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第5回は『総合』です。第1回から第4回までの、復習を心がけましょう。
総合回では、前4回の内容で、弱点分野あるいは、解法の弱点を見直すチャンスです。まずは、基本レベルの確認をしっかりして、練習レベルへ進めましょう。
差集め算です。差集め算の基本は、(1つ分の差)×(いくつ分)＝(全体の差)、という考えです。この問題は、分けるお菓子の個数が、1人について、(11－7＝)4個ずつ差がつくというケースです。
7個ずつ分けたときには、5個あまります。また、11個ずつ分けたときには、1人は(11－9＝)2個不足し、3人は11個ずつ不足すると考えられますので、2＋11×3＝35より、合わせて35個の不足となります。この、5個のあまりと35個の不足から、全体の差は(5＋35＝)40個となります。子どもの人数を□として、基本の形に整頓すると、4×□＝40となります。
(1) 子どもの人数である□は、40÷4＝10より、10人です。
(2) 子どもの人数が10人ですから、7個ずつ分けると5個あまるお菓子の個数は、7×10＋5＝75より、75個です。
丸太を切る回数や、切った後の休けいの回数を考える問題で、植木算の考え方を取り入れます。
(1) 長さを、40cm、30cm、20cmの3回切ることを1セットとします。(3.4m＝)340cmの丸太は、340÷(40＋30＋20)＝3セットあまり70cmとなりますので、(3×3＝)9回切って、あまりの70cmを、40cmと30cmに1回切りますので、合わせて、9＋1＝10回切ることになります。ここで植木算の考えから、間が10ですので、丸太は11本に分けられます。
(2) 切る回数は10回ですが、10回目のあとは休まずに終了となりますので、休みの回数は9回です。よって、3分の切断が10回、2分の休みが9回あることになります。したがって、3×10＋2×9＝48より、切り終わるまでに48分かかります。
円についての長さ、面積を求める問題です。
(1) 工夫すると考えやすくできます。かげの部分の図形のまわりの長さをもとめる問題ですが、線の長さを、折れ曲がった部分ずつ考えるのではなく、できるかぎりまっすぐにして考えることがポイントになります。正方形部分の上の辺を下に、右の辺を左に移動させます。すると、影の部分の図形のまわりの長さの合計は、四分円のまわりの長さと同じになります。したがって、半径の4cmが2つと、弧の長さの合計になります。4×2＋4×2×3.14÷4＝8＋6.28＝14.28より、かげの部分の図形のまわりの長さは、14.28cmです。
(2) 四分円の面積から正方形の面積を引いて求めます。正方形の面積については、1辺の長さがわかりません。ですが、ひし形として考えると、対角線の長さは半径の長さと同じ4cmであることがわかります。四分円の面積は、4×4×3.14÷4＝12.56平方cm、正方形(＝ひし形)の面積は、4×4÷2＝8平方cmです。よって、12.56－8＝4.56より、かげの部分の図形の面積の合計は、4.56平方cmです。
平均についての問題です。〇や□といった、記号を使って整頓すると、わかりやすくなります。テキスト1冊の値段を〇円、部屋の使用料を□円として、参加費の合計を整頓します。
(A) 参加者が15人のときは、15×〇＋□＝(430×15＝)6450という式が成り立ちます。
(B) 参加者が20人のときは、20×〇＋□＝(375×20＝)7500という式が成り立ちます。
(1) 上の2つの式について、部屋の使用料□円は一定ですので、参加費の合計の差は、テキスト代の合計の差です。つまり、15人分と20人分の差ですから、(7500－6450)÷(20－15)＝210より、テキスト1冊の値段は、210円とわかります。
(2) (A)の6450円のうち、テキスト代の合計は210×15＝3150円です。よって、6450－3150＝3300より、部屋の使用料は、3300円です。
(3) 参加費300円のうち、テキスト代は210円ですから、(300－210＝)90円が、部屋の使用料の1人分になります。よって、3300÷90＝36.666…より、小数点以下を切り上げて、少なくとも37人の参加者が必要となります。
第5回は『総合』です。基本問題において、第1回から第4回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
総合回は、前4回分を見直すチャンスです。今回、あまりのある整数についての倍数と約数の問題、割合での線分図、全体の差を工夫する差集め算がポイントになります。また、面積の問題は、多少複雑な問題もチャレンジしましょう。
倍数と約数の利用の問題です。
(1) 求める2けたの最小の数を□とすると、8でわると3あまる数は、8×〇＋3＝□、12でわると3あまる数は、12×△＋3＝□ となります。□－3 は、8×〇、12×△となりますので、8と12の公倍数です。最小の数を求めますので、最小公倍数を考えます。この数は、24ですので、□は、24＋3＝27 より、求める2けたの最小の整数は、27です。
(2) かき出してさがします。
(ア) 5でわると1あまる数→ 1、6、11、16、…
(イ) 6でわると4あまる数→ 4、10、16、…
どちらにも出てくる16が見つかりました。この次の数を見つける方法がポイントになります。(ア)では、5ずつふえていて、(イ)では、6ずつふえています。16の次に同じ数がでるのは、5の倍数と6の倍数で同じ数だけふえた数です。つまり、最小公倍数だけふえた数が次の数です。その後も同様に、最小公倍数の30ずつふえた数が求める数です。よって、2けたの整数は、16、46、76 です。
