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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第17回は『図形の移動(1)』です。図形の辺上を動く点について、移動する点の速さ、スタートする点、動く方向を注意することが大切です。また、自分で図形をかいて、長さを書き込んでみると、よりわかりやすくなります。それぞれの問題については、予習シリーズ解説の図を参照してください。
上にも述べましたように、自分で図をかくことが大切になります。また、グラフが与えられた場合には、グラフの変化をきちんと読み取りましょう。角速度も身につけましょう。
三角形の頂点と、辺上を移動する点によってできる図形について、面積や、その面積ができる時間を考える問題です。
毎秒2cmの速さで出発する点Pが直角三角形ABCの頂点Aを出発して、直角三角形の辺上を、頂点Bを通り頂点Cまで進みます。
(1) 毎秒2cmの速さで9秒間動きますので、2×9＝18 より、18cm進みます。頂点Aから18cmの長さは、頂点Bを通過して、18－12＝6より、頂点Bから頂点Cに向かって6cm進んだ地点です。角Bは直角ですから、BPの長さ6cmを底辺とすると、ABの長さ12cmが高さになります。よって、6×12÷2＝36 より、三角形ABPの面積は、36平方cmです。
(2) 面積が60平方cmで、ABの長さ12cmを高さとして、底辺の長さを求めると、60×2÷12＝10 より、BPの長さは10cmです。これは、頂点Aから、12＋10＝22cmの長さを点Pが動いたことになります。速さは毎秒2cmですから、22÷2＝11 より、点Pが頂点Aを出発してから11秒後です。ABの長さ12cmを足し忘れないように気をつけましょう。
2点が長方形の辺上を移動する問題で、基本は旅人算です。
長方形ABCDの辺上を、点PはAから毎秒1cmの速さで、点QはCから毎秒4cmの速さで、同時に出発して反対方向に進みます。
(1) 2点P、Qが出発するときの、離れている長さAC(＝AB＋BC)は、8＋12＝20cmです。2点P、Qがそれぞれの速さで向かい合って進みますから、旅人算の出会いの問題と同じ解き方となります。よって、20÷(1＋4)＝4 より、2点PとQは4秒後にはじめて重なります。
(2) 2回目に重なるのは、1回目に重なった後、2点PとQが合わせて長方形の1周の長さ分を移動したときです（ここがポイント）。1周の長さは、(8＋12)×2＝40cmですから、1周分移動するのにかかる時間は、40÷(1＋4)＝8秒間です。よって、5回目に重なるのは、1回目の4秒と、8秒を4回ですので、4＋8×4＝36 より、36秒後です。
与えられたグラフから、点の移動する時間と図形の面積の関係を読み取る問題です。テストでも頻出の単元ですので、図形とグラフの関係をしっかり理解しましょう。
台形ABCDの辺上を、点PがAを出発して、毎秒1cmの速さで矢印の方向(A～B～C)に動いたときの、点Pの動いた時間と、三角形PCDの面積の変化をグラフから読み取ります。グラフより、0秒から10秒の間は三角形PCDの面積が増加し、10秒から16秒の間は減少していることから、点P は10秒でAB間を、16－10＝6秒でBC間を動くことを読み取ります。よって、AB＝1×10＝10cm、BC＝1×6＝6cmと求められます。
(1) グラフより、点PがAにある(0秒)ときの三角形PCD（ACD）の面積は20平方cmで、辺ADを底辺とすると、ABの10cmが高さになります。よって、AD×10÷2＝20より、AD＝20×2÷10＝4となりますので、ADの長さは4cmです。また、BCの長さは上記の説明より6cmとわかっていますが、ADの長さと同じ求め方で解くこともできます。グラフより、点PがBにある(10秒後)ときの三角形PCDの面積は30平方cmで、底辺をBCとすると、同様にABの10cmが高さです。BC×10÷2＝30より、BC＝30×2÷10＝6となりますので、BCの長さは6cmとなります。
(2) グラフより、点Pが辺AB上にあるときは、(0から10の)10秒間で、面積は(20から30へ)10平方cm増えますので、1秒間あたり10÷10＝1平方cmずつ増えます。よって、(24－20)÷1＝4より、三角形PCDの面積が24平方cmになるのは、4秒後です。また、点Pが辺BC上にあるときは、(10から16の)6秒間で、面積は(30から0へ)30平方cm減りますから、1秒間あたり30÷6＝5平方cmずつ減ります。よって、(30－24)÷5＝1.2より、10秒から1.2秒後ですので、10＋1.2＝11.2となり、三角形PCDの面積が24平方cmになるのは、11.2秒後です。以上より、答えは4秒後と11.2秒後です。
