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No.924 早稲アカ・四谷大塚4・5年生 予習シリーズ算数上 第17回対策ポイント

<算数 5年上 第17回>

 第17回は『容器と水量(1)』です。容器に入っている水について、水量と水の深さ、水量の変化とグラフ、水深の変化とグラフを学習します。直方体の容器に入っている水の体積は、直方体の底面積に(高さとなる)水の深さをかけて求められます。よって、水の体積=底面積×深さ、を基本に問題を解きます。また、容積とは、容器の体積をいい、容器いっぱいに入った水の体積のことです。

【攻略ポイント1】

 「必修例題1」は、水量と水の深さの問題です。
(1) 直方体の容器の底面積は18×20=360平方cmです。この容器に15cmの深さまで水を入れましたから、360×15=5400より、水の体積は、5400立方cmです。リットル単位にすると、1L=1000立方cmですから、答えは5.4Lです。
(2) 1dL=100立方cmですから、12dL=1200立方cmです。1辺が20cmの立方体の底面積は(20×20=)400平方cmで、この容器に□cmの深さまで水を入れると1200立方cmになるのですから、400×□=1200という関係が成り立ちます。逆算して、□=1200÷400=3より、水の深さは3cmです。
(3) 2.4L=2400立方cmです。底面積を□平方cmとして、15cmの深さまで水を入れたときの水の体積が2400立方cmになりますから、□×15=2400という関係が成り立ちます。逆算して、□=2400÷15=160より、底面積は160平方cmです。

 水量の問題では、上記のように単位換算が必要になるケースがとても多いです。立方cm、dL、L、立方mの関係をしっかり覚え、使えるようにしましょう。

【攻略ポイント2】

 「必修例題2」は、水を入れた部分の、容器の各辺の長さを読み取ることが重要な問題です。
(1) 水が入っている部分は、たてが20cm、横が45cm、深さが14cmです。よって、20×45×14=12600より、水の体積は12600立方cmで、12.6Lです。
(2) 面ABCDが床につくように容器を立てた場合の状況は、予習シリーズ156ページの解き方にある図の通りです。参照して下さい。下の部分である、たて20cm、横30cm、高さ18cmの部分の体積は、20×30×18=10800立方cmです。水は12600立方cmですから、残りの(12600-10800=)1800立方cmは、この部分より上に入ります。上の部分の底面は、たて20cm、横15cmとなり、底面積は20×15=300平方cmですので、上の部分の深さを□cmとすると、この部分で300×□=1800という関係が成り立ちます。逆算して、□=1800÷300=6より、6cmまで水が入りますから、面ABCDからは、18+6=24より、24cmの深さになります。6cmを答えとしないよう、注意しましょう。

【攻略ポイント3】

 グラフの問題では、前回の速さのグラフで述べましたように、グラフの斜めの線の部分を斜辺とする直角三角形を考えます。この直角三角形で、たて線は水量または深さを、横線は(その水量または深さになる)時間を表します。

 「必修例題3」は、水を入れるA管と、水を出すB管のついた水そうの問題です。グラフの右上がりの部分はA管だけを使って水が増えていく状態を、右下がりの部分はA管とB管を使って水が減っていく状態を表しています。
(1) 右上がりの直角三角形を考えますと、横線は(0から40までの)40分で、たて線は(400から1200までの)800Lと増えています。よって、800÷40=20より、A管からは1分間に20Lの水が入ることがわかります。
(2) 右下がりの直角三角形で、横線は(40から60までの)20分で、たて線は(1200から400までの)800Lと減っています。よって、800÷20=40より、A管とB管を使って、1分間に40Lの割合で減っていることがわかります。ですから、20+40=60より、B管からは1分間に60Lの水が流れ出ることがわかります。40Lを答えとしないよう、注意しましょう。
(3) A管とB管を使うと、1分間に40Lずつ減っていきます。60分後の400Lをなくすには、400÷40=10より、あと10分必要です。よって、60+10=70より、水そうの中の水がなくなるのは、A管を開いてから70分後です。

 「必修例題4」は、階段状の容器に水を入れる問題です。この「必修例題4」と次の「必修例題5」のタイプの問題がテストではよく出されます。水そうのかたちとグラフの関係をしっかり理解しましょう。
「必修例題4」では、底面積が変化することに注意して解いていきます。予習シリーズ157ページにある、「水深の変化とグラフ」の説明もよく読んでおいてください。特にグラフの傾きと底面積の大きさの関係には十分に注意しましょう。
 (図1)より、容器の容積がわかるのは、水そうの階段になっている上の部分です。この部分の体積は、80×100×90=720000立方cmで、720Lです。毎分24Lの割合で水を入れますから、720÷24=30より、グラフのアから36(分)までの時間は30分とわかります。よって、36-30=6より、アにあてはまる数は6です。
 アが6ですから、水そうの階段になっている下の部分の体積は、24L×6=144Lで、144000立方cmとなります。この部分の深さを□cmとすると、80×60×□=144000より、□=144000÷(80×60)=30ですから、深さを表すイにあてはまる数は、30です。
 ウは、容器全体の高さ(深さ)を表していますから、30+90=120より、ウにあてはまる数は、120です。

