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＜算数　6年上　第18回＞

第18回は『総合(第15回〜第17回)』です。

【攻略ポイント1】

「基本問題1(3)」は、整数の性質の問題です。積の3640を素因数分解すると、3640＝2×2×2×5×7×13となります。これを「2けたの整数」2つになるように分けて、それぞれの、十の位の数字と一の位の数字が逆になっている整数を見つけます。(2×2×2×7＝)56と、(5×13＝)65が見つかります。56＋65＝121となりますので、大きい方の数である65がaです。

「基本問題1(5)」は、エスカレーターの問題です。エスカレーターの問題では、すべての段数が距離、1秒間に歩く段数が速度と考えます。エスカレーターの速度を(エ)、歩く速度を(歩)と表します。距離(段数)が同じですから，速度比は時間の比の逆比になりますので、速度比、(エ)：(エ)＋(歩)＝1/25：1/15＝3：5です。1秒間に2段ずつ歩きますので、(歩)＝2段です。よって、(エ)＝2段÷(5−3)×3＝3段となります。1秒間に3段ずつ動くエスカレーターにのって25秒かかりますので、3×25＝75より、このエスカレーターの段数は75段です。

【攻略ポイント2】

「基本問題2」は、約数の個数についての問題です。ここで、約数の個数について分類しておきます。aあるいはbは素数を表します。個数が1個→整数の「1」。個数が2個→素数。個数が3個→素数aの平方数(同じ数を2回かけた数で、a×aと表される数)。個数が4個→素因数分解の形で、a×bまたはa×a×aと表される数。個数が奇数個→素数に関係なく、平方数。その他は個数が偶数個。

1. 素数の平方数で2けたの数ですから、5×5＝25、7×7＝49、以上25と49です。
2. 4の平方数から、9の平方数まで、6個です。
3. 4から9までの整数の中で、約数の個数が最も多い整数は、2×3＝6です。よって、6の平方数は、2×2×3×3＝36で、(2＋1)×(2＋1)＝9個の約数があります。答えは、36で、個数は9個です。

【攻略ポイント3】

「練習問題1」は、速度と比の問題です。

1. 弟に追いつくのに、兄が時速15kmの速さで12分進んだ距離と、時速20kmの速さで8分進んだ距離の差を、弟は、(12−8＝)4分で進むことになります。15×12/60＝3km、20×8/60＝8/3＝2・2/3（2＋2/3を表します）kmですから、差は3−2・2/3＝1/3kmで、この距離を弟は4分で進みますので、1/3÷4/60＝5より、弟の歩く速さは、時速5kmです。
2. 兄が時速15kmの速さで追いかけるとすると、速度比は時間比の逆比ですから、時間比は、兄：弟＝1/15：1/5＝1：3で、その差が12分ということになります。12÷1×(3−1)＝24より、弟は兄が出発する24分前に出発していることがわかります。 (5×24/60＝)2km先にいる弟を、兄が時速12.5kmの速さで追いかけます。旅人算により、2÷(12.5−5)＝2/7.5＝16/60より、16/60時間で追いつきます。同時に駅に着きますので、兄で考えて、12.5×16/60＝10/3＝3・1/3より、家から駅までの道のりは、3・1/3kmです。

＜算数　5年上　第20回＞

第20回は『総合(第16回〜第19回)』です。速さに関する問題と水そうの問題です。

【攻略ポイント1】

「基本問題第16回3」は、速さのつるかめ算の問題です。条件を整頓します。13時に出発して、4km/時(＝時速4km)の速さでa時間（速度を表す単位が時速ですから、時間を表す単位を時間にします）歩き、5/60時間(＝5分)休んでから、3km/時の速さでb時間歩いたところで、距離の合計は5kmになり、時間は休んだ5分を除いて、(14時30分−13時−5分＝)1時間25分＝1・25/60（1＋25/60を表します）＝1・5/12時間かかりました。式にすると、4×a＝P km、3×b＝Q kmと、かけ算の関係が2つできて、P＋Q＝5km（積＝かけ算の答えの和）と、a＋b＝1・5/12時間（かける数の和）が与えられていますので、この問題は、つるかめ算です。

1. 休む前の歩いていた時間を求めます。つるかめ算を使って、すべての距離を3km/時の速さで1・5/12時間歩くとします。3×1・5/12＝17/4kmになります。実際の5kmとの差は、4km/時の速さで歩いた部分があったからですので、(5−17/4)÷(4−3)＝3/4より、3/4時間＝45分が、4km/時の速さで歩いた時間です。よって、休んだ5分を加えて、13時＋45分＋5分＝13時50分が、再び歩き始めた時刻になります。
2. 休んだ地点は、4km/時の速さで3/4時間歩いた地点です。4×3/4＝3より、家から3kmのところです。

「基本問題第17回3」は、水そうの問題です。容器の形から、水の体積＝底面積×深さ の計算と、水の入れ方から、水の体積＝○L×□分 の計算を組み合わせて考えます。

1. グラフより、水そう (AとBともに)の仕切りの高さ32cmまで、16分で水がたまることがわかります。容器の形と水の入れ方から、40×80×32＝○L×16分 という関係になります。よって、○＝40×80×32÷16＝6400立方cmより、毎分6.4Lの割合で水を入れました。40×80×32の計算を先にしてしまわないで、最後に16で割るところまでまとめてすることに注意しましょう。そのうえで，分数の約分を利用すると、計算が速く確実にできます。
2. 水そうのAの部分に、仕切りの高さ32cmまで水を入れるのに、グラフより7分とわかります。よって、40×χ×32＝6400×7 という関係になりますので、χ＝6400×7÷(40×32)＝35より、χは35cmです。

【攻略ポイント2】

「基本問題第18回3」は、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。ダイヤグラムでは、グラフの直線を使った直角三角形に注目して考えます。まず、兄と弟の速さを求めます。兄は、900mの距離を12分で往復することがわかります。兄の速度は、900÷(12÷2)＝150m/分です。また、弟は、900mを18分で進みます。弟の速度は、900÷18＝50m/分です。グラフのa、bは、駅からもどってくる兄と、駅に向かう弟が出会ったところの、時間がa、家からの距離がbです。
兄と弟の進んだ距離の合計は900×2＝1800mで、進んだ距離の和を考えますので、速度も和を使います。1800÷(150＋50)＝9より、aは9(分)です。また、弟が9分で進んだ距離がbですから、50×9＝450より、bは450(m)です。

「基本問題第19回3」は、前問と同様、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。aは、AB間の距離を表しています。兄と弟は、向かい合って同時に出発してから15分で出会いますので、(90＋60)×15＝2250より、aは2250(m)です。
bは、兄と弟が2回目に出会った時間を表しています。第19回の必修例題4（予習シリーズ178ページ）で学習しましたように、2回目の出会いにかかる時間は、1回目の出会いにかかる時間の3倍の時間です。よって、15×3＝45より、bは45(分)です。
cは、2回目に出会った場所がA地点から何mはなれているかを表しています。B地点から出発した弟は、45分でAB間の2250mとcの距離を進みます。60×45＝2700mですから、2700−2250＝450より、cは450(m)です。

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