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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第21回のテーマは「規則性 周期と余り」です。今回は「周期に関する問題」を扱っていきます。今回もある程度は書いて調べることが必要です。周期があるためその周期を意識して書き出していきます。
初めは周期が2～3回ほど繰り返されるところで実験的に計算をして確かめてみるとよいでしょう。そうすることで周期をどのように使って計算と結びつけていくのかがわかり、ミスも減ります。
複数の周期を同時に考える場合は最小公倍数に注目してまとまった新たな周期を考えていきます。初めはわからなくても100個までは笑顔で書き出しましょう。
「学び1」では無限に続く数列の決まりを読み取っていきます。62ページの「やってみよう！」を説明します。3をかけあわせてできる数の1の位の数の変化について調べます。3が1個のときは3です。3を2個かけあわせると3×3=9となります。以下、同様に計算すると3×3×3=27で1の位は7です。
3×3×3×3＝81で1の位は1です。
3×3×3×3×3＝243で1の位は3です。
3×3×3×3×3×3＝729で1の位は9です。
3×3×3×3×3×3×3＝2187で1の位は7です。
3×3×3×3×3×3×3×3＝6561で1の位は1です。
ここで3をかけあわせてできる数の1の位の数を順に書き出してみると3、9、7、1、3 、9、7、1…となることがわかります、
このことから3をかけあわせてできる数の1の位の数は「3 、9、7、1」の4個の数の繰り返し（周期）になっていることがわかります。このため3をN個かけあわせた場合の1の位の数はN÷4を計算した余りから求めることができます。余りが1の場合は周期の1番初めの3となります。余りが2の場合は周期の2番目の9となります。余りが3の場合は周期の3番目の7となります。余りが0（ゼロ）の場合（余りがない）は周期の4番目の1となります。
例えば3を11個かけあわせた場合の1の位の数は11÷4＝2余り3となることから、7とわかります。このように果てしなく続く数列では初めに書き出して、そこから規則性を調べていくとよいでしょう。この考え方を使って62ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。
「学び2」では曜日と周期の関係について考えます。63ページを見てみましょう。ある年の5月1日は水曜日として、この年のある日の曜日を推測します。カレンダーを作ってみましょう。
5/1（水）、5/2（木）、5/3（金）、5/4（土）、5/5（日）、5/6（月）、5/7（火）…
5/1から5/7は水曜日から始まり火曜日でおわる7個の数の周期になっています。5/8は水曜日のためここから次の周期となります。
「学び1」と同じように考えます。5/1を1日目として、N日目の曜日はN÷7を計算した余りから求めることができます。余りが1の場合は周期の1番初めの水曜日となります。余りが2の場合は周期の2番目の木曜日となります。余りが3の場合は周期の3番目の金曜日となります。以降、余りが4の場合は土曜日、余りが5の場合は日曜日、余りが6の場合は月曜日、余りがない場合は火曜日となります。
例えば5/30の曜日を求めてみましょう。5/30は5/1を1日目とした場合、30日目です。したがって30÷7＝4余り2となることから、5/30は木曜日となります。次に6/15を考えてみましょう。5/1から5/31までは31日あります。6/1から6/15までは15日あります。したがって6/15は5/1を1日目とした場合、31＋15＝46日目です。このことから、46÷7＝6余り4となることから、6/15は土曜日となります。
「学び3」では2つ以上の周期があるときの考え方について学びます。65ページを見てみましょう。赤と青の電球がついては消えることを繰り返します。ページの中段にある「Ａさんの図」を見てみましょう。Ａさんは1秒ごとについている場合を◯、消えている場合を×で表しています。
