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＜算数　5年上　第16回＞

第16回は『速さ(2)』です。速さの3公式、往復の平均速度、ダイヤグラム、その他の速さの問題を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、速度の3公式を使う問題です。速度の問題では単位換算が重要になります。時速○kmならば、時間の単位は時間を、距離(＝道のり)の単位はkmを使います。分速○mならば、時間の単位は分を、距離の単位はmを使います。基本的には、問われている単位にそろえて計算をします。

1. 時速□kmを求めますので、距離単位はkmを、時間単位は時間を使用します。1時間20分を時間単位で表すと、20分は20/60＝1/3時間ですから、速度＝距離÷時間の公式により、20÷1・1/3（1＋1/3を1・1/3と表すことにします）＝20×3/4＝15となりますので、時速15kmですから、□にあてはまる数は15となります。
2. 分速ですので、3時間40分＝220分と分単位に換算します。距離＝速度×時間の公式により、60×220＝13200より、距離をkm単位に換算して、13200m＝13.2kmですから、□にあてはまる数は、13.2です。
3. 時間＝距離÷速度の公式により、12.6÷36＝126/360＝7/20となりますので、7/20時間です。分単位に換算すると、60分×7/20＝21分より、□にあてはまる数は21です。

「必修例題2」は、往復の平均速度の問題です。往復の平均速度は、往復の距離を、往復にかかった時間で割って求めます。行きと帰りの速度をたして2で割ることではありませんので、注意しましょう。もともと速度の計算は、動きはじめから速度が一定であるわけではなく、距離を時間で割るという平均の考えです。2つの平均をたして2で割っても全体の平均を求めたことにはなりません。例えば、3人の体重平均と2人の体重平均から5人の体重平均を求める場合でも、正しくは、5人の体重合計を5で割ることで求める、ということと同様です。

1. 行きにかかる時間は、5÷12＝5/12時間で、帰りにかかる時間は、5÷3＝5/3時間ですから、5/12＋5/3＝5/12＋20/12＝25/12＝2・1/12より、2・1/12時間で、1/12時間は、60分×1/12＝5分ですから、往復にかかった時間は、2時間5分です。
2. 往復したときの平均速度＝往復の距離÷往復の時間ですから、往復の距離＝5×2＝10km、往復の時間＝2・1/12時間ですので、10÷2・1/12＝10×12/25＝24/5＝4.8より、往復した平均速度は、毎時4.8kmです。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、ダイヤグラムの問題です。ダイヤグラムとは、たて軸に距離を表し、横軸に時間を表して、距離と時間の関係を表したグラフのことです。このグラフを読めるようにすることが、今後の速さの問題を解くうえで大切になってきます。グラフの直線が右上がりの部分は、時間とともに前に進んでいることを表しています(右下がりの場合は、後ろへもどることを表します)。グラフの直線が横軸と平行の部分は、時間がたっても距離が進まない、つまり、ある場所にとどまっていることを表しています。予習シリーズの問題にあるダイヤグラムを見ながら読み進めてください。

1. グラフのaは、午前8時に出発して、時速4kmの速度で進む太郎君が3.2km進んだ時刻を表しています。時間＝距離÷速さ です。3.2÷4＝0.8より、0.8時間＝48分ですから、aにあてはまる数は、8時＋48分＝8時48分です。
2. グラフの読み方としては、直角三角形を作って読みます。走る部分のグラフを直角三角形の斜めの辺、横軸が底辺、たて軸が高さにあたる三角形として考えると整頓できます。たて軸は、5－3.2＝1.8kmで、横軸は、C地点で立ち寄っていた20分を入れた8時＋48分＋20分＝9時8分から9時17分までの、(17－8＝)9分です。9分＝9/60時間ですから、速度＝距離÷時間より、1.8÷9/60＝18/10×60/9＝12となり、走る速度は、時速12kmです。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、速さのつるかめ算の問題です。家から交番までを毎分70mの速度で歩き、交番から学校までを毎分50mの速度で行きますが、距離の合計は1200mで、時間の合計は20分とわかっています。速度×時間＝距離から、かけ算の関係が2つあり、積(かけ算の答え)の合計が与えられていて、かける数の合計が与えられていますので、つるかめ算の問題になります。家から交番までの距離を求めますので、この距離を進む時間がわかれば、答えを求めることができます。交番から学校まで行く速度である毎分50mですべての距離を行くと仮定することからはじめます。(1200－50×20)÷(70－50)＝10より、家から交番まで、毎分70mの速度で10分かかったことがわかります。70×10＝700より、家から交番までの距離は、700mです。

