＜算数 6年上 第16回＞
第16回は『数(2)』です。数の範囲、分数と小数、約数と倍数、素因数分解の利用、あまりによる分類などを学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1(3)」は、分数の大小比べの問題です。分数は、分子と分母に同じ数をかけたり、同じ数で割っても、大きさは変わりません。3/31＝1/□となる□を考えます。分子の1は、1＝3÷3ですから、分母の31も3で割って、31÷3＝10.3…より、3/31＝1/10.3…、となります。同様に、13/51＝1/□では、1＝13÷13ですから、分母51も13で割って、51÷13＝3.9…より、13/51＝1/3.9…、となります。よって、3/31＜1/□＜13/51、は整頓すると、1/10.3…＜1/□＜1/3.9…となります。分母の関係では不等号が逆になって、3.9…＜□＜10.3…となります。よって、□にあてはまる数は、整数で4以上10以下の、10−4＋1＝7個です。
「必修例題2(1)」は分数と小数の関係を考える問題です。ここでは、1/10＝0.1、3/10＝0.3、1/100＝0.01、17/100＝0.17など、分母を10、100、…とすることで、分数を小数に換算することが容易になること、また、前問と同様、分母と分子に同じ数をかけても分数の大きさは変わらないことを利用します。
アの問題では、分母の（2×2×5×5×5）にいくつかをかけて10×10×…にすることがポイントとなります。（2×2×5×5×5）×［5×5×2×2×2］＝10×10×10×10×10となりますので、分子（3×7）にも［5×5×2×2×2］をかけます。よって、分子は4200となり、分母は100000となりますので、4200÷100000＝42÷1000＝0.042より、ア＝0.042です。イの問題も同様に、分母の（2×2×2×10×10）に［5×5×5］をかけることで、10×10×10×10×10＝100000とします。よって、分子は1に［5×5×5］をかけて、125になります。よって、1/100000＝0.00001（数字の順序が逆になります）ですから、ここに125をかけても位は、小数第5位までです。よって、イ＝5です。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、与えられた分数の既約分数や、分子1の分数を求める問題です。ちなみに、既約分数とは、約分をし終えてこれ以上約分できない分数のことです。
- 分母の96は、どんな数で約分できるかを考えますが、このためには、素因数分解を利用します。96＝2×2×2×2×2×3より、2または3で割れますので、分子が2または3の倍数である分数は約分できます。よって、それ以外の分数が何個あるかが答えです。ですから、分子の数について、2または3の倍数である数の個数を、1から95までの95個から引くことにより、求められます。今回は、別解となる周期性を利用して求めてみます。この解法は、予習シリーズ6年上第7回(76ページにある別解)で学習しています。また、この解法は、今後のレベルアップのために必要となりますので、ぜひ挑戦して下さい。2と3の最小公倍数である6までの数のうち、2または3の倍数以外の数は、｛1、5｝の2個です。つまり、6個を1周期として、そのうちの2個が条件に合います。分子を96までと考えます(96は条件に合いませんので、範囲に入れても答えには影響ありません)。96÷6＝16より、1周期に2個ずつありますので、2×16＝32となります。よって、既約分数は、全部で32個です。
- 約分して分子が1となるのは、例えば、96÷2＝48より2/96＝1/48、96÷6＝16より16/96＝1/16のように、分母÷分子＝整数、つまり分子が分母の約数になっている分数です。96の約数の個数は、素因数分解により、素数2は5個、素数3は1個ありますので、(5＋1)×(1＋1)＝12個あります。ですが、分子が1と96になる分数は入れませんので、12−2＝10より、約分して分子が1になる分数は10個です。
【攻略ポイント3】
「必修例題5」は、表(おもて)に1から50までの整数が書かれたカードを、裏返していく問題です。この問題は、整数の性質を考えます。はじめに、左から2枚ごとにカードを裏返しますが、裏返したカードに書かれている数は2の倍数です。また、裏返ったカードはそのままの状態で、次に左から3枚ごとに裏返します（裏になっているカードは表になります）が、裏返したカードに書かれている数は3の倍数です。これを、4枚ごと、5枚ごと、……、50枚ごとに裏返すことを続けます。例えば、6のカードは、2枚ごとに裏返すとき、3枚ごとに裏返すとき、6枚ごとに裏返すとき、の3回裏返されます。この2、3、6は1を除く6の約数です。つまり、裏返された回数は、その数の(約数の個数−1)回でということになります。
