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＜算数　5年上　第16回＞

第16回は『速さ(2)』です。速さの3公式、往復の平均速度、ダイヤグラム、その他の速さの問題を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、速度の3公式を使う問題です。速度の問題では単位換算が重要になります。時速○kmならば、時間の単位は時間を、距離(＝道のり)の単位はkmを使います。分速○mならば、時間の単位は分を、距離の単位はmを使います。

1. 時速□kmを求めますので、距離単位はkmを、時間単位は時間を使用します。1時間20分を時間単位で表すと、20分は20/60＝1/3時間ですから、速度＝距離÷時間の公式により、20÷1・1/3（1＋1/3をこのように表すことにします）＝20×3/4＝15となりますので、時速15kmですから、□にあてはまる数は15となります。
2. 分速ですので、3時間40分＝220分と時間を分に換算します。距離＝速度×時間の公式により、60×220＝13200より、13200m＝13.2kmですから、□にあてはまる数は、13.2です。
3. 時間＝距離÷速度の公式により、12.6÷36＝126/360＝7/20となりますので、7/20時間です。分単位に換算すると、60分×7/20＝21分より、□にあてはまる数は21です。

「必修例題2」は、往復の平均速度の問題です。往復の平均速度は、往復の距離を、往復にかかった時間で割って求めます。行き帰りの速度をたして2で割ることではありませんので、注意しましょう。もともと速度の計算は、動きはじめから速度が一定であるわけではなく、距離を時間で割るという平均の考えです。2つの平均をたして2で割っても全体の平均を求めたことにはなりません。例えば、3人の体重平均と2人の体重平均から5人の体重平均を求める場合でも、正しくは、5人の体重合計を5で割ることで求める、ことと同様です。

1. 行きにかかる時間は、5÷12＝5/12時間で、帰りにかかる時間は、5÷3＝5/3時間ですから、5/12＋5/3＝5/12＋20/12＝25/12＝2・1/12より、2・1/12時間で、1/12時間は、60分×1/12＝5分ですから、往復にかかった時間は、2時間5分です。
2. 往復したときの平均速度＝往復の距離÷往復の時間ですから、(5×2)÷2・1/12＝10×12/25＝24/5＝4.8より、往復した平均速度は、毎時4.8kmです。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、ダイヤグラムの問題です。まず、ダイヤグラムとは、たて軸に距離を表し、横軸に時間を表して、距離と時間の関係を表したグラフのことです。このグラフを読めるようにすることが、今後の速さの問題を解くうえで大切になってきます。グラフの直線が右上がりの部分は、時間とともに前に進んでいることを表しています(右下がりの場合は、後ろへもどることを表します)。グラフの直線が横軸と平行の部分は、時間がたっても距離が進まない、つまり、ある場所にとどまっていることを表しています。

1. グラフのaは、午前8時に出発して、時速4kmの速度で進む太郎君が3.2km進んだ時刻を表しています。時間＝距離÷速さ ですから、3.2÷4＝0.8より、0.8時間＝48分ですから、aにあてはまる数は、8時＋48分＝8時48分です。
2. グラフの読み方としては、直角三角形を作って読みます。走る部分のグラフを直角三角形の斜めの辺、横軸が底辺、たて軸が高さにあたる三角形を考えると整頓できます。たて軸は、5−3.2＝1.8kmで、横軸は、C地点で立ち寄っていた20分を入れた8時＋48分＋20分＝9時8分から9時17分までの、(17−8＝)9分です。9分＝9/60時間ですから、速度＝距離÷時間より、1.8÷9/60＝18/10×60/9＝12となり、走る速度は、時速12kmです。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、速さのつるかめ算の問題です。家から交番までを毎分70mの速度で歩き、交番から学校までを毎分50mの速度で行きますが、距離の合計は1200mで、時間の合計は20分とわかっています。速度×時間＝距離から、かけ算の関係が2つあり、積(かけ算の答え)の合計が与えられていて、かける数の合計が与えられていますので、つるかめ算の問題になります。家から交番までの距離を求めますので、この距離を進む時間がわかれば、答えを求めることができます。交番から学校まで行く速度である毎分50mですべての距離を行くと仮定することからはじめます。(1200−50×20)÷(70−50)＝10より、家から交番まで、毎分70mの速度で10分かかったことがわかります。70×10＝700より、家から交番までの距離は、700mです。

