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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
5年生はいよいよ「比」が始まりますが、このタイミングで比を学習するのには明確な理由があります。ここまで、受験算数の基本にあたる単元をひと通り学習してきました。では、この段階で入試問題を解いてみると、どれだけの問題を解くことができると思いますか？残念ながら解ける問題は全体の2割か3割くらいにとどまるでしょう。それは比そのものだけでなく、「速さと比」や「相似」「面積比」といった入試で頻出の問題のほとんどが、比と他単元をからめて作られているため、比を学習していなければ、手も足も出なくなってしまうからです。
逆に言えば、比をマスターすることで、5年生の皆さんはまるでサナギがチョウになるかのような変貌を遂げるのです。まず、比を習い、続けざまに「平面図形と比」「速さと比」を学習して入試問題への対応力を養成し、入試に直結する実践的な問題演習へとステージが上がっていくという流れになります。ここからの半年で5年生はサナギからチョウへと成長する。その為に夏休みが終わってすぐのこの時期に「比」の演習をスタートさせる必要があるのです。
それだけ重要な比です。どうか基本からしっかり理解を積み重ねることを目標にして、学習を進めてください。
第1回は『比(1)』です。比とは、割合の表し方のひとつです。割合では、もとにする量を1とし、比べる量を小数や分数で表していますが、比では倍数を利用して、どちらも整数になるように表します。例えば、比べる量が0.3の場合、もとにする量を10とし、比べる量を3と表します。この後の算数では、多くの場面で比を活用します。予習シリーズに出ている説明をよく読み、基礎となる用語や使い方などを、しっかりと学習しましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表示します。
比と比の表し方や連比について学習します。基礎となる内容ですのでトレーニングを量的にこなしましょう。また、予習シリーズ7ページの必修例題の前に書いてある内容をよく読み用語をしっかり身に付けましょう。
「必修例題1」は、比を簡単にする(できるだけ小さな整数の比にする)問題です。
(1) 30と45の最大公約数である15で、前項と後項を割ることで、簡単にすることができます。よって、30÷15＝2、45÷2＝3より、30：45＝2：3です。
(2) 小数を分数に直して、0.25＝1/4とします。1/4と3/5に、分母(4と5)の最小公倍数である20をかけると、整数にできます。よって、0.25：3/5＝1/4：3/5＝5：12です。
(3) 単位のついている数の場合には、単位をそろえます。a(アール)を平方mの単位にしてそろえます。2a＝200平方ｍですから、200平方m：120平方m＝200：120＝5：3です。単位をそろえる際には、数が大きい方の単位にそろえるようにしましょう。例えばこの問題で、単位をaにそろえると、120平方m＝0.12aと小数になってしまい、間違いやすくなってしまいます。
「必修例題2」は、文章の中の数量について、比を作る問題です。
(1) 5年生の男子の人数は18人、5年生の女子の人数は12人です。この男子と女子の人数の比を問われていますので、18：12＝3：2より、5年生の男子と女子の人数の比は、3：2です。
(2) 5年生の人数は、18＋12＝30人、6年生の人数は、32＋18＝50人です。30：50＝3：5より、5年生と6年生の人数の比は、3：5です。
比の積と商について、学習します。予習シリーズ8ページの必修例題3の前の説明をよく読みましょう。比の積と商は、簡単なようでいて、なかなか対応しづらい内容です。
「必修例題3」は、比の積と商の問題です。
(1) 表示金額(硬貨に表されている金額)×枚数＝金額ですから、(10円×4)：(50円×1)＝4：5より、金額の比は、4：5です。
(2) 枚数＝金額÷表示金額ですから、(3÷10円)：(5÷50円)＝3/10：5/50＝3：1より、枚数の比は、3：1です。
比の1あたりの量について学習します。割合の場合と同様、比の1あたりの量を求めて、問われている量を求めます。文章中に与えられている条件は、比の前項・後項のどちらか片方の実際量が与えられているか、前項・後項の両方の実際量の和が与えられているか、前項・後項の両方の実際量の差が与えられているかの3通りのうちのどれか１つです。この読み取りが重要となります。
「必修例題4」は、比の1あたりの量を求め、そのうえで、問われている数量を考えます。
(1) 比の片方の実際数量が与えられた問題です。5年生の男子の人数は24人で、この数量が比の3です。24÷3＝8より、比の1つ分は8ですから、5年生の女子の人数を表す比の2は、8×2＝16より、女子の人数は16人です。
(2) 和の数量が与えられた問題です。400円を5：3に分けるということは、比の5＋3＝8が400円ということですので、400÷8＝50より、比の1つ分は50円です。よって、比の5（姉のもらう分）は、50×5＝250より、姉は250円もらいます。
