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No.1100 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 4・5年生(第12回)

<算数 5年下 第12回>

 第12回は『流水算・通過算』です。流水算は、流れのある川を船が上り下りする場合の速度・時間・距離を考える問題です。また通過算は、電車が鉄橋やトンネルを通過する場合、また他の電車との出会いや追い越しをする場合の速度・時間・長さを考える問題です。なお、分数は、分子/分母の形で表します。また、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。

<今回のポイント>

 流水算・通過算は、公式的なものが複雑ですので、公式の仕組みをしっかり理解して使えるようにしましょう。また、単位換算にも充分気を付けてください。

【対策ポイント1】

 流水算では、説明上の用語として、川の流れの速さは「流れの速度」、流れのないところ(静水時)での船の速さは「静水時の速度」と表すことにします。
 速度に関しての基本は2つです。船が、川の流れの方向と同じ方向(下り)に進むときは、下りの速度=静水時の速度+流れの速度、川の流れと反対の方向(上り)に進むときは、上りの速度=静水時の速度-流れの速度 となります。予習シリーズ113ページにある説明図を参照してください。

[必修例題1]

 流水算の基本問題です。

(1) 40kmの距離を2時間30分(2.5時間)で上りますから、上りの速度は40km÷2.5時間=16km/時(時速16km)です。対策ポイントに述べましたように、上りの速度=静水時の速度-流れの速度 ですから、20-16=4より、川の流れの速度は、4km/時です。
(2) 下りの速度=流水時の速度+流れの速度 ですから、下るときの速度は20+4=24km/時になります。40÷24=(1と2/3)より、2/3時間は、60分÷3×2=40分ですから、下りにかかる時間は、1時間40分となります。
 時間から分への数値の変換がスムーズにできるようにしておきましょう。

[必修例題2]

 前問と同様、基本的な問題です。下りの速度と上りの速度から、静水時の速度、流れの速度を求める解き方を学習します。

 下りの速度は、静水時の速度と流れの速度の和であり、上りの速度は、静水時の速度と流れの速度の差になっています。
 和差算を利用して、静水時の速度=(上りの速さ+下りの速さ)÷2、流れの速度=(下りの速さ-上りの速度)÷2、で求めることができます。上りの速度は、42km÷3時間=14km/時、下りの時間は、1時間45分=(1と3/4)時間ですので、下りの速度は、42km÷(1と3/4)時間=24km/時です。
 よって、和差算により、静水時の速度は、(24+14)÷2=19km/時 です。また、流れの速度は、(24-14)÷2=5km/時 です。

【対策ポイント2】
[必修例題3]

 比を利用した流水算です。

 AB間 の距離は同じですから、時間比の逆比として速度比(下りと上りの速度比)を求め、この速度比から流れの速度を出します。ここで、実際数量の流れの速度=2.4㎞/時にあわせて、実際の下りの速度(上りの速度)を求めます。下りと上りの速度比は、1/25:1/45=9:5 ですから、下りの速度を9、上りの速度を5とすると、流れの速度=(9-5)÷2=2 となり、これが2.4km/時にあたります。
 よって、下りの速度=9は、2.4÷2×9=10.8km/時 です。また、A町からB町までの距離は、10.8km/時×25/60時間=4.5kmです。
 比の値を使って速さの計算をする解法は頻繁に使いますので、確実に覚えて行きましょう。

[必修例題4]

 反対方向に進む2つの船Pと船Qをダイヤグラムに表した問題です。旅人算で学習したように、出会いの問題では、速度は船Pと船Qの上りと下りの速度の和になりますが、流水算では、下りの速度+上りの速度=(静水時の速度+流れの速度)+(静水時の速度-流れの速度)=静水時の速度+静水時の速度となりますので、解法上、流れの速度は関係しない、ということがこの問題のポイントになります。