赤の電球は3秒ついて1秒消えることを繰り返すため、1つの周期は「◯◯◯×（4秒間）」となります。青の電球は4秒ついて2秒消えることを繰り返すため、1つの周期は「◯◯◯◯××（6秒間）」となります。
ここで2つの周期からなる決まりをまとめて考えます。2行で示された赤の電球と青の電球の◯×の様子をまとめて見ていきます。1列目は赤い電球が◯、青い電球が◯で始まります。順番に列を見ていくと12列目で赤い電球が×、青い電球が×となります。
この2行12列のまとまりを1つの周期と考えます（この部分を線で囲んでみましょう）。ここでは赤の電球の周期が4秒間で青の電球の周期が6秒間のため、4と6の最小公倍数の12秒間で周期が決まります。すると13列目から24列目が次の周期になり、同じ決まりの繰り返しになることがわかります。
ここでまとまった1つの周期に注目して、わかることを挙げてみます。
①赤と青が同時についている時間は6秒間
②赤と青のどちらか一方がついている時間は5秒間
③赤と青が同時に消えている時間は1秒間
④赤と青がはじめ同時についてから12秒後に初めて赤と青が同時につく
まとまった1つの周期の特徴（上記の①～④）と周期の考え方を使って問題を解いていきます。
「学び4」ではのべの考え方について学びます。66ページの「やってみよう！」を説明します。40人の生徒が毎日水やりをすることから、出席番号1から順番に水やり当番を並べていきます。水やり当番を6人ずつ区切っていくと「1、2、3、4、5、6」「7、8、9、10、11、12」「13、14、15、16、17、18」…「37、38、39、40、1、2」「3、4、5、6、7、8」…となります。
また、クラスの人数は40人のため40人ずつ区切っていくと「1、2、3、…、38、39、40」「1、2、3、…、38、39、40」…となります。ここで「学び3」で学んだ「2つ以上の周期があるときの考え方」を使います。
6と40の最小公倍数は120のため120人目までのまとまりを1つの周期と考えます。すると121番目から再び出席番号1番から始まることが分かります。つまり、出席番号1番から6番の生徒が次に同じメンバーで一緒に掃除当番になるのは120÷6+1=21日目となります。
「学び5」では、整数の性質を利用して規則を見つける方法を考えていきます。67ページの「やってみよう！」を説明します。
上段の①は4の倍数と7の倍数を、②は4でも7でもわり切れない整数を表したもので28まで並べています。このまとまりを1つの周期として考えていきます。たとえば4の倍数と7の倍数を、小さい方から順に並べたときに小さい方から41番目の数を考えてみましょう。この場合は①の数列を考えればよいことになります。①の数列は「4、7、8、12、14、16、20、21、24、28」と10個の数が並びます。
したがって41番目の数は41÷10＝4余り1となることからまとまった周期の5個目で①の数列の1番目であることがわかります。したがって、41番目の数は4＋28×4＝116であることがわかります。この考え方を使って「やってみよう！」に取り組みましょう。
演習としては69ページから71ページは必修です。73ページ以降もいったん調べてから規則性や周期に注目をして解いていきましょう。調べることはとても大切です。73ページの問1、問2はどのような周期になるのかに注目します。
74ページの問3、問4は「学び2」で学んだ考え方を使います。75ページの問6は周期を見破ることができるかがポイントです。数字の並び方をよく見てみましょう。問7は問題文にある循環小数を分数で表す方法をよく読んで考えましょう。
第21回のテーマは「数と計算 小数の計算•逆算」です。今回の内容は「小数のかけ算」「小数のわり算」「小数の四則混合計算と分配法則」「小数の逆算」です。ミスを防ぐためには丁寧に計算することです。
そのため、計算式や筆算がうまく書けない場合は罫線やマス目のあるノートを使うなど工夫が必要です。小数点の位置や桁のそろえ方など細かい部分に配慮しながら進めていきましょう。
「学び1」では小数のかけ算について学びます。小数のかけ算の筆算では数字を右にそろえて書きます。右にそろえて書いたら、小数点は気にしないでそのまま計算します。最後に答えの小数点をつける位置に注意しましょう。
