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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第6回は『立体図形(1)』です。回転体の体積・表面積、展開図の利用、投影図の問題、立体の切断を学習します。
今回の学習する立体図形は、解法のための作業が大切です。それぞれの作業ポイントをしっかり身につけましょう。
平面図形を、1つの辺を回転の軸にして回転させて作った立体（回転体といいます）の問題です。どのような立体になるかを調べるには、回転の軸を線対称の軸として、線対称図形をかき、対応する点どうしを、丸みをつけて結びます（予習シリーズ64ページの解き方にある図）。
(1) 立体を上部の円柱部分と、下部の円すい台（円すいを、底面に平行な面で切断した下部の立体）部分に分けて考えます。円柱は、底面の半径3cm、高さ4cmです。その体積は、3×3×3.14×4＝36×3.14。円すい台は、底面の半径6cm、高さ8cmの円すいの体積から、底面の半径3cm、高さ4cmの円すいの体積をひいて求めます。その体積は、6×6×3.14×8÷3－3×3×3.14×4÷3＝(6×6×8－3×3×4)×3.14÷3＝84×3.14。よって、36×3.14＋84×3.14＝(36＋84)×3.14＝376.8より、円柱と円すい台の合計であるこの回転体の体積は、376.8立方cmとなります。3.14を用いる式がいくつか出てきたときは、3.14計算を最後にまとめてするようにしましょう。
(2) 表面積は、底面積2つと側面積2つの合計です。まず、円すいの側面積は、母線×底面半径×円周率 で求められることを確認しておきましょう。円柱と円すいの底面積の和は、3×3×3.14＋6×6×3.14＝(9＋36)×3.14＝45×3.14。円柱と円すい台の側面積の和は、3×2×3.14×4＋10×6×3.14－5×3×3.14＝(24＋60－15)×3.14＝69×3.14。よって、(45＋69)×3.14＝114×3.14＝357.96より、表面積は、357.96平方cmです。
立体の表面に糸をピンと張る問題です。この問題では、糸が通過する表面の展開図をかいて考えます。また、「ピンと張る」ということは、最短になるということで、展開図において直線になります。予習シリーズ65ページの解き方の図を参照して下さい。展開図の中にある、三角形ADFと三角形ACEが相似であることを利用して、CEの長さを求めます。CE：DF＝AE：AFです。つまりCE：12＝(6＋4)：(6＋4＋6)ですから、比例式の性質を使って、12×10÷16＝7.5より、Cの高さ(＝CEの長さ)は、7.5cmとわかります。
立方体の切断の問題です。切断の基本は2つです。切断面の回りの直線（切断線と名付けます）について、
(ア)同じ表面にある2点は、切断線として直線で結べる。
(イ)平行な表面には、平行な切断線が引ける。
という2つのポイントがあります。
(1) 点AとCは面ABCD上にあるので切断線で結べます。点CとQも同様です(面BCGF)。点QとAも同様です(面ABFE)。よって、切断面は、3つの点A、C、Qを順に結んだ（二等辺）三角形ACQとなります。
(2) 点AとDは同じ面というより、辺ですから当然、切断線で結べます。点DとRは、面DCGH上の2点ですから、切断線で結べます。この面DCGHと平行な面ABFE上に点Aからひける切断線は、直線DRと平行になりますので、CR＝BQより、切断線AQとなります。また、点RとQは、面BCGD上の切断線になり、切断線ADと平行です。よって、切断面は四角形ADRQで、長方形です。
(3) 点CとFは、面BCGF上の切断線です。点FとPも、面ABFE上の切断線です。そして、面BCGFと平行な面ADHE上に、切断線CFと平行な直線が点Aからひけることになります。この直線は、辺AD上を通ります（辺ACとの交点をSとします）が、面ADHE上の三角形ASPは、面BCGF上の三角形BCFと相似になります。結果として、切断面ASCFは（等脚）台形となります。
第6回は『濃さ』です。食塩水（水に食塩を加えたもの）の重さをもとにする量として、その中にとけている食塩の重さを比べる量とする、割合の問題です。もとにする量となる食塩水の重さは、食塩の重さと水の重さの合計であることに注意しましょう。予習シリーズ60ページの説明をよく読み、理解しましょう。また、濃さの単位は％ですが、計算上は、小数か分数を使用することにも注意が必要です(分数で計算するとスピードアップになります)。※分数は、分子/分母の形で表します。
食塩水の問題では、食塩水，食塩、濃度の3要素のうち，何が変化しているのか、変化していないのかを見極めることが重要です。また、食塩水の混合は、平均の問題ですので、平均問題で学習した面積図が使えるように心がけましょう。加えて、濃度を分数で計算することにより、スピードアップを図りましょう。