(3) 求める2けたの数を□とすると、5×〇＋2＝□、8×△＋5＝□と表されます。ここからがポイントです。この2つの式のどちらにも3を加えた、□＋3は、5でわりきれ、8でわりきれます。式にすると、5×〇＋2＋3＝5×(〇＋1)＝□＋3、8×△＋5＋3＝8×(△＋1)＝□＋3 となり、□＋3は、5と8の公倍数となります。よって、□＋3は、5と8の最小公倍数40の倍数です。まとめると、□＝40×◎－3です。◎に1から順に数を入れて計算すると、40×1－3＝37、40×2－3＝77 より、2けたの整数は、37と77です。
割合の利用の問題です。
※「〇や□の中に数字」の表記は文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2、シカク1、シカク2と表記します。また、「分数」は、分子/分母の形で表します。
はじめの所持金をマル1、ぼうしを買った残りの所持金をシカク1としてすすめます。線分図をかいて、整頓しましょう。
(1) ぼうしを買った残りの所持金の2/3でくつを買った残りは、1－2/3＝1/3 、つまりシカク1/3が1800円です。1800÷1/3＝1800×3＝5400 より、シカク1は5400円ですから、ぼうしを買った時点で、残りの所持金は、5400円です。
(2) ぼうしの値段を、所持金の0.2(20％)ちょうどだったとすると、ぼうしを買った残りの所持金は、5400＋200＝5600円で、この金額は、はじめの所持金の1－0.2＝0.8、つまりマル0.8です。5600÷0.8＝7000 より、マル1は7000円ですから、はじめの所持金は7000円です。
いろいろな差集め算の問題です。個数をそろえることから進めていきます。
(1) 35円のミカンを6個少なくしますので、お金が35×6＝210円もどります。よって、あまっていた30円に210円を加えて、30＋210＝240 より、240円あまります。
(2) (1)の結果から、50円のミカンと35円のミカンをそれぞれ同じ□個買ったときの代金の差は、240円とわかりました。(50－35)×□＝240 という関係になりますので、□＝240÷15＝16 より、50円のミカンを16個買う予定でした。よって、50×16＝800 より、持っていったお金は、800円です。
正方形の中にかいた三角形の面積を求める問題です。図の点線の部分に注目します。色のついた部分にある点線の長さは、9－3＝6cmです。この線を底辺として、上下に2つの三角形を考えます。それぞれの高さは不明ですが、高さの合計は、正方形の1辺の長さである9cmとなります。よって、6×9÷2＝27 より、色のついた部分の面積は27平方cmです。
第5回は『総合』です。
総合回は、前4回分を見直すチャンスです。今回のポイントは2つあります。1つ目は、「かけ算とわり算の文章題」や「和差算」の問題です。問われているのは何か、また，文章中のどの部分が和で、どの部分が差を表しているかといった、問題文の読み取りがポイントになります。2つ目は，「計算のきまり」や「角の性質」の問題です。計算規則や公式をしっかり身に付けて、使えるようにトレーニングしておきましょう。ここでは、練習問題の注意すべき問題を取り上げます。
かけ算とわり算の文章題です。
(1) 春子さんが、24ページずつ読んだ日数は、16－1＝15日です。この15日間で読んだページ数は、24×15＝360ページです。そして16日目に15ページ読んで読み終わりましたから、360＋15＝375より、この本は375ページあります。
(2) この本のページ数が実際のページ数より5ページ多ければ、秋子さんは、20日間すべて、同じページ数を読んだことになります。よって、(375＋5)÷20＝19より、毎日19ページ読みました。このように、他(の日)と同じ(ページ数)にすることで、まとめて計算ができるようなります。
かけ算とわり算の文章題ですが、文章の読み取りが難しい問題です。問題内容を整頓します。
32箱のうち、18箱にクッキーを9個ずつ入れます。この18箱とクッキーが入っていない3箱をのぞく、32－18－3＝11箱にクッキーを7個ずつ入れたことになります。
(1) 9×18＋7×11＝162＋77＝239より、クッキーは全部で239個ありました。
(2) 239÷6＝39あまり5より、クッキーを6個ずつ入れる箱が39箱、あまりの5個を入れる箱が1箱必要です。よって、必要な箱の数は、39＋1＝40箱ですから、40－32＝8より、あと8箱必要です。答えが出たと安心して、あやまって答えを「40箱」としてしまわないように、問題で何を求めなければならないのか、十分に注意するようにしましょう。
和差算の文章題です。難しい と思われますので、内容を整頓するために問題文をじっくり読むことを心がけて、しっかり取り組んでください。
たつや君とのり子さんの2人に配ったカードについて、全部の数字の合計（1から8まで）がわかり、2人の持っているカードの数字の合計の差（8の差）がわかっていることがポイントとなります。
(1) 8まいすべてのカードの合計は、1から8までの数字の和で36です。また、のり子さんの持っているカードの数字の合計はたつや君の持っているカードの数字の合計より8小さいです。よって、和差算を使って、(36－8)÷2＝14ですので、のり子さんの持っている4まいのカードの数字の合計は14と求められます。
(2) のり子さんのカードには4がありますから、残りの3まいのカードの数字の合計は、14－4＝10です。
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