(3) 差の数量が与えられた問題です。約分した分数である3/7は、予習シリーズ7ページの説明にありますように、分数は比の値を表しますので、比で表すと、3：7ということです。この比の差である7－3＝4が、数量として12ですので、12÷4＝3が、比の1つ分です。よって、分子は、3×3＝9で、分母は、3×7＝21ですから、求める分数は9/21となります。
「必修例題5」は、変化していないものは何かを読み取る問題です。
兄と弟が同じ金額を出し合いますので、2人の所持金の差は、ボールを買う前と後では変わらないことに注目します。予習シリーズ10ページの解き方にある線分図を参照してください。所持金の差は、1050－750＝300円で、この金額が、比の差になります。300円÷(3－1)＝150円が、比の1つ分です。よって、150×(3＋1)＝600より、残りの金額の合計は600円です。1050＋750－600＝1200より、ボール1個は、1200円でした。
3つ以上の項でできている比を、連比といいます。
「必修例題6」は、2項の比2組から、3項の連比を作る問題です。
(1) A：B＝3：4、B：C＝8：7において、Bは4および8になっています。これは、2組の比において、比の1つ分が異なっているからです。このままでは、AとCを比べることはできません。そこで、比の1つ分をそろえる(比を統一する)ことが必要になります。Bの4と8を最小公倍数の8にします。A：B＝3：4＝6：8ですから、A：B：C＝6：8：7となります。
(2) 太郎君の年令はお母さんの年令の3/8ですから、年令を比で表すと、お母さん：太郎君＝1：3/8＝8：3となります。また、お父さん：太郎君＝7：2ですので、太郎君の年令の比を、3と2の最小公倍数である6に統一すると、お父さん：太郎君＝7：2＝21：6、お母さん：太郎君＝8：3＝16：6です。よって、お父さん：お母さん：太郎君＝21：16：6より、お父さんとお母さんの年令の比は、21：16です。
第2回は『比(2)』です。比例式と比例、逆比と反比例、倍数算を学習します。
まずは、比例式の学習です。比例式とは、2組の比が等号で結ばれた式のことで、比の値が等しくなっています。ここで学習する比例式は、比の問題を解く場面において、とても利用度の高い計算方法です。分数・小数のかけ算・わり算も含めて、比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)を使えるようにトレーニングしておきましょう。また、倍数算は、比の１あたりの量が異なった2組の比を、１あたりの量を等しく（統一）させて考える問題です。なお、分数は、分子/分母の形で表示します。
比例式と比例について学習します。予習シリーズ17ページの説明を参照してください。
例えば、単価(1つの値段)の等しい品物を買った時の個数と代金は、個数が2倍、3倍、…になると、代金も2倍、3倍、…になりますが、このような関係を比例といいます。私たちの身の回りにある2つの数量の関係において、最も多くある関係です。
「必修例題1」は、比例式を使って、未知数(わからない数)を求める問題です。
(1) x：20が3：5と等しいので、20÷5＝4より、比の1つ分は4とわかります。よって、4×3＝12より、xは、12です。
(2) ここでは、比の1つ分を考えず、比例式の性質を利用して求めます。比例式の性質とは、「外項の積は内項の積に等しい」というものです。比例式A：B＝C：Dでは、A×D＝B×Cが成り立ちます。このことを利用して、x×2/3＝3×0.25より、x＝3×0.25÷2/3＝1・1/8（帯分数 1＋1/8をこのように表すことにします）となります。
「必修例題2」は、比例式を使って解く文章題です。
単価×個数＝代金より、個数が等しいならば、単価と代金は比例します。単価の比が45：30＝3：2であれば、代金の比も3：2で、実際の代金の差が75円です。よって、75÷(3－2)＝75円が比の1つ分とわかります。75円×3＝225円より、持っていったお金は225円です。
逆比と反比例について学習します。予習シリーズ18ページの説明を参照してください。逆比については、特に注意が必要です。逆比とは、逆数（この説明もきちんと理解してください）の比ということで、比の前項と後項を逆にすることではありません。
「必修例題3」は、積が等しい関係から、逆比を考える問題です。
(1) 文章を式にすると、A×3＝B×2となります。この答えを1とします。つまり、A×3＝1となりますので、A＝1÷3＝1/3です。また、B×2＝1となりますので、B＝1÷2＝1/2です。A、Bはそれぞれ、かけてある数の逆数になっています。結果として、逆数の比になりますので、A：B＝1/3：1/2＝2：3です。
(2) 上の考え方と同様に、A＝1÷4/5＝5/4、B＝1÷2/3＝3/2となりますので、A：B＝5/4：3/2＝5：6です。
(3) A＝A×1ですから、A、B、Cのそれぞれにかけられている数の逆数をつくると、1の逆数は1、1・1/5＝6/5の逆数は5/6、0.8＝4/5の逆数は5/4となります。よって、A：B：C＝1：5/6：5/4＝12：10：15です。
