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＜算数　6年上　第12回＞

第12回は『平面図形(2)』です。図形の折り返し、移動範囲、回転移動、点の移動、円のまわりを移動する円、反射などの問題を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、図形の折り返しの問題です。図形の折り返しは、折り返しにより合同な図形が移動します。つまり、辺の長さや角の大きさが同じ図形ができることに注意が必要になります。また、おうぎ形の折り返しでは、補助線として半径を引くことがポイントになります。角度計算ですので、内角の和や、外角の定理などを使って求めます。

「必修例題2」は、平面図形の辺上の1点につけてあるひもの先端の点や犬などが動く範囲を考える問題です。予習シリーズ133ページの問題の図や解き方の図を参照して下さい。

1. 台形の面積を求める問題です。上底の長さを求めなければなりません。点Dから、下底に垂直な線DEを引いてできる三角形DECは、直角二等辺三角形になりますので、EC＝DE＝AB＝8cmです。よって、上底ADは、12−8＝4cmとなります。(4＋12)×8÷2＝64より、台形ABCDの面積は、64平方cmです。
2. Aに10cmのひもがついていて、その先端の点Pの動く範囲を求める問題です。Aから上下方向と、左右方向に10cmの直線を引きます。下方向では、点Bより先に(10＋8＝)2cmのびますので、点Pは辺BCまで、半径2cm、中心角90度の四分円(ア)を描きます。また、右方向では、点Dより先に(10−4＝)6cmのびますので、点Pは、辺DCまで、半径6cm、中心角(90−45＝)45度のおうぎ形(イ)を描きます。（ア）と（イ）の間の部分には、半径10cm、中心角(360−90＝)270度のおうぎ形(ウ)を描きます。よって、(ア)2×2×3.14×90/360＝1×3.14、(イ)6×6×3.14×45/360＝4.5×3.14、(ウ)10×10×3.14×270/360＝75×3.14、の合計が点Pの動く面積です。(1＋4.5＋75)×3.14＝252.77より、面積は252.77平方cmです。3.14の計算は最後にまとめて行うことに、改めて注意してください。

【攻略ポイント2】※帯分数について、「1と2/3」は「1・2/3」と表記します。

「必修例題4」は、点の移動の問題です。予習シリーズ135ページの解き方にある図を参照して下さい。

1. 5秒後には、点Pは頂点Aから(1×5＝)5cm、点Rは頂点Bから(3×5＝)15cm進んでいます。5cm進んだ点Pから辺BCに垂直な線PHを引き、辺EFと交わる点をGとします。三角形PGSと三角形PHRは相似で、PG：PH＝GS：HRとなります。PH＝4＋12＝16cm、HR＝15−5＝10cm、PG＝AE＝4cmですから、4：16＝GS：10より、比例式の性質を利用して、GS＝4×10÷16＝2.5cmとなります。よって、ES＝5＋2.5＝7.5cmです。一方、点Qは頂点Fから(2×5＝)10cm進みますので、SQ＝30−(7.5＋10)＝12.5cmです。
2. 3点P、Q、Rが一直線上に並ぶということは、2点P、Rを結ぶ直線と辺EFとの交点Sが、点Qと重なることと同じです。(1)より、点Sは5秒で点Eから7.5cm進んでいますので、7.5÷5＝1.5より、点Sの速さは毎秒1.5cmと考えることができます。よって、旅人算を使って、30÷(1.5＋2)＝30÷35/10＝30×10/35＝60/7＝8・4/7より、3点が一直線上に並ぶのは、8・4/7秒後です。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、円のまわりを円が転がる問題です。予習シリーズ136ページの解き方にある図を参照して下さい。円Aと円Bのへこみの部分に円Cがきたときの、それぞれの円の中心を結んで三角形を作ることがポイントとなります。136ページの解き方の図にあるように、アの位置に円Cがきたときの中心の点をD、イの位置に円Cがきたときの中心の点をEとします。

• (1)は省略します。
• (2)三角形DABも三角形EABも1辺の長さは、(3×2＝)6cmで、正三角形になります。よって、角DBE＝角DAE＝60×2＝120度です。円Cの中心が通った後の線は、半径6cmで、中心角が(360−120＝)240度の弧を2つつなげたかたちになります。6×2×3.14×240/360×2＝16×3.14＝50.24より、通った後の線の長さは、50.24cmです。
• (3)1辺6cmの正三角形が2つと、半径6cm、中心角240度のおうぎ形2つの、面積の和を求めます。正三角形2つの面積の合計は、15.6×2＝31.2平方cmです。おうぎ形2つの面積の合計は、6×6×3.14×240/360×2＝48×3.14＝150.72平方cmです。よって、31.2＋150.72＝181.92より、求める面積は181.92平方cmです。

