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No.811 明日の組分けで偏差値を5上げる!四谷大塚・早稲田アカデミー5年生組分けテストの戦い方

 最重要単元は旅人算です。人と人が出会うまでの時間や道のりを計算するとてもドラマチックな単元です!苦手なお子様が多いと思いますがコツさえつかめばカンタンです。

 それでは、重要ポイントを第5位からご紹介します。ぜひクラスアップを実現してください!応援しています!

【第5位 第11回から第14回の復習:場合の数の重要問題に要注意です!】

 点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。
 ・第11回 円すいの公式、回転体
 ・第12回 道順、ぬり分け
 ・第13回 倍数の見分け方、試合数
 ・第14回 約数の個数、素因数分解の利用

【第4位 つるかめ算:問題文を読んでつるかめ算が使えるとすぐに判断できていますか?】

 つるかめ算は「2種類の量の合計が分かっているときに、それぞれの個数を求める」問題ですから、いろいろな単元で登場します。問題文に特徴があるので見抜けるようになるまで練習しましょう。

 「30L入る水そうに給水管A、Bがついています。A管からは毎分2L、B管からは毎分1Lの水を入れることができます。はじめA管だけで水を入れていましたが、途中からB管も開いて水を入れたところ、全部で12分かかりました。B管で水を入れた時間は何分ですか。」

という問題を考えてみましょう。
 2種類の量の合計(30Lと12分)が分かっていて、それぞれの個数(A管で入れた時間、A管とB管で入れた時間)を求める問題ですから、つるかめ算と見抜けます。
 ここでつるかめ算の基本を確認しておきましょう。
(1) 全部A管だけを使ったとすると、2×12=24(L)となります。
(2) 実際との違いを考えると、30-24=6(L)少なくなっていることがわかります。
(3) 「A管だけ」を「A管とB管」に置きかえると1分につき、(2+1)-2=1(L)増えます。
(4) (1)から(3)を考えて、6÷1=6(分)と求まります。
以上のように考えて1つの式で、(30-2×12)÷(3-2)=6(分)と求められるように練習していきましょう。
 
 もう1題やってみましょう。

 「A地点から1500m離れたB地点まで行くのに、はじめは分速70mで歩いていましたが、途中のC地点から分速130mの速さで走ったところ、全部で15分かかりました。A地点からC地点までの道のりは何mですか。」

 今度も同じように考えます。2種類の量の合計(1500mと15分)が分かっていて、それぞれの個数(歩いた時間、走った時間)を求めるつるかめ算です。したがって、歩いた時間は (130×15-1500)÷(130-70)=7.5(分)となります。ここで注意することは「速さのつるかめ算は時間を分けている」という点です。ですから、求めた時間を使って道のりを求めます。よって、A地点からC地点までの道のりは 70×7.5=525(m)と求まります。

 このようにつるかめ算を使う問題は、問題文に特徴があるので練習をすれば必ず見抜けるようになります。つるかめ算は、今回以降も頻繁に登場してきますので、しっかり見抜けるようになっておきたいところです。

【第3位 平均の速さ:「足して2で割る」と間違った計算をしていませんか?】

 今まで学習してきた「速さ」は全て「平均の速さ」です。「平均」という言葉に引きずられて「足して2で割る」というミスをしないように注意しましょう。

 「24km離れたA町とB町の間を1往復しました。行きの速さが毎時4km、帰りの速さが毎時6kmのとき、往復の平均の速さは毎時何kmになりますか。」

という問題で考えてみましょう。
 速さの公式を確認すると「速さ=道のり÷時間」です。この問題に合わせてもう少し詳しく書くと「往復の平均の速さ=往復の道のり÷往復にかかった時間」になります。このことから「平均」という言葉に惑わされず、いつも通り速さを求めればよいことが分かります。
 往復の道のりは 24×2=48(km)、往復の時間は 24÷4+24÷6=10(時間)となるので、往復の平均の速さは 48÷10=4.8(km/時)と求まります。

 もう1題やってみましょう。

 「A町からB町まで15km、B町からC町まで12km離れています。A町からB町まで毎時5km、B町からC町まで毎時2kmで歩いたとき、A町からC町までの平均の速さは毎時何kmですか。」