公式を自在に使えるようにしましょう。
基本のトレーニングです。「食塩水の重さ×食塩水の濃さ＝食塩の重さ」を基本に整頓します。
(1) 食塩水の重さ(＝水の重さ＋食塩の重さ)に注意します。濃さを小数で□として整頓すると、(100＋25)×□＝25となります。□＝25÷125＝0.2と計算できますが、濃さの単位は％ですから、計算結果の0.2を100倍して％の単位にします。よって、食塩水の濃さは20％です。
(2) 濃さは8％ですから、計算上8/100として、300×8/100＝24より、とけている食塩の重さは、24ｇです。
(3) 繰り返しますが、食塩水は水の重さと食塩の重さの合計ですから、水の重さを□ｇとして整頓すると、(□＋30)×12/100＝30となります。□＋30＝30÷12/100＝250で、□＝250－30＝220より、水の重さは、220ｇです。 食塩水の重さを計算して答えとしないよう、注意しましょう。
食塩の重さは変わらなくても、水の重さが変わると、濃度は変化することに注意しましょう。
食塩水に水を加える混合問題です。「水を加えても、食塩の重さは変わらない」ことに注目します。
(1) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、200×18/100＝36ｇです。水を40ｇ加えるので、食塩水の重さは、200＋40＝240ｇになりました。よって、36÷240＝0.15より、濃さは15％です。
(2) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、250×8/100＝20ｇです。加える水の重さを□ｇとして、整頓すると、(250＋□)×5/100＝20となります。よって、250＋□＝20÷5/100＝400で、□＝400－250＝150より、加えた水の重さは150ｇとなります。
(3) 水を蒸発させる問題です。水を蒸発させても食塩の重さは変わらないことに注目します。初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、400×3/100＝12ｇです。蒸発させる水の重さを□ｇとすると、食塩水は、(400－□)ｇになりますので、(400－□)×5/100＝12と整頓できます。よって、400－□＝12÷5/100＝240より、□＝400－240＝160ですから、蒸発させる水の量は、160ｇです。
食塩水に食塩を加える混合問題です。「食塩を加えると、食塩水の重さも増える」ことに注意します。
(1) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、300×4/100＝12ｇです。食塩を20ｇ加えた後の濃さを小数で□として、整頓すると、(300＋20)×□＝12＋20となります。□＝32÷320＝0.1より、濃さは10％です。
(2) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、150×12/100＝18ｇです。加えた食塩の重さを□ｇとして整頓すると、(150＋□)×20/100＝18＋□となりますが、これでは、□を求めることができません。そこで、「変化していない水の重さに注目」します。食塩水全体の12％が食塩の重さでしたから、100％－12％＝88％が水の重さということになります。150×88/100＝132ｇである水の重さは、食塩を加えた後の食塩水（濃さが20％）では、100％－20％＝80％になります。加える食塩の重さを□ｇとして、水の重さについて整頓すると、(150＋□)×80/100＝132より、150＋□＝132÷8/100＝165で、□＝165－150＝15となります。よって、加えた食塩の重さは15ｇとわかります。
このように、食塩水の問題では「変化していない量」に注目することに気をつけましょう。
濃さの異なる食塩水を混ぜてできる食塩水について学習します。
食塩水どうしを混合させる問題です。
(1) それぞれの食塩の重さを求めて、食塩水の重さの合計、食塩の重さの合計から濃さを求めます。200×4/100＝8、300×9/100＝27 より、食塩の重さの合計は、8＋27＝35ｇです。濃さを小数で□として整頓すると、(200＋300)×□＝35となります。□＝35÷500＝0.07より、2つの食塩水を混ぜてできた食塩水の濃さは、7％です。
(2) 食塩水200ｇの濃さを小数で□とすると、食塩の重さは200×□となります。もう一方の食塩水100ｇでは、食塩の重さは、100×5/100＝5です。整頓すると、(200＋100)×7/100＝200×□＋5となります。300×7/100＝21より、21＝200×□＋5です。よって、□＝(21－5)÷200＝0.08より、200ｇの食塩水の濃さは、8％でした。
