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＜算数　5年下　第4回＞

第4回は『平面図形と比(2)』です。まずは、合同と相似から学習します。2つの図形において、形も大きさも等しい図形を合同といいます。また、形は同じですが、大きさが異なる図形を相似といいます。どのような場合に、合同や相似となるのかという条件があり、これらの条件を、それぞれ合同条件、相似条件といいます。予習シリーズ37ページにある条件をおぼえておきましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、合同条件の利用と、合同な図形における角度を求める問題です。

1. 三角形ABDと合同な三角形を見つける問題です。合同条件に合わせて、どの部分が等しいかを考えます。三角形ABCは正三角形ですから、AB＝BC、角ABD＝角BCE＝60°です。また、問題文よりBD＝CEです。よって、合同条件のうちの、2辺とその間の角がそれぞれ等しい、という条件にあてはまりますので、三角形BCEが、三角形ABDと合同です。
2. 合同な三角形では、対応(重なる)辺の長さや対応する角の大きさは等しいですから、三角形ABDと三角形BCEにおいて、角BAD＝角CBE＝24°です。また、角ABE＝60−24＝36°です。三角形の外角の定理により、χは、36°と角BADの和ですから、36＋24＝60より、χ＝60°です。

【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、縮尺の問題です。縮尺は地図などに使われます。実際の長さを地図などに表したものを縮図といいますが、この場合の小さくする割合を縮尺といいます。縮尺は、通常、分数を使用しますが、この分子の数が地図上の長さ、分母の数が実際の長さを表しています。なお、メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。

1. □/10km＝1/50000です。10kmをcmに直しますと、10km＝1000000cmですので、1000000÷50000＝100÷5＝20より、地図上の長さは、20cmです。
2. 縮尺は、長さの割合ですので、面積を考える場合は、長さにもどって考えるとわかりやすいです。2平方cmを、たて1cm、横2cmの長方形として考えます。地図上の1cmや2cmは、実際の長さでは、1×5000＝5000cm＝50m、2×5000＝10000cm＝100mです。よって、面積は50×100＝5000平方mとなります。1a＝100平方mですから、5000m＝50aですので、地図上の2平方cmは、実際の面積は、50aです。予習シリーズの解説では、長さが5000倍であれば面積は5000×5000倍になることから式を立てていますが、上記のように、地図上の面積から、自分で、地図上のたて×横を考え、このたて、横を実際の長さに直して、実際の面積計算をしても正解が求められます。

【攻略ポイント3】

相似な図形について、学習します。相似な図形において、対応する(重なる)辺の長さの比を相似比といいます。また、相似な図形の面積比は、相似比の数を2回ずつかけた数の比になります。予習シリーズ38ページの説明を参照してください。なお、相似な三角形は、平行線を利用して作られることがとても多くあります。代表的なものとして、ピラミッド型の相似、クロス型の相似があります。こちらも、予習シリーズ39ページの説明を参照してください。

「必修例題3」は、相似な三角形の辺の長さを求める問題です。

1. ABとCDの平行より、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形です。相似比は、AB：CD＝6：9＝2：3です。OB：ODも2：3で、OD＝7.5cmですから、OB＝7.5÷3×2＝5より、χ＝5cmです。
2. ABとCDが平行ですから、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形で、相似比は、AB：CD＝6：10＝3：5です。OB：ODも3：5で、OB＋OD＝3＋5＝8が12cmですから、OD＝12÷8×5＝7.5より、χ＝7.5cmです。

「必修例題4」は、相似な三角形の面積比の問題です。

1. BCとDEの平行より、三角形ADEと三角形ABCは相似な三角形です。相似比は、AE：AC＝6：(6＋4)＝3：5です。よって、対応する辺である、DE：BCも相似比は同じですから、3：5です。
2. 三角形ADEと三角形ABCの面積比は、相似比を2回ずつかけた、(3×3)：(5×5)＝9：25です。よって、四角形DBCEの面積は、25−9＝16になります。したがって、三角形ADEと四角形DBCEの面積比は、9：16です。

「必修例題6」は、何組かの相似な三角形が入った図形の問題です。　DEとBCの平行より、三角形ADEと三角形ABCは相似な三角形です。また、ABとEFの平行より、三角形ABCと三角形EFCも相似な三角形です。ここから三角形ABCを基準として、三角形ADEと三角形EFCも相似な三角形となります。