48ページを見てみましょう。3.85×2.2の筆算が書いてあります。数字を右にそろえていることを確認しましょう。3.85が小数第2位まで（後ろから2つ目）、2.2が小数第1位まで（後ろから1つ目）の数のため、答えの小数点の位置は後ろから3つ目（2つ目＋1つ目）となります。
小数点の扱い方については50ページの例1、51ページの例2に式による説明で紹介されています。まずは計算ができることが重要なため、理解度に合わせて読んでみるとよいでしょう。
「学び2」では小数のわり算について学びます。ポイントは「小数点の位置」です。50ページの例1の筆算の過程を見ながら進めましょう。
例1は小数÷整数です。整数でわる場合は小数点の位置はそのままで整数のときと同じように計算します。ここではわり切れるまで計算するため、商に7を立てて計算した後は0（ゼロ）を下ろします。このように下ろす数字かがない場合、0を下ろします。計算が終わったら商に小数点をつけます。小数点の位置はわられる数の小数点の位置と同じにします。
例2は小数÷小数です。50ページ下段を見てみましょう。例1ではわる数が整数でした。ここではわる数が0.6のためわる数とわられる数を10倍してわる数を整数にします。もともと小数点のあった位置と移動した小数点の位置はどちらも重要なためわかるように残しておきます。
これ以降の計算は例1と同じです。計算が終わったら商に小数点をつけます。小数点の位置はわられる数の移動後の小数点の位置と同じにします。余りを出す場合は、余りの小数点の位置はわられる数のはじめの小数点の位置と同じにします（51ページ例3を参考にしましょう）。
小数のわり算の筆算ではきちんと縦の列をそろえて書くようにしましょう。列がそろわないために、ひき算で間違えたり、数字を下ろす位置を間違えたりと誤答を招くきっかけとなります。十分に注意しましょう。
「学び3」では小数の四則混合計算について学びます。計算の順番は「左から順に計算する」「カッコの中を先に計算する」「たし算・ひき算よりもかけ算・わり算を先に計算する」など整数の計算のときと同じです。
53ページの「やってみよう！」を見てみましょう。かっこの中の計算の順番は「小かっこ→中かっこ→大かっこ」です。1つひとつの順番を確認しながら計算の過程を確認しておくとよいでしょう。
54ページの分配法則も確認しておきましょう。分配法則はこれからの計算で利用する場面がとても多いので、使い方をしっかり理解しておきましょう。
分配法則とは（ア＋イ）×ウ＝ア×ウ＋イ×ウが成り立つことをいいます。今回は小数の計算を効率よく行うためにア×ウ＋イ×ウ＝（ア＋イ）×ウのように分配するのではなく、ウに注目をして、まとめる方法を学びます。
54ページの「やってみよう！」を見てみましょう。2.53に注目して式を見てみましょう。式は「2.53×7.2」「2.53×6.7」「2.53×3.9」をたし算やひき算をした形になっています。かけ算のどの部分にも「2.53」があるため、まとめてしまいます。すると2.53×（7.2+6.7-3.9）となります。かっこの中を先に計算して2.53×10＝25.3となります。
この方法は円やおうぎ形の周りの長さや面積を出すときに効果的です。
「学び4」ではでは四則混合逆算を学びます。55ページの「やってみよう！」では線分図や面積を使って逆算のプロセスを確認します。整数のときと同様の考え方ですが、後ろが□のひき算、わり算の逆算（例4と例8）はあらためて注意しておきましょう。
例1～例8の逆算を図と対応させながらやってみましょう。56ページの「やってみよう！」にも挑戦してみましょう。
演習としては57ページから58ページは必修です。60ページから62ページの問1～問6にも取り組みましょう。60ページの問1は「学び3」で使った分配法則を使います。62ページの問5はある数を□として、文章を式にしてから考えましょう。かっこを利用して、文章通りに式を作って逆算をしてみましょう。
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