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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第15回は『総合』です。基本問題の中で、注意すべき問題を取り上げます。その他の問題については、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
池の周りを動く旅人算の問題です。
1周の距離は等しいので、速度比は時間比の逆比となります。A君とB君の速度比は、1/40：1/60＝3：2です。A君の速さを毎秒3として、40秒で池の周りを1周しますから、池の周りの距離は、3×40＝120と表されます。
(1) 毎秒3の速さのA君が10秒で進む距離は、(3×10＝)30ですから、30の距離だけ離れた地点を、同時に毎秒3の速さのA君と毎秒2の速さのB君が向かい合って出発したことになります。
よって、30÷(3＋2)＝6より、2人がはじめて出会うのは、6秒後です。
(2) はじめて出会った後は、2人合わせて120の距離を進むたびに出会いますから、120÷(3＋2)＝24秒ごとに出会うことになります。
よって、6＋24＋24＝54より、3回目に出会うのは、2人が走り始めてから54秒後です。
流水算の問題です。ここでは、静水時の船の速度＝船、川の流れの速度＝川、上る速度＝上速、下る速度＝下速、と表します。
(1) 船Aの上速は、9450÷45＝210m/分、下速は、9450÷35＝270m/分です。上速＝船－川、下速＝船＋川、です。船の速度と川の流れの速度の和と差があたえられていますので、和差算を使って、(210＋270)÷2＝240より、船Aの静水時の速度は240m/分です。
(2) 同じ川を同時に、上り、下りして出合うタイプの問題では、次のことを理解しておきましょう。
上速＝船－川、下速＝船＋川で、向かい合って進みますから、船Aと船Bの速度の和を考えますが、この速度の和は、上速＋下速＝船－川＋船＋川＝船＋船となり、結果として、川の流れの速度は考える必要はありません。
よって、8400÷20＝420m/分が、船Aと船Bの静水時の船の速度の和となります。420―240＝180より、船Bの静水時の速度は、180m/分です。
A、Bの2人で仕事をする問題です。はじめに仕事の量を1とします。Aだけでは18日で1の仕事をしますから、1日で1/18の仕事をすることになります。同様に、Bだけでは、1日で1/30の仕事をします。1日あたりの仕事量の比は、A：B＝1/18：1/30＝5：3です。ここから、比で表した数値を使って、解いていきます。1日に5の仕事をするAが、18日で全体の仕事をしますから、ある仕事の全体の量は、5×18＝90と考えられます。
(1) 1日に5の仕事をするAと、1日に3の仕事をするBが2人で90の仕事をします。よって、90÷(5＋3)＝11.25より、この仕事を、A、Bの2人ですると、12日目に終わります。計算上は、小数の日数ですが、問題をよく読んで、「日目」という言葉に気をつけて答えましょう。
(2) 2人がいっしょに12日間仕事をすると、(5＋3)×12＝96の仕事ができますが、96－90＝6の仕事量を多くすることになります。これは、Bが休まずに仕事をしたときの仕事量です。よって、6÷3＝2より、2日分ですので、Bが休んだのは、2日です。
※予習シリーズの解説のように、休まなかったAの仕事量に注目して、5×12＝60で求められるAの仕事量を、全体から引くことで、Bの仕事量が、90－60＝30と求められ、その日数が30÷3＝10（日）、よってBが休んだ日数が12－10＝2（日）として求めることもできます。解き方を少しでも多く増やしておくとよいでしょう。
水の入った容器に直方体の棒を入れていく問題です。問題の図を参照して下さい。
(1) 問題の（図1）において、水の体積は、容器の底面積から棒の底面積をのぞいた、底面積＝200－80＝120平方cmで、深さが10cmより、120×10＝1200立方cmです。この体積を、棒を取り除いた、底面積が200平方cmの容器で考えますので、1200÷200＝6より、水の深さは、6cmとなります。
(2) 棒を5cmだけ水にしずめると、80×5＝400立方cmの水が増えることと同じになります。1200＋400＝1600立方cmの体積が底面積200平方cmの容器に入ったことになりますから、1600÷200＝8より、水の深さは、8cmになります。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。