1. 四角形DBFEは平行四辺形になりますので、DB＝EFです。よって、相似な三角形ADEとEFCの相似比は、AD：EF(＝DB)＝6：3＝2：1です。したがって、対応する辺である、AEとECも相似比は等しく、AE：EC＝2：1です。
2. 三角形ABCと三角形ADEと三角形EFCは相似な三角形で、相似比は、AB：AD：EF＝(6＋3)：6：3＝3：2：1です。よって、面積比は、(3×3)：(2×2)：(1×1)＝9：4：1となります。四角形DBFEの面積は、9−(4＋1)＝4です。したがって、面積は三角形ABC＝9、四角形DBFE＝4ですので、4÷9＝4/9です。

「必修例題7」も、何組かの相似な三角形が入った問題です。
正方形は、対辺が平行になっていますので、相似な三角形が何組かできます。どの相似な三角形を利用するかが重要となります。

1. 辺CFを使っている三角形は、三角形FCEですので、この三角形FCEと相似な関係の三角形を見つけますと、ADとBFの平行により、三角形ADEが相似の関係にあります。よって、EC：ED＝2：4＝1：2が相似比になります。AD＝6cmが比の2にあたりますので、6÷2×1＝3より、CFの長さは3cmです。
2. (1)より、AE：EF＝2：1です。また、ABとDEの平行より、三角形ABGと三角形EDGは相似な三角形で、相似比は、AB：DE＝6：4＝3：2ですから、AG：GEも3：2です。このことから、AG＝3、GE＝2とすると、AE＝3＋2＝5となり、AE：EF＝2：1より、EF＝5÷2×1＝2.5となります。よって、AG：GE：EF＝3：2：2.5＝6：4：5です。

＜算数　4年下　第4回＞

第4回は『円(1)』です。円についての用語や円の性質を学習します。予習シリーズ31ページの説明をしっかり理解して覚えましょう。その性質を利用して、円の中にかかれた三角形や正多角形の角度を求める問題を考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、円の半径と直径の関係から長さの求める問題です。

1. ACは大きい円の直径です。半径が5cmですので、5×2＝10より、AC＝10cmです。
2. AB＝AC−BCです。BCは小さい円の直径で、半径が3cmですから、直径であるBC＝3×2＝6cmです。AC＝10cmです。よって、10−6＝4より、AB＝4cmです。

【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、円の中にある三角形の内角の1つの大きさを求める問題です。
円の半径は、すべて同じ長さですから、2つの半径を使った三角形OABは二等辺三角形です。よって、角OBA＝角OAB＝42°ですから、χの大きさは、三角形の内角の和である180°から、42°を2つ引いた大きさです。180−42×2＝96より、χ＝96°です。

「必修例題3」も、円の中にある三角形の内角の1つの大きさを求める問題です。
前例題と同様に、半径OAとOCを使った三角形OACは二等辺三角形です。よって、角OCA＝角OAC＝38°で、外角の定理により、角BOC＝38×2＝76°です。また、半径OBとOCを使った三角形OBCも二等辺三角形ですから、角OCB＝OBCです。したがって、三角形OBCの内角の和は、76＋χ×2＝180°です。(180−76)÷2＝52より、χ＝52°です。
なお、予習シリーズ33ページにある、かこみの中の説明は、今後も利用できる内容ですので理解しておきましょう。結果的には、直径を1辺として、円の内側に接した三角形を作ると、直径に向かい合っている角の大きさは、必ず直角(90°)になります。この性質を利用して、改めて必修例題3を解きます。角ACB＝90°ですから、三角形ABCの内角の和は、38＋90＋χ＝180°より、χ＝180−(38＋90)＝52°と求められます。

「必修例題4」は、円の中にある正多角形に関する問題です。正多角形とは辺の長さやそれぞれの内角の大きさがすべて等しい図形をいいます。
円周を5等分する点と、円の中心を結ぶ半径によって、中心のまわりの角360°は、5等分されます。χは、その2つ分です。360÷5×2＝144より、χ＝144°です。OとCを結ぶ半径をひきます。三角形OAC、OAB、OBCは、すべて二等辺三角形です。そして、角AOCは角AOBと等しく、350÷5×2＝144°、角BOC＝350÷5×1＝72°です。これより、三角形OACの内角の1つである角OCAは、(180−144)÷2＝18°、三角形OBCの内角の1つである角OCBは、(180−72)÷2＝54°です。y＝角OCA＋角OCBですから、18＋54＝72より、y＝72°です。

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