速度問題は、中学入試において、出題される頻度が極めて高い分野です。また、応用の問題も今後も多く学習しますので、基礎をきちんと身に付けましょう。

＜算数　5年上　第17回＞

第17回は『容器と水量(1)』です。容器に入っている水について、水量と水の深さ、水量の変化とグラフ、水深の変化とグラフを学習します。直方体の容器に入っている水の体積は、直方体の底面積に(高さとなる)水の深さをかけて求められます。よって、水の体積＝底面積×深さ、を基本に問題を解きます。また、容積とは、容器の体積をいい、容器いっぱいに入った水の体積のことです。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、水量と水の深さの問題です。

1. 直方体の容器の底面積は18×20＝360平方cmです。この容器に15cmの深さまで水を入れましたから、360×15＝5400より、水の体積は、5400立方cmです。リットル単位にすると、1L＝1000立方cmですから、答えは5.4Lです。
2. 1dL＝100立方cmですから、12dL＝1200立方cmです。1辺が20cmの立方体の底面積は400平方cmで、この容器に□cmの深さまで水を入れると1200立方cmになるのですから、400×□＝1200という関係が成り立ちます。逆算して、□＝1200÷400＝3より、水の深さは3cmです。
3. 2.4L＝2400立方cmです。底面積を□平方cmとして、15cmの深さまで水を入れたときの水の体積が2400立方cmになりますから、□×15＝2400という関係が成り立ちます。逆算して、□＝2400÷15＝160より、底面積は160平方cmです。

水量の問題では、上記のように単位換算が必要になるケースがとても多いです。立方cm、dL、L、立方mの関係をしっかり覚え、使えるようにしましょう。

【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、水を入れた部分の、容器の各辺の長さを読み取ることが重要な問題です。

1. 水が入っている部分は、たてが20cm、横が45cm、深さが14cmです。よって、20×45×14＝12600より、水の体積は12600立方cmで、12.6Lです。
2. 面ABCDが床につくように容器を立てた場合の状況は、予習シリーズ156ページの解き方にある図の通りです。たて20cm、横30cm、高さ18cmの部分の体積は、20×30×18＝10800立方cmです。水は12600立方cmですから、残りの(12600－10800＝)1800立方cmは、この部分より上に入ります。上の部分の底面は、たて20cm、横15cmとなり、底面積は20×15＝300平方cmですので、深さを□cmとすると、この部分で300×□＝1800という関係が成り立ちます。逆算して、□＝1800÷300＝6より、6cmまで水が入りますから、面ABCDからは、18＋6＝24より、24cmの深さになります。
   6cmを答えとしないよう、注意しましょう。

【攻略ポイント3】

グラフの問題では、前回の速さのグラフで述べましたように、グラフの斜めの線の部分を斜辺とする直角三角形を考えます。この直角三角形で、たて線は水量または深さを、横線はその水量または深さになる時間を表します。

「必修例題3」は、水を入れるA管と、水を出すB管のついた水そうの問題です。グラフの右上がりの部分はA管だけを使って水が増えていく状態を、右下がりの部分はA管とB管を使って水が減っていく状態を表しています。

1. 右上がりの直角三角形を考えますと、横線は(0から40までの)40分で、たて線は(400から1200までの)800Lと増えています。よって、800÷40＝20より、A管からは1分間に20Lの水が入ることがわかります。
2. 右下がりの直角三角形で、横線は(40から60までの)20分で、たて線は(1200から400までの)800Lと減っています。よって、800÷20＝40より、A管とB管を使って、1分間に40L減っていることがわかります。ですから、20＋40＝60より、B管からは1分間に60Lの水が流れ出ることがわかります。40Lを答えとしないよう、注意しましょう。
3. A管とB管を使うと、1分間に40Lずつ減っていきます。60分後の400Lをなくすには、400÷40＝10より、あと10分必要です。よって、60＋10＝70より、水そうの中の水がなくなるのは、A管を開いてから70分後です。