前問と同様、食塩水の混合問題ですが、片方の食塩水の重さがわかりません。平均問題と同様に、面積図を利用して解きます。「食塩水の重さ×濃さ＝食塩」を「横×たて＝面積」として、面積図をかいて解きます。予習シリーズ65ページ、66ページの解き方にある面積図を参照してください。 なお、面積図では、％単位の数量で解き進めてもよいことを覚えておきましょう。
(1) 66ページの最初の面積図において、ア＝イですので、 300×(11－5)＝□×(20－11) より、□＝300×6÷9＝200です。よって、20％の食塩水を200ｇ混ぜればよいことになります。
(2) 66ページの2つ目の面積図において、同じくア＝イですが、このままでは□は求められません。そこで、ウの部分を両方に加えて考えます。ア＋ウ＝イ＋ウとして、□×(15－6)＝900×(10－6) より、□＝900×4÷9＝400です。よって、15％の食塩水を400ｇ混ぜればよいことになります。
食塩水の問題は、多くの中学校の入試問題に出題されています。基本の考えをしっかりと身に付けましょう。
第6回は『小数と単位』です。まずは、予習シリーズ52ページにある小数の仕組みを理解して覚えましょう。また後半の「単位」の問題は5年、6年になっても苦手とされる生徒が多い単元ですので、基本からしっかり固めておきましょう。※分数は、分子/分母の形で表します。
今回の重要ポイントは「単位計算」です。今回は3種類の単位を学習しますが、今後もその他の単位も出てきますので、ここで小数のたし算・ひき算を使う単位の計算方法をしっかり学んでおきましょう。
小数のしくみの問題です。
(1) 1が3個で3、 0.1が7個で0.7、 0.001が5個で0.005となります。これらの数を集める、つまり和を求めると、3.705です。
(2) 0.01が10個あつまると、0.1となりますので，24個のうちの20個で、0.2です。残りの4個は、0.01が4個ですから0.04です。合わせて0.24です。
(3) 1/1000は0.001ですから、0.001を683個集めることになります。小さい位から、0.001を3個，0.01を8個、0.1を6個集めることになります。合わせて0.683です。
小数のたし算・ひき算の問題です。ここでは、注意点を説明することにします。小数のたし算・ひき算は、筆算において小数点を上下でそろえることが重要です。たし算では、計算結果で末尾（答えの右はし）に0(ゼロ)がある時は消すことを注意しましょう。ひき算では、ひく数（筆算で下の段におく数）のけたが、ひかれる数（筆算で上の段におく数）のけたより多いときは、ひかれる数の右に0をつけて、けたの数をそろえることがポイントです。予習シリーズ55ページの解き方にある筆算を参照してください。
長さ・重さ・かさの単位について学習します。単位は今後の算数の学習、テストの計算問題など様々な場面に出てきます。確実に習得できるまで、反復練習をしましょう。予習シリーズ55ページにある、単位についての説明を参照してください。特に、キロ（kの文字を使います）は、kのない単位の1000倍の大きさを表し、ミリ（mの文字）は、mのない単位の1/1000(＝0.001)の大きさを表すことを覚えておきましょう。つまり、1m(メートル)の1000倍の大きさである1000mは1km、1mの1/1000の大きさは1mm(ミリメートル)となります。キロ，ミリの他、長さの単位では、1/100(＝0.01)の大きさを表すセンチ（cの文字）、かさの単位では、1/10(＝0.1)の大きさを表すデシ（dの文字）も使われます。これらも合わせて使えるようにトレーニングしましょう。
長さ・重さ・かさの単位を学習します。予習シリーズ56ページの例題3の前にある，単位のなおし方をよく読んで理解しましょう。ここでは、小数点の移動によって単位をなおすことを説明しています。
(1) 1m＝100cmですから、m→cmにかえるには、小数点を2つ右にうつします。よって，5.8ｍ＝580cmです。
(2) 1000g＝1kgですから、g→kgにかえるには，小数点を3つ左にうつします。よって，2700g＝2.7kgです。
(3) 1L＝1000mLですから、L→mLにかえるには、小数点を3つ右にうつします。よって，0.65L＝650mLです。
単位のついた数量のたし算・ひき算です。それぞれの数量を、求める単位にそろえて、たし算・ひき算をします。
(1) 2800m＋0.76km＝□m、0.76km＝760m より、2800＋760＝3560、よって，□＝3560です。
(2) 2.25L－1500mL＝□dL、1L＝10dL より、2.25L＝22.5dLです。また、1500mL＝15dLです。よって、22.5－15＝7.5 より、□＝7.5です。
小数のたし算・ひき算は思いのほか、ミスする生徒が多いようです。筆算をていねいにするよう、心がけましょう。また、繰り返しになりますが、単位計算はこの回にできるだけ習得しましょう。
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