＜算数 6年上 第13回＞
第13回は『変化とグラフ』です。仕事に関する問題、料金を考える問題、水深の変化の問題などを学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は仕事に関する問題です。この問題は、時間の単位1あたりの仕事量をもとにして、すべての仕事量(全仕事量)を仕上げるのにかかる時間などを求める問題です。
- まず、水そうの満水の量を1として、3つの給水管の、1分あたりの水量を比で表します。A管だけで24分、B管だけで36分、C管だけで48分かかりますから、1分あたりの入れる水量の比は、A：B：C＝1/24：1/36：1/48＝6：4：3です。また、この比の数値を使って、水そうの満水の量は、6×24＝144となります(4×36、3×48でもかまいません)。 A、B、Cの3つの管を使って12分水を入れると、(6＋4＋3)×12＝156の量の水が入りますが、C管を止めていた時間があります。156−144＝12より、C管で12の量の分だけ止めていたことになります。12÷3＝4より、C管は4分止めていたことがわかります。
- ポンプ1台で1分間に□Lの水をくみ出すとします。毎分6Lの割合で水が流入していますので、この水そうの水量は、ポンプ1台で、1分間に(□−6)Lずつの水が減っていくことになります。ポンプ2台では、1分間で(□×2−6)Lずつ減りますので、50分で無くなる、つまり、満水の量は(□×2−6)×50＝□×100−300となります。また、ポンプ3台では、1分間で(□×3−6)Lずつ減りますので、30分で無くなる、満水の量は(□×3−6)×30＝□×90−180となります。満水の量は同じですから、□×100−300＝□×90−180です。300と180の違いは、(□×100)と(□×90)の違いと等しいことになりますから、□×(100−90)＝300−180となり、□＝120÷10＝12より、ポンプ1台が1分間にくみ出す水量は12Lという答えになります。満水の量は(12×2−6)×50＝900Lで、ポンプ8台で1分間に減らす水量は、12×8−6＝90Lですから、900÷90＝10より、ポンプ8台では、10分かかります。
【攻略ポイント2】
「必修例題2」は駐車場の料金を考える問題です。はじめの1時間までは600円で、1時間をこえるとすぐ250円が加算され、この250円は30分ごとに加算されるという仕組みです。この問題では、基本料金(1時間600円)、プラス追加料金という仕組みで駐車料金を計算します。追加料金は、時間単位を30分(1区分と名付けます)とする切り上げ計算になることを注意して下さい。例えば、5分、10分や15分の駐車であっても30分(1区分)として切り上げて計算します。
- 駐車時間の2時間40分のうち、基本分は1時間で、追加分が1時間40分＝100分となります。追加分は、100÷30＝3・1/3(3＋1/3をこのように表します)区分となり、整数区分に切り上げて4区分の料金になります。よって、基本料金の600円に追加料金の250円×4区分＝1000円をプラスした、600＋1000＝1600より、料金は1600円です。
- 2850円を基本料金と追加料金にわけると、追加料金は2850−600＝2250円です。2250÷250＝9区分となります。9区分は、30分×(9−1)＝240分を超えた時間から、30分×9＝270分までとなります。つまり、4時間を超えて、4時間30分までが追加分です。よって、1時間＋4時間＝5時間、1時間＋4時間30分＝5時間30分より、駐車時間は、5時間を超えて、5時間30分まで、ということになります。
【攻略ポイント3】
「必修例題3」は水そうの水の深さとグラフの問題です。
- 水そうの問題では、水の体積＝底面積×深さ、また、水の体積＝1分で入る水の量×時間 が重要になります。図2のグラフから、9分で15cmの深さまで水が入ることがわかります。この水そうの底面積は、10×(20＋10)＝300ですので、9分で入る水の体積は、300×15＝4500立方cm＝4.5Lとなります。そこで、1分で入る水の量を□Lとすると、□×9＝4.5となりますので、□＝4.5÷9＝0.5より、給水管Aからは、毎分0.5Lの水が入ります。