- 3回裏返されたカードは、約数の個数が(3＋1＝)4個の数のカードです。素因数分解を利用した個数の求め方（予習シリーズ6年上第7回80ページで学習）から、素数をaやb(aとは別の素数)として、4個の約数をもつ数は、(a×a×a)の形、あるいは(a×b)の形に表されます。よって、50以下では、2×2×2＝8、3×3×3＝27、また、2×3＝6、2×5＝10、2×7＝14、2×11＝22、2×13＝26、2×17＝34、2×19＝38、2×23＝46、3×5＝15、3×7＝21、3×11＝33、3×13＝39、5×7＝35、の15枚あります。
- 表面(数の書かれている面)が上になっているのは、裏返された回数が偶数回のカードです。ということは、約数の個数が(偶数＋1＝)奇数個の数が書かれたカードです。約数の個数が奇数個の数は、平方数（同じ数を2回かけてできている数）ですから、1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16、5×5＝25、6×6＝36、7×7＝49、の7枚あります。
＜算数 5年上 第17回＞
第17回は『容器と水量(1)』です。水量と水の深さ、水量の変化とグラフ、水深の変化とグラフを学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、水量と水の深さの問題です。直方体の容器に入っている水の体積は、直方体の底面積に(高さとなる)水の深さをかけて求められます。よって、水の体積＝底面積×深さ、を基本に問題を解きます。
- 直方体の容器の底面積は18×20＝360平方cmです。この容器に15cmの深さまで水を入れましたから、360×15＝5400より、水の体積は、5400立方cmです。リットル単位にすると、1L＝1000立方cmですから、答えは5.4Lです。
- 1dL＝100立方cmですから、12dL＝1200立方cmです。1辺が20cmの立方体の底面積は400平方cmで、この容器に□cmの深さまで水を入れると1200立方cmになるのですから、400×□＝1200という関係が成り立ちます。逆算して、□＝1200÷400＝3より、水の深さは3cmです。
- 2.4L＝2400立方cmです。底面積を□平方cmとして、15cmの深さまで水を入れたときの水の体積が2400立方cmになりますから、□×15＝2400という関係が成り立ちます。逆算して、□＝2400÷15＝160より、底面積は160平方cmです。
【攻略ポイント2】
「必修例題2」は、水を入れた部分の、容器の各辺の長さを読み取ることが重要な問題です。
- 水の入っている部分は、たてが20cm、横が45cm、深さが14cmです。よって、20×45×14＝12600より、水の体積は12600立方cmで、12.6Lです。
- 面ABCDが床につくように容器を立てると、たて20cm、横30cm、高さ18cmの部分の体積は、20×30×18＝10800立方cmです。水は12600立方cmですから、あと(12600−10800＝)1800立方cmは、この部分より上に入ります。上の部分は、たて20cm、横15cmより、底面積は20×15＝300平方cmですので、深さを□cmとすると、この部分で300×□＝1800という関係が成り立ちます。逆算して、□＝1800÷300＝6より、6cmまで水が入りますから、面ABCDからは、18＋6＝24より、24cmの深さになります。
【攻略ポイント3】
グラフの問題では、前回の速さのグラフで述べましたように、グラフの斜めの線の部分を斜辺とする直角三角形を考えます。この直角三角形で、たて線は水量または深さを、横線はその水量または深さになる時間を表します。
「必修例題3」は、水を入れるA管と、水を出すB管のついた水そうの問題です。グラフの右上がりの部分はA管だけを使って水が増えていく状態を、右下がりの部分はA管とB管を使って水が減っていく状態を表しています。
- 右上がりの直角三角形を考えますと、横線は(0から40までの)40分で、たて線は(400から1200までの)800Lと増えています。よって、800÷40＝20より、A管からは1分間に20Lの水が入ることがわかります。
- 右下がりの直角三角形で、横線は(40から60までの)20分で、たて線は(1200から400までの)800Lと減っています。よって、800÷20＝40より、A管とB管を使って、1分間に40L減っていることがわかります。ですから、20＋40＝60より、B管からは1分間に60Lの水が流れ出ることがわかります。40Lが答えではありませんので注意しましょう。
- A管とB管を使うと、1分間に40Lずつ減っていきます。60分後の400Lをなくすには、400÷40＝10より、あと10分必要です。よって、60＋10＝70より、水そうの中の水がなくなるのは、A管を開いてから70分後です。
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