「必修例題4」は、階段状の容器に水を入れる問題です。この場合、底面積が変化することに注意して解いていきます。予習シリーズ157ページにある、「水深の変化とグラフ」の説明もよく読んでおいてください。
(図1)より、容器の容積がわかるのは、水そうの階段になっている上の部分です。この部分の体積は、80×100×90＝720000立方cmで、720Lです。毎分24Lの割合で水を入れますから、720÷24＝30より、グラフのアから36(分)までの時間は30分とわかります。よって、36－30＝6より、アにあてはまる数は6です。
アが6ですから、水そうの階段になっている下の部分の体積は、24L×6＝144Lで、144000立方cmとなります。この部分の深さを□cmとすると、80×60×□＝144000より、□＝144000÷(80×60)＝30ですから、深さを表すイにあてはまる数は、30です。　ウは、容器全体の高さ(深さ)を表していますから、30＋90＝120より、ウにあてはまる数は、120です。

「必修例題5」は、仕切り板で分けられた容器に水を入れる問題です。グラフの読み取りが大切になります。グラフと水そうに入る水の入り方については、予習シリーズ159ページの解き方にある図を参照してください。仕切り板のある容器の問題では、断面図をかいて考えることが有効になります。なお、分数は、分子/分母の形で表し、帯分数は、整数・分子/分母の形で表しています。

1. 毎分9L＝9000立方cmの割合で、水そうのAの部分に水を入れ始めました。よって、グラフのはじめの部分は、Aに水を入れ始めて、8分後に仕切り板の高さまで水が入ったことを表しています。(図1)より、Aの部分の底面積は、60×40＝2400平方cmですから、仕切り板の高さを□cmとすると、2400×□＝9000×8より、□＝9000×8÷2400＝30ですから、仕切り板の高さは、30cmです。
2. グラフの横軸に平行な部分は、水そうのBの部分に水が入っていることを表しています。20－8＝12分より、Bの部分の仕切り板の高さまでの体積は、9000×12＝108000立方cmとわかります。よって、60×x×30＝108000より、108000÷(60×30)＝60ですので、xは60cmです。
3. この水そうの容積は、60×(40＋60)×50＝3000000立方cm＝300Lですから、300÷9＝33・1/3より、33・1/3分となります。1/3分＝60秒÷3＝20秒です。よって、水があふれ出すのは、水を入れ始めてから、33分20秒後です。

＜算数　4年上　第16回＞

第16回は『等差数列』です。等差数列とは、ある数に、一定の数を加えたり、ある数を引いたりして、作られる数の列をいいます。たとえば、5に3を次々に加えてできる、5、8、11、14、…、が等差数列です。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、等差数列の□番目の数や、その逆で、〇という数は、何番目に出てくるかといった、基本の問題です。　5、11、17、23、29、35、…、の数列は、はじめの数が5で、次々に6を加えてできた数列です。

1. 15番目の数までに、6は15－1＝14回加えています。よって、5＋6×14＝5＋84＝89より、はじめからかぞえて15番目の数は、89です。このように、加える数（この問題では、6）を何回加えたらよいかは、植木算の考え方で、間の数（この問題では、15番目までに間は14回）を考えることが重要です。
2. 同様に考えて、5＋6×(□－1)＝125となりますので、逆算して、□番目を求めます。(125－5)÷6＋1＝20＋1＝21より、125は21番目の数です。

「必修例題2」は、一定の数を、次々と引いてできている等差数列の問題です。
170、164、158、152、…、8。2　の数列は、170をはじめの数として、6ずつ引いてできた数列です。

