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No.1076 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 4・5年生(第3回)

<算数 5年下 第3回>

 第3回は『平面図形と比(1) 』です。高さの等しい2つの三角形について、底辺の長さと面積の関係を学習します。高さの等しい三角形とは、ある三角形において頂点を通り底辺まで引いた直線で2つの三角形に分けた形です。あるいは、台形を1本の対角線で2つの三角形に分けた形です。予習シリーズ27ページの説明にある図を参照してください。
 この場合、三角形の面積を求める公式(底辺×高さ÷2)から、分けられた2つの三角形の面積の比は、それぞれの三角形の底辺の長さの比と等しくなります(底辺比=面積比)。なおメルマガでは、分数は、分子/分母の形で表示します。

<今回のポイント>

 今回は、かなり高度で、今後の平面図形に応用できる内容を多く含んでいます。必修例題の内容をきちんと理解し、基本問題のレベルをしっかり身につけましょう。

【対策ポイント1】

 基本となる問題です。まずはここで解き方をしっかり身につけましょう。

[必修例題1]

 三角形アと台形イの面積の比を求める問題です。
 先に述べましたように、台形は対角線で2つの三角形に分けられることに注目します。向かい合う2つの辺が平行である台形において、平行線の間では高さはどこでも等しいですから、台形の上底を底辺とする三角形と下底を底辺とする三角形は高さの等しい2つの三角形となります。台形の面積はそれら2つの三角形の面積の合計として考えられます。予習シリーズ27ページの解き方の図を参考にしてください。

 三角形アの底辺は6cm、台形イは、三角形AECの底辺4cmと、三角形CDAの底辺5cmの合計として、底辺の長さの比を求めます。底辺の比は、三角形ア:台形イ(三角形AEC+三角形CDA)=6:(4+5)=2:3ですので、面積の比は、ア:イ=2:3です。
 なお、台形の面積公式から考えて、高さが等しい場合には、三角形の面積:台形の面積=底辺の長さ:(上底+下底)の長さ、としてもかまいません。

[必修例題2]

 三角形を面積の等しい4つの三角形に分けた図形において、部分的な辺の長さの比を求める問題です。高さの等しい三角形を発見することがポイントとなります。同一直線上に底辺があり、同じ頂点をもつ(共有している)三角形は高さの等しい三角形であることに注目します。

(1) 頂点をFとする、底辺ADの三角形ADFと、底辺DBの三角形DBF(同じ面積の三角形が2つ分)は、どちらも直線AB上に底辺があり、頂点Fを共有しているので、高さの等しい三角形です。よって、三角形ADFと三角形DBFは、面積比が1:2ですから、底辺比=面積比より、AD:DB=1:2です。
(2) 頂点をDとする、底辺BEの三角形DBEと、底辺EFの三角形DEFは高さが等しい三角形で、面積も等しいので、底辺BEとEFの長さの比は、1:1です。また、頂点をAとする、底辺BFの三角形ABFと、底辺FCの三角形AFCも高さが等しい三角形です。三角形BFAは同じ面積の三角形が3つ分、三角形FCAは同じ面積の三角形が1つ分ですので、面積の比は、三角形BFA:三角形FCA=3:1ですから、底辺BF:底辺FC=3:1です。よって、BF=3とすると、BE=EF=BF÷2=3÷2=1.5となりますので、BE:EF:FC=1.5:1.5:1=3:3:2です。

【対策ポイント2】

 高さの異なる2つの三角形の面積比を考えます。

[必修例題3]

