけましょう。条件が理解できていれば、正答につなげられます。
長方形を回転させた問題です。
長方形ABCDを、頂点Cを中心に90度回転させます。回転させて移った点をそれぞれ、A’、B’、D’とします。このとき、点A、Bの動いた線と、辺AB、A’B’によって囲まれた部分(色をつけた部分)の面積を求めます。予習シリーズ別冊「解答と解説」の42ページの図を参照してください。この形の問題は、図形全体の面積から、色のついていない部分の面積を引いて求めることができます。ここがポイントです。
図形全体は、三角形ABCと半径をACとして中心角が90度のおうぎ形(四分円)と三角形B’CD’の合計です。このうち、三角形ABCと三角形B’CD’は合わせると長方形になっています。また、色のついていない部分は、半径をBCとした中心角が90度のおうぎ形(四分円)と長方形A’B’CD’の合計です。長方形どうしは、引いてなくなりますので、結果として、半径10cmの四分円の面積から、半径8cmの四分円の面積を引いて求めます。(10×10－8×8)×3.14÷4＝9×3.14＝28.26 より、色のついた部分の面積は、28.26平方cmです。
食塩水の問題です。
(2) 予習シリーズ別冊「解答と解説」の42ページにある面積図を参照してください。この図が自身でかけるようトレーニングしましょう。なお、この面積図を利用した解法では、%単位は小数などになおすことなく、計算に使うことができます。アの面積＝イの面積ですので、300×(13－11)＝□×(11－7) となります。よって、□＝300×2÷4＝150 より、7％の食塩水を150ｇ混ぜることになります。
複数個仕入れて販売する、売買損益の問題です。
(2) 定価＝150×(1＋0.6)＝240円、売価(売り値)＝240×(1－0.25)＝180円です。仕入れた品物が完売した(すべて売れた)場合、利益は、(1個の利益×売上個数)で計算きます。そこで、売れ残った2個は仕入れなかったものとします。ただし、利益＝売上金額－仕入れ金額 ですが、2個の分仕入れ金額を少なくします。結果として、利益は、960＋150×2＝1260円となります。
準備が整いましたので、進めます。
定価で売った場合の1個の利益は、240－150＝90円で、個数はA個です。売価で売った場合の1個の利益は、180－150＝30円で、個数はB個です。そして、利益の合計は1260円です。つまり、90×A＋30×B＝1260、A＋B＝20－2＝18 となりますので、つるかめ算で解くことができます。すべて、30円の利益として、(1260－30×18)÷(90－30)＝720÷60＝12 より、定価で売れた品物は12個です。
第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
総合回ですので、少しレベルをあげた練習問題を取り上げます。解くための基本は学習済みの内容で、この内容をどのように使っていくか、という部分を理解して進めましょう。また、面積の単位をしっかり身に付けましょう。
面積の単位を学習します。予習シリーズ96ページの説明をよく理解しましょう。
面積の単位は、長さの単位を利用して、平方cm、平方m、平方kmを使ってきました。ここでは、面積特有の単位を学習します。面積特有の単位には、a(アール)、ha(ヘクタール)があります。長さの単位を利用した面積単位と面積特有の単位の関係を理解しておいてください。
この関係は、正方形の面積を使って理解することができます。1辺の長さ1mの正方形の面積は1平方mです。この1辺の長さ1mを10倍した、1辺10mの正方形の面積は、10×10＝100平方mで、この広さが1aとなっています。つまり、1辺1mの正方形の面積1平方mから、1辺を10倍すると、面積は100倍になり、面積単位が、1aとなります。その後も同様に、1辺の長さを10倍すると、面積は100倍になり、そのときに面積単位が変わっていきます。
まとめると、1平方m →(100倍) 1a →(100倍) 1ha →(100倍) 1平方km
面積単位の問題です。この機会に、解いて理解しましょう。
小数や分数の問題です。分数は、分子/分母の形で表します。単位のついていない分数と、単位のついている分数の違いに注意しましょう。
(1) 単位のついている、3/5mは、1mの3/5ということです。1m＝100cmで、3/5は、等分したうちの3つ分ということです。よって、3/5mは、100÷5×3＝60より、Aさんが取ったリボンは60cmです。
(2) はじめのリボンの長さは1.5m＝150cmですから、Aさんが取った残りのリボンの長さは、150－60＝90cmです。90cmの5/6（単位がついていません）は、90÷6×5＝75cmで、これより2.5cm短い、長さは、75－2.5＝72.5となりますので、Bさんは、72.5cmの長さのリボンを取りました。よって、90－72.5＝17.5より、リボンは17.5cm残りました。
四角形、三角形の角度問題です。正方形、正三角形はどちらも辺の長さがすべて等しい図形です。
(1) 三角形CDEは、辺CDとCEの長さが等しいので、二等辺三角形です。そして、角DCEは、正方形の角90度から正三角形の角60度を引いた30度です。よって、(180－30)÷2＝75 より、角CDEの大きさは75度です。
(2) 角DEF＝角CED－角CEF として考えます。角CED＝角CDE＝75度、三角形CEFは、辺CEとCFが等しく、角ECF＝角DCE＋角DCF＝30＋60＝90度ですので、直角二等辺三角形です。よって、角CEF＝(180－90)÷2＝45度となります。したがって、角DEF＝角CED－角CEF＝75－45＝30 より、角DEFは30度です。
角度問題は、二等辺三角形や正三角形など特別な三角形の角を利用することが多いです。これらの三角形は、等しい長さの辺を持っています。ですから、等しい辺を見つけることが重要です。そのため、図の中で、長さが同じ辺には同じマークをつけることを習慣としましょう。
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