1. 170－2＝168少なくなっていますが、6ずつ引いていますので、168÷6＝28回引いたことになります。ということは、間が28か所です。28＋1＝29より、全部で29個の整数を並べました。
2. 29個の整数の、真ん中は、29÷2＝14あまり1より、14＋1＝15番目です。15番目の数までに、間は14か所ですから、6×14＝84少なくなります。170－84＝86より、この数列の真ん中の数は、86です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、等差数列の和を考える問題です。等差数列のはじめの数から□番目の数までの和を考えます。基本は、予習シリーズ121ページのエピソードにあるように、ガウス少年が考えた等差数列の和を求める公式です。予習シリーズ123ページ、必修例題3の前にある説明、[等差数列の和]の公式の成り立ちを理解しましょう。
6、10、14、18、22、…、150　の数列は、はじめの数が6で、4ずつ増えて、終わりの数が150になっている等差数列です。(150－6)÷4＝36より、間の数が36か所ですから、数は、36＋1＝37個並んでいます。[等差数列の和＝(はじめの数＋終わりの数)×個数÷2]を利用して、(6＋150)×37÷2＝2886より、この等差数列の数をすべて加えると、2886です。

「必修例題4」は、図形における等差数列の応用の問題です。
長方形を1個作るとき、棒は6本使っています。長方形を2個作るときは、棒を4本増やしてでき、その後も、棒を4本ずつ増やすことで、長方形が1個ずつ増えていきます。したがって、長方形の個数が1個、2個、3個、…となるとき、棒の本数は、6、10、14、…と、はじめの数が6で、4ずつ増える等差数列になっています。

1. 10番目の数は、6＋4×(10－1)＝42より、長方形を10つなぐとき、棒は42本使います。
2. 6＋4×(□－1)＝90より、□＝(90－6)÷4＋1＝22ですから、22個の長方形をつないだときです。このとき、図形全体では、たての長さは2cm、横の長さは22cmになりますので、(2＋22)×2＝48より、図形全体のまわりの長さは、48cmです。

等差数列は、その他の数列の問題や、規則性の問題でもよく使われますので、きちんと使えるようにしておきましょう。

＜算数　4年上　第17回＞

第17回は『つるかめ算(1)』です。中学受験算数の中でも代表的な問題といわれるものです。予習シリーズ129ページから130ページにある説明をよく読んでください。つるかめ算のイメージをつかみ、解き方の仕組みを理解しましょう。また、つるかめ算が変化した弁償(べんしょう)算も学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、つるかめ算の基本の問題です。
1本60円のえんぴつと1本90円のボールペンを合わせて12本買って、代金の合計が840円です。えんぴつの本数を求めますが、求めるえんぴつの本数を0本としてスタートします。つまり、ボールペンを12本買ったことにします。90×12＝1080円で、1080－840＝240円より、実際の代金840円より、240円多いことになっています。ここで、ボールペン1本とえんぴつ1本をとりかえることを考えますと、代金は1本とりかえるごとに、90－60＝30円少なくなります。代金を240円少なくするためには、240÷30＝8より、8本とりかえればよいことになります。つまり、えんぴつは、8本買ったことになります。

「必修例題2」も、つるかめ算の基本の問題です。合計が表されていませんが、問題を最後まで読むと、すぐにわかる問題です。
50円切手と80円切手を合わせて15まい買い、代金は、1000－160＝840円です。80円切手の買ったまい数を求めますので、50円切手を15まい買ったことからスタートします。
840－50×15＝90より、実際との差は90円少ないです。50円切手と80円切手を1まいとりかえると、80－50＝30円多くなります。よって、90÷30＝3より、80円切手は3まい買いました。

【攻略ポイント2】

弁償算を学習します。つるかめ算では、1つとりかえるごとに差が変わってきましたが、弁償算では、1つとりかえるごとに和が変わってきます。

「必修例題3」は、弁償算の問題です。
おはじきを20個持っている太郎君が、1回勝つとおはじきが5個増え、1回負けるとおはじきが1個減るゲームをします。

1. 10回のゲームのうち、7回勝ったので、負けは3回です。勝ちが7回で、5×7＝35個増え、負けが3回で、1×3＝3個減ります。よって、20＋35－3＝52より、おはじきは52個になりました。
2. ゲームを20回行います。すべて勝ったとすると、おはじきは、20＋5×20＝120個になりますが、実際は78個です。120－78＝42個少なかったのですが、これは、1回勝ったときの5個が増えず、同時に1回負けたことによって1個が減りますので、合わせて、5＋1＝6個減ったためです。42個少なかったのですから、42÷6＝7回負けたことになります。よって、20－7＝13より、13回勝ちました。

つるかめ算と、弁償算のちがいをしっかりつかみ、どちらも解けるよう学習してください。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。