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＜算数　5年下　第11回＞

第11回は『速さと比(3)』です。円周上の同じ地点から2人が円周上を動く場合の問題です。基本の仕組みを理解しましょう。反対方向に進む場合は、出会うまでに進んだ距離の和が、円周の長さに等しくなります。また、同じ方向に進む場合は、追いつくまでに進んだ距離の差が、円周の長さに等しくなります。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、兄と弟が池のまわりを進む場合の問題です。

1. 池のまわりを1周するのにかかる、兄と弟の時間比は20：30＝2：3です。池1周の距離が一定ですので、兄と弟の速度比は、1/20：1/30＝3：2です。ここで、兄の速度を3として、池1周の距離を、3×20(分)＝60とします。2人が出発してはじめて出会うまでに進んだ距離の和は、池1周の60ですから、60÷(3＋2)＝12より、出発してから12分後に2人がはじめて出会います。
2. 弟の速度を2とします。5分後に、(2×5＝)10の距離だけ先にいる弟を兄が追いかけますから、10÷(3−2)＝10より、兄は出発して10分後に追いつきます。

「必修例題2」も、A、Bの2人が、池のまわりを進む問題です。ここでは、反対方向に進むときの出会う時間、同じ方向に進むときの追いこす時間が与えられています。

1. 旅人算では、反対方向に進む場合は速度の和を考え、同じ方向に進む場合は速度の差を考えます。よって、2人の、速度の和と速度の差の比は、1/6：1/24＝4：1です。和差算の考えで、A君の速度は、(4＋1)÷2＝2.5、B君の速度は、(4−1)÷2=1.5ですので、速度の比は、2.5：1.5＝5：3です。
2. 反対方向に進む場合、2人の速度の和は5+3＝8となりますので、反対方向に走った時の出会う時間の6分をかけて、池1周の距離を8×6＝48とします。よって、48÷5＝9.6より、A君が1周する時間は、9.6分です。
3. (2)で使った48を1周として、A君は9.6分ごとにスタート地点にもどります。また、B君は48÷3＝16分ごとにスタート地点にもどります。2人がスタート地点に同時にもどるのは、9.6と16の公倍数である48分後です。そして、このとき、48÷9.6＝5より、A君は、5周しました。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、兄と妹が別の地点から出発して池のまわりを進む問題です。予習シリーズ106ページの解き方にある図を参照してください。兄は、AB間を12+8＝10分で、ABC間を60分で進みます。妹は、BAC間を60分で進みます。

1. 2人がはじめて出会った地点をDとすると、DB間を妹は12分で、兄は8分で進みます。距離が等しい場合には、速度比と時間比は逆比になりますので、2人の速度比は、1/8：1/12＝3：2とわかります。また、時間が等しい場合には、速度比と距離比は正比例になりますので、距離比は、AD：DB＝3：2です。妹は、DB間を12分で進みましたから、BA間の距離である(2＋3＝)5を進むには、12分÷2×5＝30分より、30分かかりますので、答えは30分後です。
2. 妹は、BAC間を60分で進みますが、この距離のうち、BA間は30分かかっていますので、残りのAC間は、60−30＝30分かかります。2人の時間比は、2：3ですから、このAC間を兄は、30÷3×2＝20分で進みます。よって、60＋20＝80より、兄は、池のまわりを1周するのに、80分かかります。また、80÷2×3＝120より、妹は、120分かかります。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は時計算です。時計算では、両針(長針と短針)の離れている角度を距離と考えて、同方向に進む旅人算を考えて解きます。○時ちょうどの時刻のときに両針が何度離れているか。そこから、問われている角度になるまでの時間を考えます。

1. 4時のときに、両針は30度×4=120度離れています。この状態から、長針が6度/分、短針が0.5度/分ずつ、4時40分までの40分間進みますので、(6−0.5)度×40分=220度、長針が多く進むことになります。よって、両針の作る角は220−120＝100度 となります。
2. 両針が重なるには、長針が短針より120度多く進めばよいので、120÷(6−0.5)=120÷5.5＝120÷11/2=21・9/11分かかります。よって、4時21・9/11分 です。
3. 両針の作る角度が2度目に直角になるのは、長針が短針を追いこしてからです。つまり、長針が短針より120度多く動いて追いつき、その後90度多く動きますから、120＋90=210度多く動くことになります。210÷11/2=38・2/11分かかります。よって、4時38・2/11分 です。

＜算数　4年下　第11回＞

第11回は『分数(3)』です。分数×整数、分数÷整数、分数×分数、分数÷分数の計算を学習します。計算は、量的トレーニングが大切です。計算の仕方をしっかり、身に付けて、後はトレーニングです。今回は、具体的な計算の説明ではなく、注意点・ポイントとなる点をお話しします。

【攻略ポイント1】

分数×整数では、かける整数は分数の分子にかける。分数÷整数では、わる整数は分数の分母にかける。ここがポイントです。
「必修例題1」の計算上、注意すべきことを述べます。帯分数は仮分数に直して計算します。また、分数計算の答えは必ず既約分数です。そこで、約分できる場合には約分は途中でおこないます。分母の部分や分子の部分で、かけ算の形をつくり、そこで約分をするのです。計算の後では、数が大きくなり約分するのに手間がかかります。

【攻略ポイント2】

分数×分数では、分子どうし、分母どうしをかけ算します。分数÷分数では、わる分数の分母と分子を入れかえた分数(逆数)をかけ算します。
「必修例題2」の計算上の注意点は、必修例題1と同様です。(3)では、3つ以上の分数どうしのかけ算・わり算が混じった計算でも、1つの分数をつくり、この時点で約分をおこないます。

「必修例題3」は、計算のくふうの問題です。(1)分数・小数の混じった計算では、すべて分数にしてから、分数の乗除計算をおこないます。(2)わり算は、わられる数は分子に、わる数は分母にした分数に直すことができます。よって、かけ算・わり算だけの整数計算では、分数の乗除計算にすることが可能です。分数を利用すると、ひっ算をすることなく、計算が早くなることが多いのでお勧めします。

分数計算は、これからの算数に多用されます。計算は習うより慣れよ、です。前に述べましたように、量的なトレーニングが大切ですので、毎日計算トレーニングを心がけてください。

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