 高さの異なる三角形の面積比を求める問題です。高さの等しい三角形を作図して考えます。予習シリーズ29ページの解き方の図を参照してください。
 三角形ABCの頂点Aと、もう1つの三角形ECDの頂点Dを直線で結んで、三角形ACDを作ります。三角形ABCと三角形ACDは高さが等しい三角形です。面積比は、三角形ABC:三角形ACD=BC:CD=2:1です。そして、三角形ACDのうちの、三角形AEDと三角形ECDは、高さが等しい三角形で、面積比は三角形ACD:三角形ECD=AE:EC=2:3です。したがって、三角形ECDの面積は三角形ACDの面積の3/(2+3)=3/5となります。よって、三角形ABCと三角形ECDの面積比は、2:(1×3/5)=(2×5):(1×3)=10:3より、10:3です。解説の図と照らし合わせながら、きちんと理解しましょう。
 なお、この (2×5) と (1×3) の数は、底辺にあたるBCとCDの比2:1と、高さの方向にあるACとECの比 (2+3):3=5:3を、それぞれかけた数と考えられます。このように、辺の比のかけ合せから解くこともできます。この考え方を発展させたものが、予習シリーズ29ページ後半(類題3の直前)の説明ですので、よく読んで理解してください。この解き方を習得しておくと、6年生になってからも面積の問題が圧倒的に解きやすくなります。そして、このことは次の必修例題4に使われます。

【対策ポイント3】

 1つの角を共有する三角形の面積比を考えます。

[必修例題4]

 三角形の3つの辺をそれぞれ2つに分けた3つの点を頂点にもつ三角形ともとの三角形の面積の関係を考える問題です。

(1) 2つの点AとEを結んで、三角形ABCを高さの等しい、三角形ABEと三角形ACEに分けると、面積比は、底辺比BE:ECと等しく2:1になります。また、三角形ABEを、三角形ADEと三角形DBE(ア)に分けると、面積比は、底辺比AD:DBと等しく1:1です。三角形ABCの面積を1とすると、三角形ABEの面積は2/(2+1)=2/3となり、三角形DBE(ア)は、三角形ABE×1/(1+1)=2/3×1/(1+1)=2/3×1/2=1/3です。よって、三角形アの面積は三角形ABCの面積の1/3です。

[[別解]]
 予習シリーズ29ページ後半の説明にあるように、三角形ABCと三角形DBEとで、共有する頂点Bを含む2本の辺の、一方を底辺、もう一方を高さの方向にあると考えます。底辺比AB:DB=2:1、高さ比BC:BE=3:2を、それぞれかけて、(2×3):(1×2)=3:1が、三角形ABCと三角形DBEの面積比になります。ここから、三角形アの面積は三角形ABCの面積の1/3と計算できます。

(2) 上記の別解の考え方で進めます。三角形ADFについては、AB:AD=2:1、AC:AF=5:2より、三角形ABC:三角形ADF=(2×5):(1×2)=5:1ですから、三角形ADFの面積は、三角形ABCの面積の1/5です。また、三角形CEFについては、CB:CE=3:1、CA:CF=5:3より、三角形ABC:三角形CEF=(3×5):(1×3)=5:1ですから、三角形CEFの面積は、三角形ABCの面積の1/5です。よって、1-(1/3+1/5+1/5)=4/15より、三角形DEF(イ)の面積は、三角形ABCの面 積の4/15です。

[必修例題5]

 長方形の中に作った三角形の面積についての問題です。底辺比、面積比、高さ比の関係を利用して解き進めます。

(1) 三角形EBFと三角形DCFにおいて、底辺をそれぞれ辺BF、辺CFとすると、高さはそれぞれ辺EB、辺DCです。 EB:DC=2:(1+2)=2:3で、底辺の比は、面積比÷高さ比で求められますから、(8÷2):(9÷3)=4:3より、BF:FCは、4:3です。
(2) 面積比は、底辺比×高さ比で求められます。底辺比AE:EB=1:2、高さ比AD:BF=(4+3):4=7:4です。よって、(1×7):(2×4)=7:8より、三角形EADと三角形EBFの面積比は、7:8です。
(3) (2)より、三角形EADの面積は、8÷8×7=7平方cmです。また、長方形のたての長さABを1+2=3とし、横の長さを4+3=7として、三角形EBFの面積との比を考えると、(3×7):(2×4÷2)=21:4となります。よって、長方形の面積は、8÷4×21=42平方cmです。したがって、長方形の面積から、まわりの3つの三角形の面積を引いて、42-(7+8+9)=18より、三角形DEFの面積は18平方cmです。