- 比を利用して求めます。一定の割合で水を入れますので、時間比と水の体積比は等しくなります。また、水そうのたての長さ(奥行き)は一定ですので、水の入っている部分の(横×深さ)の比は時間比と等しくなります。仕切り板の高さまでの、仕切り板の左側と右側の体積の比は、(高さが等しいので)横の長さの比と等しくなります。よって、体積比は20cm：10cm＝2：1となりますので、水をいれる時間の比も、2：1です。よって、9分÷(2＋1)×2＝6分より、aは6(分)です。また、図2のグラフから、仕切り板の深さ15cmまで9分で水がはいり、水そうの高さbまで12分で水が入ることがわかります。式にすると、15cm：b cm＝9：12となりますので、比例式の性質により、b＝15×12÷9＝20(cm)です。
- 排水口Bから水が出なくなるのは、仕切り板の高さ15cmより上の部分の水と、仕切り板の右側部分の水が無くなるまでです。水そうを満水にした12分から、仕切り板の左側部分をいっぱいにする(a＝)6分を引いて、給水管Aから(12−6＝)6分で入れた水の量が無くなる時間です。給水管Aから6分で、0.5×6＝3Lの水の量が入り、排水口Bからは毎分0.2Lずつ水が出ていきますので、3÷0.2＝15より、水が出なくなるまで15分かかります。
＜算数 5年上 第14回＞
第14回は『数に関する問題』です。素因数分解を利用した色々な問題を学習します。必修例題1において、素因数分解の仕方を身につけて下さい。なお、約数のことを因数ともいい、素数の因数ということで、素因数となります。素因数分解とは、ある整数を素因数の積の形に分解して表すことです。
【攻略ポイント1】
「必修例題2」は、素因数分解を利用した約数の個数の求め方を学習します。例えば、12＝2×2×3ですが、この12の約数（1、2、3、4、6、12）を素数の組み合わせて考えますと、1＝素数2や3を使わない数、2＝素数2を1個使った数、3＝素数3を1個使った数、4＝2×2→素数2を2個使った数、6＝2×3→素数2と3を1個ずつ使った数、12＝2×2×3→素数2を2個と素数3を1個使った数、です。つまり、12の素数のすべては、素数2を0個、1個、2個と使う(2＋1＝)3通りの使い方と、素数3を0個、1個と使う(1＋1＝)2通りの使い方の組み合わせです。よって、12の約数の個数は、3×2＝6より、6個あります。このように、ある整数を素因数分解したときに、その中にある素数の個数の組み合わせで、その整数の約数の個数は求められます。
- 32＝2×2×2×2×2ですから、素数2の使い方は、0個から5個まで5＋1＝6通りありますので、約数の個数は、6個です。
- 72＝2×2×2×3×3ですから、素数2の使い方は、3＋1＝4通り、素数3の使い方は2＋1＝3通り、組み合わせて4×3＝12より、72の約数の個数は12個です。
- 126＝2×3×3×7ですから、素数2の使い方は、1＋1＝2通り、素数3の使い方は2＋1＝3通り、素数7の使い方は1＋1＝2通り、組み合わせて2×3×2＝12より、126の素数の約数は12個です。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、最大公約数、最小公倍数が与えられたときの、もとの2つの整数を求める問題です。予習シリーズ131ページの解き方にある連除法を参照して下さい。最大公約数が6ですから、整数A、Bともに6で割り切れて、その商をa、bとすると、最小公倍数144は、6×a×bと表されます。6×a×b＝144ですから、a×b＝144÷6＝24となります。よって、条件のA＜Bより、a＜bですから、a、bの組み合わせを(a、b)の形で表すと、 (a、b)＝(1、24)、(2、12)、(3、8)、(4、6)と4通りあります。ですが、最大公約数で割った商は、互いに素(＝共通に割れる数がないこと)ですので、(2、12)と(4、6)はあてはまりません。したがって、(a、b)＝(1、24)、(3、8)の2通りで、これより、A、Bは、a、bそれぞれに6をかけることで求められます。A、Bの組み合わせを(A、B)の形で表して、(A、B)＝(6、144)、(18、48)が答えです。
【攻略ポイント3】
「必修例題4」は、素因数分解を利用して解く問題です。
- 24＝2×2×2×3ですから、2で3回割り切れることがわかります。よって、次の4回目の割り算で割り切れなくなりますので、答えは4回目です。
- 4＝2×2、6＝2×3、8＝2×2×2となりますので、4×6×8の積には、素数2が(2＋1＋3＝)6個あります。よって、2で6回割り切れます。よって、答えは、次の7回目です。
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