 この問題も同じように「A町からC町までの平均の速さ=A町からC町までの道のり÷A町からC町まで移動するのにかかった時間」と考えます。A町からC町までの道のり=15+12=27(km)、A町からC町まで移動するのにかかった時間=15÷5+12÷2=9(時間)となるので、A町からC町までの平均の速さ=27÷9=3(km/時)と求まります。

【第2位 3人の旅人算:状況を整理する進行図がかけていますか?】

 3人の旅人算では、3人の中から注目する2人を決めて、その2人で旅人算の公式を使っていきます。問題を読んで条件を整理して、誰と誰に注目して旅人算の公式を使うのか考えて問題を解いていきましょう。

 「A、B、C、の3人がそれぞれ毎分98m、88m、72mの速さで、AとBはP地点からQ地点に向かって、CはQ地点からP地点に向かって、同時に出発しました。このとき、AとCが出会ってから2分後にBとCが出会いました。P地点とQ地点は何m離れていましたか。」 

という問題を考えてみましょう。
 進行図を丁寧にかいて状況を整理します。左側をP地点、右側をQ地点として、まずAとCが出会った状況をかきこみます。AとCが出会った場所をR地点とすると、BはAより遅いのでR地点の手前までしか進めません。Bが移動した状況をかきこみ、このときBがいる場所をS地点とします。するとS地点とR地点の道のりは、BとCが2分で出会ったことから (88+72)×2=320(m)とわかります。このS地点とR地点の道のりは、AとCが出会ったときの「BとCの間の道のり」と「AとBの間の道のり」という2つの見方ができます。問題にBとCが出会ったと書いてあるので「BとCの間の道のり」はすぐにわかりますが、AとCが出会った時点での「AとBの間の道のり」と、視点を切り替えることがポイントになります。AとBの間の道のりが320mなので 320÷(98-88)=32(分後)にAとCが出会ったことがわかります。したがってP地点とQ地点の道のりは(98+72)×32=5440(m)と求まります。
 条件を図にまとめて、目で見ながら考えるようにすると効果的です。問題文を読んだだけでは気付き難いことも、目で見たらすぐに気が付くという事も多いです。繰り返し練習して身につけましょう。

【第1位 往復の旅人算:出会う回数とかかる時間の関係は理解できていますか?】

 往復の旅人算では、2人が「同じ場所から出発」するのか、「反対側から出発」するのか注意しなければなりません。特に「反対側から出発」する問題は、入試問題でも出題頻度が高い問題の1つです。1回目に出会うときと2回目に出会うときの進行図は覚えるまで練習してもよいでしょう。次の問題で練習してみましょう。

 「兄はA町から、弟はB町から同時に出発し、それぞれ一定の速さでA町とB町の間を往復します。1回目に出会った場所はB町から400mの地点で、2回目に出会った場所はA町から200mの地点でした。このとき、A町とB町は何m離れていますか。」 

 まず進行図をかいてみましょう。1回目に出会った地点をC地点とすると、兄と弟がA町とB町をそれぞれ出発してC地点で出会っている状況がかきこめます。BC間に400mと書くのも忘れずに。
 次に2回目に出会っている進行図を1回目の進行図の横に並べてかいてみます。兄と弟はそれぞれB町とA町を折り返して出発地点に戻っている途中です。2回目に出会った地点をD地点とすると、AD間が200mとなります。これらの状況を進行図にまとめます。
 2つの進行図を見比べると、1回目に出会うまでの兄と弟が移動した道のりの和はAB間1本分で、2回目に出会うまでの兄と弟が移動した道のりの和はAB間3本分になっていることが分かります。つまり、出発してから2回目に出会うまでの時間は、出発してから1回目に出会うまでの時間の3倍になっているということです。弟の移動した道のりに注目すると、1回目に出会うまでにB→Cの400m移動しているので、2回目に出会うまでのB→A→Dの道のりは 400×3=1200(m)と計算でき、このことからAB間の道のりは1200-200=1000(m)と求まります。
 このように往復の旅人算は、出発してからN回目に出会うまでの時間は、出発してから1回目に出会うまでの時間のN+1(倍)になるという関係を利用すると解き易くなります。もちろん問題によって条件は異なりますから、まずは進行図に状況をかきこんで整理して考えることが大事になってきます。

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