円周上を移動する点の問題です。円の中心と移動する円周上の2点をそれぞれ結んでできる2本の直線の作る角度を考える問題です。そのため、点の移動の速さを、角度を用いて表すことが必要になります(角速度といいます)。
円Oの周上を、1周するのに18秒かかる点Pと、1周するのに12秒かかる点Qが同時に点Aから、反対方向に動きます。
(1) 点Pは1周360度を18秒で動くことになりますので、360÷18＝20 より、点Pの角速度は毎秒20度です。同様に、360÷12＝30 より、点Qの角速度は毎秒30度です。2点PとQはAを同時に出発して、1秒間に20＋30＝50度はなれますから、直角＝90度はなれるのは、90÷50＝1.8 より、1.8秒後です。
(2) P、O、Qの順にはじめて一直線上に並ぶのは、2点PとQが180度はなれるときです。よって、180÷50＝3.6 より、3.6秒後です。
第17回は『水量とグラフ』です。直方体や円柱の形の容器に入った水について、水量の体積や、水の深さ、また容器の底面積などを求める問題を学習します。
単位もふくめ水の体積の求め方は、もちろんですが、グラフの読み方もしっかり身につけましょう。例題2のような水の増加減少の問題、例題3のような容器の形が変化する問題もよく理解しましょう。
「水の体積＝(容器の)底面積×(水の)深さ」を基本とします。また、水量は、かさの単位と体積単位の両方が使われますので、整頓しておきます。
1L＝10dL＝1000mL、1L＝1000立方cmですので、1dL＝100立方cm、1mL＝1立方cm となります。きちんと身につけましょう。
基本の知識を確認する問題です。
(1) 「水量＝底面積×高さ」より、底面積＝15×20＝300平方cm、深さ＝12cmですので、300×12＝3600立方cmです。L単位で求めますので、3600÷1000＝3.6 より、水が3.6L入っています。
(2) 水量は3600立方cmで、深さは18cmです。容器Bの底面積を□平方cmとして、□×18＝3600 となりますので、□＝3600÷18＝200 より、容器Bの底面積は、200平方cmです。
水量の変化とグラフについて学習します。予習シリーズ157、158ページの説明をしっかり読んで理解しましょう。特に「比例」は、2つの量の関係を表すもので、算数の中で、今後もよく使用される関係です。
与えられたグラフから、水量について色々な動きを読み取る問題です。
水を入れるA管と、水を出すB管がついた容器があります。グラフの右上がりの直線は、(A管から)水を入れていることを表し、右下がりの直線は、(B管から)水を出していることを表しています。水の出し入れを同時にする場合もありますので、問題文をていねいに読みましょう。
(1) グラフの右上がりの直線で、時間が12分のところは、水量が108Lとなっています。これは、(0から12の)12分で、(0から108の)108Lの水が入ったことを表しています。よって、108÷12＝9 より、1分ごとに水が9L入ることになります。つまり、毎分9Lです。
(2) アは、容器が空の時から、A管を使って水を入れ始めて、20分後にアLの水は入ることを表しています。よって、9×20＝180より、ア＝180 です。イは、B管を使って水を出したとき、180Lの水を出すのにかかる時間を20分にたした時間です。B管からは毎分12Lの割合で水を出します。よって、180÷12＝15 ですので、20＋15＝35 より、イ＝35です。
水面の高さの変化とグラフについて学習します。予習シリーズ160ページにかかれているグラフの動きをよく読みましょう。
水の入れ方について、毎分何cmずつ増えていくかを考えます。また、実際にグラフをかくことも学習します。
毎分600立方cmの割合で、容器に水を入れます。
(ア) 水面の高さが15cmまでの容積(＝容器の体積)は、20×10×15＝3000立方cmです。3000÷600＝5 より、15cmの高さまで水が入るのは5分かかります。よって、15cmの高さまで5分かかるのですから、15÷5＝3 より、水面は1分間に3cmずつ上がります。
(イ) 高さ15cmより上の部分の容積は、20×30×10＝6000立方cmです。6000÷600＝10 より、10分かかります。つまり、10分で10cm水面が上がります。よって、10÷10＝1 より、水面は1分間に1cmずつ上がります。グラフをかく問題については、実際に自分で挑戦してみてください。結果は、シリーズを参照してください。
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