(1) AB間の等しい距離を進みますので、時間が多くかかっているAからBが、上りということになります。上りは、11-8=3時間かかっていますので、上りの速度は、36km÷3時間=12km/時、下りは、10-8=2時間かかっていますので、下りの速度は、36km÷2時間=18km/時です。
 よって、(12+18)÷2=15より、静水時の速度は15km/時、流れの速度は、(18-12)÷2=3より3km/時となります。
 なお、下りの速度-静水時の速度=流れの速度となることから、15-12=3より、流れの速度は3km/時、と求めることもできます。
(2) グラフを見ながら解き進めていきましょう。船P、Qの静水時の速度は等しく、流れの速度は一定ですので、船P、Qそれぞれの上りの速度、下りの速度も等しくなります。また、両船が町に到着後の休みの時間も等しいので、船P、Qがそれぞれ往復する時間は等しくなります。ですから、2回目に出会ってから出発地点にもどるまでの時間は等しくなります。出会ってから出発地点に到着するまでに、船P、Q合わせて36km進みますので、36km÷(12+18)km/時=1.2時間かかります。
 よって、下りの速度で、1.2時間かかる距離を求めればよいことになります。18×1.2=21.6より、A町から、21.6km離れたところです。

【対策ポイント3】

 通過算では、例えば、電車の先頭や最後尾での1点の動きを、動いた長さとして考えます。そこで、通過距離=電車の長さ+通過物体(鉄橋、トンネル、他の電車)の長さとして考えることがポイントになります。
 また、速度単位について、問題文では時速〇kmで与えられますが、問題を解く上では、秒速△mを使用することがほとんどです。単位換算ができるようにしておきましょう。

[必修例題5]

 通過算の基本問題です。

 90km/時は、90km=90000m、1時間=3600秒ですから、90000÷3600=25m/秒(秒速25m)です。また、通過算の成り立ちをより明確に理解するために、予習シリーズ117ページの解き方にある図を参照してください。

(1) 通過物体である電柱の幅(長さ)は考えませんので、通過距離は、電車の長さそのものとなります。25×8=200より、電車の長さは、200mです。
(2) 通過距離は、電車の長さにトンネルの長さを加えた、200+1750=1950mですから、1950÷25=78より、トンネルを通りぬけるのに78秒かかります。

[必修例題6]

 2つの電車が、すれちがったり、追いこしたりする、電車の旅人算です。
 これらの場合の通過距離は、2つの電車の長さの和になります。2つの電車の進む方向が反対でも、同じでも、通過距離は、2つの電車の和になることに注意してください。予習シリーズ117ページの解き方にある図を参照してください。

(1) A列車の速度は、54km/時=15m/秒、B列車の速度は、90km/時=25m/秒です。すれちがい、つまり反対方向に進む場合の問題ですから、速度は、A、Bの速度の和になります。(180+100)÷(15+25)=7より、7秒かかります。
(2) C列車の速度は、72km/時=20m/秒です。追いつき追い越す、つまり同じ方向に進む問題で、時間が70秒かかりますので、(120+160)÷70=4より、速度の差は4m/秒です。よって、D列車の方が遅いので、20-4=16m/秒です。これを時速に直します。16×60×60÷1000=57.6より、D列車の時速は、57.6km/時です。

<算数 4年下 第12回>

 第12回は『一方にそろえて解く問題(消去算)』です。大きさのわからない数量(=未知数といいます)が2つある問題で、一方の数量の数をそろえて消し去る(消去する)ことにより、残ったもう一方の数量の関係から未知数の片方を求める問題です。消去する方法は2通り(加減法・代入法)あります。具体的に問題を使って説明します。まずは、文字の入った式を使って問題内容を整頓します。

<今回のポイント>

 加減法、代入法、3量の消去算、それぞれ解法がことなりますが、「消去する(消し去る)には、数量をそろえてなくす」ということでは同じです。このことを理解して、トレーニングしましょう。

【対策ポイント1】

 加減法の解き方を学習します。

[例題1]

 え=えんぴつ1本のねだん、け=消しゴム1個のねだん として、
  え×1+け×4=220円…A
  え×2+け×5=320円…B
と整頓します。
次に、Aの式全体を2倍して、えんぴつを2本にそろえます。つまり、
  え×2+け×8=440円…A×2
  え×2+け×5=320円…B
として、2つの式をくらべます。
 440円と320円の差は消しゴム8個と5個の違いです(え×2に差はありません)。
 よって、(440-320)÷(8-5)=40より、消しゴム1個のねだんは40円となります。
 ここで、消しゴム1個のねだん40円を、はじめの式Aに代入(代わりに入れる)して、220-40×4=60より、えんぴつ1本のねだんは、60円と求められます。