「必修例題4」は、逆比を利用して解く文章題です。
(1) 大人2人分の入園料と子ども5人分の入園料が等しいので、大人と子ども1人分の入園料をそれぞれA円とB円として式に整頓すると、A×2＝B×5となります。よって、A：B＝1/2：1/5＝5：2より、大人1人と子ども1人の入園料の比は、5：2です。
(2) 1人分の入園料を、大人＝5、子ども＝2とすると、大人3人と子ども7人の入園料の合計は、5×3＋2×7＝29となり、これが2320円です。よって、2320÷29＝80円が比の1つ分ですので、80×2＝160より、子ども1人の入園料は160円です。
「必修例題5」は、食塩水の問題です。「食塩水の重さ×濃さ＝食塩の重さ」において食塩の重さ(積)が変わらないときには、食塩水の重さと濃さは反比例の関係になります。反比例については、予習シリーズ20ページの説明を参照してください。
食塩水に水を加えても、食塩の重さは変わりません。濃さの比、8％；6％＝4：3の逆比である、1/4：1/3＝3：4が、食塩水の重さの比となります。食塩水の重さの違いは、100ｇの水を加えたことによるものです。よって、100ｇ÷(4－3)＝100ｇが比の1つ分です。100×3＝300より、はじめ、容器には300ｇの食塩水が入っていました。
倍数算について学習します。倍数算は、比の1つ分が異なる、2組の比において、共通の1つ分を作って(統一して)考える問題です。共通にするために、最小公倍数を利用します。
「必修例題6」は、倍数算の代表である、和が変わらない問題と差が変わらない問題です。
(1) やりとり問題と言われる問題です。和(合計)の数量はやりとり後も変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の和を2組の比の間でそろえます。兄と弟の持っているカードの枚数について、やりとり前は7：3（和は10）ですが、やりとり後は、3：2（和は5）になりました。和を、10と5の最小公倍数である10になるようにすると、やりとり前をそのまま7：3で、やりとり後を3：2＝6：4にします。比の1つ分がそろいましたので、兄が弟にあげた4枚により、兄は7から6に1減り、弟は3から4に1増えています。つまり、比の1つ分は4枚です。4×7＝28より、はじめに兄が持っていたカードの枚数は28枚です。
(2) 同量の増減問題で、差が変わらないタイプの問題です。お金を使った後も2人の持っているお金の差は変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の差を２組の比の間でそろえます。姉と妹の持っているお金について、使う前は5：3（差は2）ですが、使った後は4：1（差は3）になりました。差の、2と3を最小公倍数である6になるようにすると、使う前は5：3＝15：9に、使った後は4：1＝8：2になります。比の1つ分がそろいましたので、姉は15から8に7減り、妹は9から2に同じく7減っています。比の7が使った420円で、420円÷7＝60円が比の1つ分です。60×9＝540より、はじめに妹が持っていたお金は540円です。
比の1つ分がわかった後、最後にどの数字をかけるかに気をつけましょう。特にやりとり問題では、やりとりの前の値か、後の値のどちらを求めるかで間違わないように注意が必要です。
第1回は『約数と公約数』です。整数に関する問題の基礎となりますので、ていねいに学習して身に付けてください。作業的な部分が多く、まずは、約数を求める、最大公約数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。予習シリーズ7ページ、8ページに書いてある用語（素数、約数、公約数、最大公約数）をきちんと理解しましょう。
0でない3つの整数A、B、Cにおいて、A÷B＝C（または、A＝B×C）となる関係があるとき、BやCをAの約数といいます。予習シリーズ7ページにある用語(素数、約数)をきちんと理解しましょう。
「必修例題1」は、ある整数について、その約数を求め、その個数を求める問題です。
56を2つの整数の積に表しますと、1×56、2×28、4×14、7×8となります。よって、56の約数は、{1、2、4、7、8、14、28、56}の8個です。
「必修例題2」は、約数を利用して、条件にあった整数を求める問題です。
文章を整頓すると、90÷□＝〇あまり10となり、この式の□にあてはまる数を求めます。約数に関する問題では、あまりを無くして考えます(A÷B＝Cのかたちで考えます)ので、90からあまりの10を引いて、80÷□＝〇としますと、□は、80の約数として考えることになります。ただし、あまりが10ですので、□は10より大きい数ですから、「10より大きい80の約数」が条件にあてはまることに注意しましょう。前問と同様に、80を2つの積で表すことにより、約数を求めると、{1、2、4、5、8、10、16、20、40、80}となり、このうち、10より大きい約数を考えます。よって、あてはまる整数は、{16、20、40、80}です。