速度問題は、中学入試において、出題される頻度が極めて高い分野です。また、応用の問題もこれから多く学習しますので、基礎をきちんと身に付けてください。

＜算数　4年上　第16回＞

第16回は『等差数列』です。等差数列とは、ある数に、一定の数を加えたり、ある数を引いたりして、作られる数の列をいいます。たとえば、5に3を次々に加えてできる、5、8、11、14、…、が等差数列です。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、等差数列の□番目の数や、その逆で、〇という数は、何番目に出てくるかといった、基本の問題です。　5、11、17、23、29、35、…、の数列は、はじめの数が5で、次々に6を加えてできた数列です。

1. 15番目の数までに、6は15−1＝14回加えています。よって、5＋6×14＝5＋84＝89より、はじめからかぞえて15番目の数は、89です。このように、加える数（この問題では、6）を何回加えたらよいかは、植木算の考え方で、間の数（この問題では、15番目までに間は14回）を考えることが重要です。
2. 同様に考えて、5＋6×(□−1)＝125となりますので、逆算して、□番目を求めます。(125−5)÷6＋1＝20＋1＝21より、125は21番目の数です。

「必修例題2」は、一定の数を、次々の引いてできている等差数列の問題です。　170、164、158、152、…、8。2　の数列は、170をはじめの数として、6ずつ引いてできた数列です。

1. 170−2＝168少なくなっていますが、6ずつ引いていますので、168÷6＝28回引いたことになります。ということは、間が28か所です。28＋1＝29より、全部で29個の整数を並べました。
2. 29個の整数の、真ん中は、29÷2＝14あまり1より、14＋1＝15番目です。15番目の数までに、間は14か所ですから、6×14＝84少なくなります。170−84＝86より、この数列の真ん中の数は、86です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、等差数列の和を考える問題です。等差数列のはじめの数から□番目の数までの和を考えます。基本は、予習シリーズ121ページのエピソードにあるように、ガウス少年が考えた等差数列の和を求める公式です。予習シリーズ123ページ、必修例題3の前にある説明、[等差数列の和]の公式の成り立ちを理解しましょう。
6、10、14、18、22、…、150　の数列は、はじめの数が6で、4ずつ増えて、終わりの数が150になっている等差数列です。(150−6)÷4＝36より、間の数が36か所ですから、数は、36＋1＝37個並んでいます。[等差数列の和＝(はじめの数＋終わりの数)×個数÷2]
を利用して、(6＋150)×37÷2＝2886より、この等差数列の数をすべて加えると、2886です。

「必修例題4」は、図形における等差数列の応用の問題です。
長方形を1個作るとき、棒は6本使っています。長方形を2個作るときは、棒を4本増やしてでき、その後も、棒を4本ずつ増やすことで、長方形が1個ずつ増えていきます。したがって、長方形の個数が1個、2個、3個、…となるとき、棒の本数は、6、10、14、…と、はじめの数が6で、4ずつ増える等差数列になっています。

1. 10番目の数は、6＋4×(10−1)＝42より、長方形を10つなぐとき、棒は42本使います。
2. 6＋4×(□−1)＝90より、□＝(90−6)÷4＋1＝22ですから、22個の長方形をつないだときです。このとき、図形全体では、たての長さは2cm、横の長さは22cmになりますので、(2＋22)×2＝48より、図形全体のまわりの長さは、48cmです。

等差数列は、その他の数列の問題や、規則性の問題でもよく使われますので、きちんと使えるようにしておきましょう。

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