<算数 4年下 第3回>

 第3回は『円と正多角形』です。
 円についての用語や円の性質を学習します。予習シリーズのそれぞれの説明をしっかり理解して覚えましょう。今回は,円の性質を利用して、円の中にかかれた三角形や正多角形の角度を求める問題を考えます。

<今回のポイント>

 円の内部の角度を考える場合、半径が等しいことを利用して、二等辺三角形や正三角形を考えると、解ける問題が多いです。二等辺三角形を見つけたり、半径を補助線として二等辺三角形を作ることを身につけましょう。

【対策ポイント1】

 円の直径と半径の関係を考えます。

[例題1]

 円の半径と直径の関係から長さを求める問題です。半径の長さ×2=直径の長さ という基本を使います。

 BCは小さい円の直径で、半径が3cmですから、直径であるBC=3×2=6cmです。 ACは大きい円の直径で、その長さは、4+6=10㎝です。よって、10÷2=5 より、大円の半径は5cmです。

【対策ポイント2】

 円周上の点を使った三角形や四角形について、角度を考えます。

[例題2]

 円の中にある、半径を使った三角形の内角の1つの大きさを求める問題です。
 円の半径は、すべて同じ長さですから、2つの半径を使った三角形は二等辺三角形です。そこで、半径(等しい長さ)の線の足もとの角(この角を底角といいます)は2つとも42°です。よって、角アの大きさは、三角形の内角の和である180°から、42°を2つ引いた大きさです。180-42×2=96より、角アは、96°です。

[例題3]

 円の中にある四角形の内角の1つの大きさを求める問題です。予習シリーズ28ページにある解き方の図を参照してください。
 四角形の点O以外の3つの頂点に、74°の角から左回り(反時計回りに)、A、B、Cと名前をつけます。OAを結ぶと、三角形OABと三角形OBCに分かれます。どちらも二等辺三角形です。この二等辺三角形を作ることがポイントです。三角形OABは、底角が74度の二等辺三角形ですから、角AOB=180-74×2=32°です。そこで、三角形OBCの角BOCは、110-32=78°となります。 よって、三角形OBCで、(180-78)÷2=51 より、角アの大きさは、51度です。

【対策ポイント3】

 円と正多角形について学習します。予習シリーズ29ページの説明をよく読みましょう。

[例題4]

 円の中にある正多角形に関する問題です。正多角形とは辺の長さやそれぞれの内角の大きさがすべて等しい図形をいいます。予習シリーズ30ページの解き方にある図を参照してください。

 円周を5等分する点と、円の中心を結ぶ半径によって、中心のまわりの角360°は、5等分されます。よって、360÷5=72 より、角アは72°です。
 また、正五角形と5つの半径によって、5つの、形も大きさも同じ二等辺三角形ができます。角アは、この1つの二等辺三角形の角ですので、残りの底角2つの和は、180-72=108°となりますが、となりの二等辺三角形も同様ですから、となり合う二等辺三角形のとなり合う底角の合計は108°です。そして、この角は、正五角形の内角の1つです。よって、角イは108°です。
 また、問題図の角イ、ウをふくむ三角形は、二等辺三角形で、角ウは底角の1つですから、(180-108)÷2=36より、角ウは36°です。

[例題5]

 線対称・点対称の問題です。予習シリーズ31ページ例題前の説明をきちんと読んで、解いてみましょう。解説は省略します。

 なお、予習シリーズ28ページにある、かこみの中の説明は、今後も利用できる内容ですので理解しておきましょう。結果的には、直径を1辺として、円の内側に接した三角形を作ると、直径に向かい合っている角の大きさは、円周上の点がどこにあっても、必ず直角(90度)になります。

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