公約数、最大公約数について学習します。予習シリーズ8ページから9ページの説明や用語(公約数、最大公約数、連除法)をきちんと理解しましょう。
「必修例題3」は、連除法による最大公約数を求める問題です。予習シリーズ9ページの解き方にある連除法についての説明を参照してください。
(1) (60、96)をともに素数2で割ると、(30、48)となり、まだともに2で割れるので割って、(15、24)となります。この後は、2で割れないので、次の小さい素数3で割ると、(5、8)となり、これ以上共通に割れる数はありません。よって、共通に割った数の積、2×2×3＝12より、最大公約数は12です。
(2) (42、56、98)をともに素数の2で割ると、(21、28、49)。次の素数3、5では割れないので素数7で割って、(3、4、7)となり、これ以上共通に割れる数はありません。よって、共通に割った数の積、2×7＝14より、最大公約数は14です。
「必修例題4」は、文章問題です。
赤い色紙と青い色紙を何人かの子どもに、それぞれ同じ枚数ずつ配りますので、子どもの人数を□人にして式に整頓すると、赤い色紙については、28÷□＝〇、青い色紙については、48÷□＝△あまり6となります。□は、28の約数であり、(48－6＝)42の約数ですから、28と42の公約数を求めればよいことになります。「公約数は最大公約数の約数」ですから、まず、最大公約数を求めます。連除法により、最大公約数は14となり、公約数は、14の約数である{1、2、7、14}です。しかし、あまりが6ですので、□にあてはまる数は、{7、14}です。よって、子どもの人数は、7人か14人です。
第2回は『倍数と公倍数』です。倍数という言葉からも何倍かしてできる数であることがわかると思います。A÷B＝C（A＝B×C）の関係で、AはBやCの倍数です。第1回の約数の場合と同様、倍数を求める、最小公倍数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。また、倍数の個数を求める計算もしっかり理解してください。
「必修例題1」は、倍数の仕組みを考える問題です。
(1) 100÷8＝12あまり4より、8を12倍した数が求める数です。8×12＝96より、または、100－4＝96より、答えは、96です。
(2) 8の倍数は、8×1＝8、8×2＝16、8×3＝24、…のように、1から順にかけていくことで作ることができますから、8×12までの、12個です。ある数Nまでに数Aの倍数が何個あるかの計算は、この問題のように、N÷Aの計算をした整数の商が個数となります。
公倍数と最小公倍数について学習します。予習シリーズ16、17ページの説明をよく読んで、理解しましょう。連除法による最小公倍数の求め方ですが、注意すべきは、3つ以上の整数の連除法で、最大公約数のときと異なる部分があることです。違いを確実に習得しましょう。
「必修例題2」は、公倍数の基本となる問題です。
(1) 9の倍数と、12の倍数を書いていき、等しい数がはじめて出てきたら、その数が最小公倍数です。答えは、36です。連除法を利用すると、より早く求められます。予習シリーズ17ページの解き方の前半部分を参照してください。
(2) 「公倍数は、最小公倍数の倍数」です。公倍数の10番目は、最小公倍数に10をかけることで求めることができます。36×10＝360より、小さい方からかぞえて10番目の数は、360です。
「必修例題3」は、3つの整数の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。
どちらも連除法を利用します。最大公約数については、第1回で学習した通りに求めます。注意すべきは、最小公倍数の場合です。3つ(以上)の整数の場合は、2つの整数が共通にわれるときは、わっていきます。このとき、われない数は、そのまま下へおろします。そのうえで、連除法の左に表れたわった数と、一番下に残った数をすべてかけ算した結果が、最小公倍数です。予習シリーズ17ページの解き方を参照してください。答えは、最大公約数が6、最小公倍数は1512です。
「必修例題4」は、すこし複雑な公倍数の問題です。公倍数の問題では、整数の集まりをグループに分けて表す図（ベン図）で考えると、理解しやすくなります。予習シリーズ18ページの解き方にあるベン図を参照してください。
(1) 4でわり切れる数は4の倍数です。同様に、6でわり切れる数は6の倍数です。よって、どちらでもわり切れる数は、4と6の公倍数です。(公)倍数の個数を求めますので、必修例題1で学習したように、わり算の商が求める個数です。4と6の公倍数は、4と6の最小公倍数である12の倍数です。よって、100までの整数のうち12の倍数の個数を求めます。100÷12＝8あまり4より、4でも6でもわり切れる整数は、8個です。
(2) ベン図を利用すると、4の倍数(の個数)のうち、12の倍数(の個数)をのぞいた部分とわかります。100÷4＝25個が4の倍数の個数です。また、12の倍数の個数は、(1)で求めた8個です。よって、求める個数は、25－8＝17より、17個です。
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