＜算数　5年上　第13回＞

第13回は『場合の数(4)』です。今回は、「組み合わせ」を学習します。組み合わせとは、選ぶ順番は考えずに、組のメンバーを選ぶ場合の数を言います。例えば、A、B、C、D、Eの5人の中から2人の組を考えます。並べ方では、順番を考えて、ABとBAは別々に2通りと数えますが、顔ぶれは同じなので、組み合わせ(選び方)では1通りと数えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」では、赤玉が2個、白玉が2個、青玉が1個の合計5個の玉の中から3個の玉を選ぶ、場合の数を考える問題です。同じ色の玉がある場合には注意が必要で、樹形図を利用します。予習シリーズ119ページの解き方にある樹形図を参照して下さい。赤玉の選び方に注目して、赤玉を2個選ぶ場合、1個選ぶ場合、選ばない場合、と3つの場合に分けて考えます。赤玉を2個選ぶ場合は、赤−赤−白、赤−赤−青、の2通りとなります。次に、赤玉を1個選ぶ場合、赤−白−白、赤−白−青、の2通りとなります。赤玉は選ばない場合、白−白−青、の1通りとなります。よって、それぞれの場合の数を合計して、2＋2＋1＝5の5通りが答えです。

「必修例題2」は、計算により求めます。日直の2人を、並び方の規則(積の法則)で計算すると、5×4＝20通りになります。ですが、たとえば、AとB、BとAのように、顔ぶれとしてはおなじものが含まれます。つまり、並び方の20通りの中には、選び方としては、2通りずつ同じものが入ります。そこで、20÷2＝10より、2人の日直の選び方は10通りとなります。
この問題のように、選び方(組み合わせ)の計算では公式を作ることができます。全体数N個の中から、A個を選ぶ場合の選び方の計算(簡単に、NのAの組み合わせといいます)は、NのAの並び方の計算結果を、AのAの並び方の計算結果で割り算します。例えば、
5の2の組み合わせは、(5×4)÷(2×1)、
5の3の組み合わせは、(5×4×3)÷(3×2×1)、
6の2の組み合わせは、(6×5)÷(2×1)、
6の3の組み合わせは、(6×5×4)÷(3×2×1)　となります。

「必修例題3」では、上の公式を利用して計算します。

1. 4の3の組み合わせ計算で、(4×3×2)÷(3×2×1)＝(4×3×2)/(3×2×1)＝4ですが、4人から3人を選ぶということは、1人が残ります。この残りの1人の選び方を考えてもよいのですから、4通りです。つまり、4の3の組み合わせ計算は、4の(4−3＝)1の組み合わせ計算と同じ結果が得られます。このことは、よく使われる考え方です。たとえば、12色の色鉛筆の中から10色の色鉛筆を選びなさい、といった問題もありますが、これは、12の(12−10=)2の組み合わせ計算の問題です。
2. 男子は4の2の組み合わせ計算、女子は3の1の組み合わせ計算、この2つの計算結果を積の法則で計算します。男子は、(4×3)/(2×1)＝6通り。女子は3通りです。男子の2人を選び、続けて女子の1人を選びますので、6×3＝18という積の法則より、18通りです。

【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、点を選んで三角形を作る問題です。直線アの上の3個の点と、直線イの上の2個の点の、合わせて5個の点のうち、3個を選びます。5の3の組み合わせ計算ですが、これは5の(5−3＝)2の組み合わせ計算と同じですから、(5×4)/(2×1)＝10となります。ただし、直線アの上の3個の点を使っても三角形はできません。よって、1通り少なくなりますので、10−1＝9より、三角形は9個できます。

「必修例題5」は、0、1、2、3、4、5の6枚のカードから3枚を選んで、3けたの9の倍数が何通りできるかを考える問題です。まず、9の倍数となる数は、各位の数字の和が9の倍数になっていることを確認してください。予習シリーズ122ページにある、各倍数の見分け方を覚えましょう。そこで、6枚のカードの中から3枚を選んで、その3枚の数字の和が9となる組み合わせを作ります。(ア) (0、4、5)、(イ) (1、3、5)、(ウ) (2、3、4)が条件に合います。次に、それぞれの並べ方を考えます。(ア)百の位は、0を除く4か5の2通り、十の位は、百の位に置いたカード以外の2通り、一の位には残りの1通りが置けますので、2×2×1＝4通り作ることができます。(イ)、(ウ)は、どちらも条件はありませんので、百の位、十の位、一の位の順に並べ方を考えると、3×2×1＝6通りずつできます。場合に分けましたので、和の法則を使って、4＋6＋6＝16より、9の倍数は全部で16通りできます。

【攻略ポイント3】

「必修例題6」は、試合数の問題です。試合の仕方は、(1)のリーグ戦(総当たり戦)と、(2)のトーナメント戦(勝ち抜き戦)があります。名前を覚えるとともにしっかり区別して下さい。

1. リーグ戦は、6チームのうち、2チームが対戦しますから、6の2の組み合わせ計算ということになります。よって、(6×5)/(2×1)＝15より、15試合となります。
2. トーナメント戦は、最後に1チームが優勝しますが、このことは、残りの5チームはどこかの試合で負けるということです。1試合に1チームが負けますので、5チームが負けるということは、5試合ある、ということです。つまり、全チーム数から優勝する1チームを除いた数が、試合数となるわけです。答えは5試合です。

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