 「必修例題5」は、仕切り板で分けられた容器に水を入れる問題です。グラフの読み取りが大切になります。グラフと水そうに入る水の入り方の順については、予習シリーズ159ページの解き方にある図を参照してください。仕切り板のある容器の問題では、この図(断面図)をかいて考えることが有効になります。なお、分数は、分子/分母の形で表し、帯分数は、整数・分子/分母の形で表しています。
(1) 毎分9L=9000立方cmの割合で、水そうのAの部分に水を入れ始めました。よって、グラフのはじめの部分は、Aに水を入れ始めて、8分後に仕切り板の高さまで水が入ったことを表しています。(図1)より、Aの部分の底面積は、60×40=2400平方cmですから、仕切り板の高さを□cmとすると、この部分の体積は、2400×□(平方cm)で、また、8分で入るので、9000×8(平方cm)です。よって、2400×□=9000×8となりますので、この等式より、□=9000×8÷2400=30ですから、仕切り板の高さは、30cmです。
(2) グラフの横軸に平行な部分は、水そうのAの部分の高さが変わらないことから、水そうのBの部分に水が入っていることを表しています。20-8=12分より、Bの部分の仕切り板の高さまでの体積は、9000×12=108000立方cmとわかります。よって、60×x×30=108000より、108000÷(60×30)=60ですので、xは60cmです。
(3) この水そうの容積は、60×(40+60)×50=3000000立方cm=300Lですから、300÷9=33・1/3より、33・1/3分となります。1/3分=60秒÷3=20秒です。よって、水があふれ出すのは、水を入れ始めてから、33分20秒後です。

 水量変化とグラフの問題では、(1)で使ったような、容器の形から考えられる水の体積(2400×□)と、水の入れ方から考えられる水の体積(9000×8)を等式でつなぐことで、求める量を解く方法がおすすめです。ぜひ、挑戦してみてください。

<算数 4年上 第17回>

 第17回は『つるかめ算(1)』です。中学受験算数の中でも代表的な問題といわれるものです。予習シリーズ129ページから130ページにある説明をよく読んでください。つるかめ算のイメージをつかみ、解き方の仕組みを理解しましょう。また、つるかめ算が変化した弁償(べんしょう)算も学習します。

【攻略ポイント1】

 つるかめ算の問題を解く仕組みを考えましょう。
 「必修例題1」は、つるかめ算の基本の問題です。1本60円のえんぴつと1本90円のボールペンを合わせて12本買って、代金の合計が840円です。えんぴつの本数を求めますが、求めるえんぴつの本数を0本としてスタートします。つまり、12本すべてボールペンを買ったことにします。90×12=1080円で、1080-840=240円より、実際の代金840円より240円多くなっています。
ここで、ボールペン1本とえんぴつ1本をとりかえることを考えますと、代金は1本とりかえるごとに90-60=30円少なくなります。代金を240円少なくするためには、240÷30=8より、8本とりかえればよいことになります。つまり、えんぴつは8本買ったことになります。
 「必修例題2」も、つるかめ算の基本の問題です。合計が表されていませんが、問題を最後まで読むと、すぐにわかる問題です。50円切手と80円切手を合わせて15まい買い、代金は、1000-160=840円です。80円切手の買ったまい数を求めますので、50円切手を15まい買ったことからスタートします。840-50×15=90より、実際との差は90円(少ない)です。50円切手と80円切手を1まいとりかえると、80-50=30円多くなります。よって、90÷30=3より、80円切手は3まい買いました。
 2つの量について、それぞれの1個あたりの量と個数、そして全体の量がわかった場合に、つるかめ算が使えることになります。問題文を読んで、つるかめ算が使えることの判断ができるだけ速くできるように、練習を重ねましょう。

【攻略ポイント2】

 弁償算を学習します。つるかめ算では、1つとりかえるごとに差が変わってきましたが、弁償算では、1つとりかえるごとに和が変わってきます。その違いに気をつけて、どちらもしっかり式を立てられるようにしましょう。

 「必修例題3」は、弁償算の問題です。
 おはじきを20個持っている太郎君が、1回勝つとおはじきが5個増え、1回負けるとおはじきが1個減るゲームをします。
(1) 10回のゲームのうち、7回勝ったので、負けは3回です。勝ちが7回で、5×7=35個増え、負けが3回で、1×3=3個減ります。よって、20+35-3=52より、おはじきは52個になりました。
(2) ゲームを20回行います。すべて勝ったと考えることからスタートします。
すると、おはじきは、20+5×20=120個になりますが、実際は78個です。120-78=42個少なかったのですが、これは、1回勝ったときの5個が増えず、同時に1回負けたことによって1個が減りますので、(勝った場合にくらべ)合わせて、5+1=6個減るためです。このことをしっかり理解してください。
42個少なかったのですから、42÷6=7回負けたことになります。よって、20-7=13より、13回勝ちました。
 問われているのは、勝った回数なのか、負けた回数なのかを、間違えないように問題文をよく読みましょう。
 
 つるかめ算と、弁償算のちがいをしっかりつかみ、どちらも解けるよう学習してください。

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