ニュートン算の問題です。1分間に、窓口1つで宝くじを販売できる人数をマル1、行列に加わる人数をシカク1として、「(減少量－増加量)×時間＝はじめの量」の形に整頓します。窓口3つの場合、(マル1×3－シカク1)×30分＝はじめの行列の人数、また、窓口4つの場合、(マル1×4－シカク1)×18分＝はじめの行列の人数、となります。
(1) はじめの行列の人数が同じですから、(マル3－シカク1)×30＝(マル4－シカク1)×18となります。分配法則を使って、カッコをはずしますと、マル90－シカク30＝マル72－シカク18で、この式は、マル(90－72)＝シカク(30－18)となり、整頓すると、マル18＝シカク12です（線分図にすると、わかりやすいです）。
このことから、マル1：シカク1＝1/18：1/12＝2：3となりますので、窓口1つで1分間に販売できる人数と、行列に加わる人数の比は、2：3です。
(2) (1)より、窓口1つで1分間に販売できる人数を2、行列に加わる人数を3とします。
窓口3つの場合において、はじめの行列の人数は、(2×3－3)×30分＝90となります。よって、窓口6つのときは、(2×6－3)×□分＝90より、□＝90÷9＝10ですから、行列がなくなるまでに10分かかることになります。
第15回は『総合』です。基本問題において第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
円柱の体積と表面積を求める問題です。底面積である円の面積を求めておきます。5×5×3.14＝25×3.14です。
(1) 「円柱の体積＝底面積×高さ」
25×3.14×2＝50×3.14＝157 より、円柱の体積は157立方cmです。
(2) 「表面積＝底面積×2＋側面積」また、「側面積＝底面一周×高さ」
底面積×2＝25×3.14×2＝50×3.14
側面積＝(5×2×3.14)×2＝20×3.14
よって、(50＋20)×3.14＝70×3.14＝219.8 より、円柱の表面積は、219.8平方cmです。
3種類の消去算の問題です。
(a) あんパン1個とメロンパン1個を買うと320円です。
(b) あんパン1個とジャムパン1個を買うと270円です。
(c) メロンパン1個とジャムパン1個を買うと330円です。
この3通りのセットをすべて合わせた、(a＋b＋c)の式で表されるのは、あんパン、メロンパン、ジャムパンを2個ずつ買うことになり、320＋270＋330＝920円になります。
3種類のパンを2個ずつ買うと920円になりますので、1個ずつ買うと、920÷2＝460円になります。この460円から、(c) のセットをのぞくと、あんパンが残ります。つまり、460－330＝130 より、あんパン1個は130円となります。同様に進めますと、(b) のセットをのぞいて、460－270＝190 より、メロンパン1個は190円、(a) のセットをのぞいて、460－320＝140 より、ジャムパン1個は140円です。
あかりさんとお兄さんの進み方から、道のりや速さを考える問題です。
(1) あかりさんの進んだ時間を考え、速さとのかけ算で道のりを求めます。午前10時30分に家を出て、午前10時55分に駅に着きましたので、10時55分－10時30分＝25分が、あかりさんの進んだ時間です。また、あかりさんの歩く速さは分速60ｍです。
よって、60×25＝1500 で、1500ｍ＝1.5kmより、家から駅までの道のりは1.5kmです。求める単位に注意しましょう。
(2) お兄さんは、あかりさんより4分早く駅に着いていますので、10時55分－4分＝10時51分に駅に着きました。また、10時45分に家を出ていますから、10時51分－10時45分＝6分より、家から駅まで6分かかったことがわかります。
よって、1500÷6＝250 より、お兄さんの自転車の速さは、分速250ｍですが、時速で答えますので、250×60÷1000＝15 より、時速15kmとなります。
面積図を利用する平均の問題です。予習シリーズ別冊・解答と解説の55ページにある面積図を参照してください。
この図において、アの面積＝イの面積ですが、平均体重を表す部分のたての長さはわかりますが、人数を表す横の長さがわかりませんので進められません。そこで、ウの面積を両方にたした、(ア＋ウ)の面積＝(イ＋ウ)の面積として考えます。(ア＋ウ)の面積＝(28－27)×12＝12、また、4年生の人数を□人として、(イ＋ウ)の面積＝(30－27)×□＝3×□ と表されます。
よって、12＝3×□ より、□＝12÷3＝4 となりますので、4年生は4人です。
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