 このように、消しゴムのねだんだけで考えられるように、一方の数量(本数をそろえたえんぴつのねだん)を引いて(加える場合もあり)なくす方法を、加減法といいます。

[例題2]

 加減法ですが、数量をそろえる場面で最小公倍数を利用するところがポイントです。ミ=ミカン1個のねだん、モ=モモ1個のねだんとして、
  ミ×7+モ×4=1300円…A
  ミ×5+モ×6=1620円…B
と整頓します。
 ミカンやモモにかけてある数をそろえますが、どちらにそろえてもよいのです。今回は、全体の数が小さくなるモモにかけられている数をそろえて進めます。モモの個数を4と6の最小公倍数である12個にそろえます。そのためには、Aの式全体を3倍、Bの式全体を2倍します。
  ミ×21+モ×12=3900円…A×3
  ミ×10+モ×12=3240円…B×2
となります。
 この2つの式から、(3900-3240)÷(21-10)=60より、ミカン1個のねだんは60円と求められます。また、この60円をはじめのAの式に代入して、 (1300-60×7)÷4=220より、モモ1個のねだんは150円です。
 2つの式を2行に並べてかくことで、どの部分が共通しているかがわかりやすくなります。

【対策ポイント2】

 代入法の解き方を学習します。

[例題3]

 ノ=ノート1さつのねだん、え=えんぴつ1本のねだん として、
  ノ×1=え×2…A
  ノ×1+え×3=350円…B
と整頓します。
 次に、Bの式で、Aの関係より、(ノ×1)のところに(え×2)を代入します。
  え×2+え×3=350 となります。
  え×(2+3)=え×5 ですので、え×5=350 となりました。
 よって、350÷5=70 より、え×1本のねだんは70円です。
 また、Aの式で、70×2=140 より、ノート1さつの値段は140円です。
 このように、ノートのねだんの代わりにえんぴつのねだんを利用して表す(代わりに式に代入する)方法を、代入法といいます。この代入法は、少し難しく感じるかもしれませんので、基本的な問題をいくつか続けて解くことで解けるようになります。

[例題4]

 リ=リンゴ1個のねだん、ミ=ミカン1個のねだん として、
  リ×1=ミ×3+10円…A
  リ×3+ミ×2=470円…B
と整頓します。
 Aの式を3倍して、リンゴの個数をそろえます。
  リ×3=ミ×9+30円…A×3
 これをBの式に代入します(リ×3 をミ×9+30円にする)。ミ×9+30+ミ×2=470円 で、まとめると、ミ×(9+2)+30=470円 となります。
よって、(470-30)÷11=40 より、ミカン1個のねだんは40円です。
 そして、Aの式から、40×3+10=130 より、リンゴ1個のねだんは130円になります。

 代入法は、途中式をしっかり書いて進めましょう。また、予習シリーズ114ページの解き方にある線分図を参照してください。

【対策ポイント3】

 3量以上の消去算を学習します。

[例題5]

 だ=だんご1個のねだん、ま=まんじゅう1個のねだん、ど=どらやき1個のねだんとして、
   だ×1+ま×1    =130円…A
       ま×1+ど×1=190円…B
   だ×1    +ど×1=140円…C
と整頓します。なお、このように3行に書いて、3つの種類がたてにそろうようにすると、考えやすくなります。

(1) たてに集計すると、だ×2+ま×2+ど×2=130+190+140=460円 となります。3種類が2個ずつで460円ですから、460÷2=230 より、1個ずつ買うと、230円です。
(2) 230円から、Bの190円を引くと、230-190=40 より、だんご1個は40円です。同様に、Cの140円を引いて、230-140=90より、まんじゅう1個は90円です。同様に、Aの130円を引いて、230-130=100より、どらやき1個は100円です。

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