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第15回は『立体図形(2)』です。立体の構成や切断などを学習します。
取り上げた問題は、すべて難易度が高めですが、学習する機会を有効に、しっかり理解しましょう。
立体の構成を考えます。
合同な20個の正三角形で囲まれた立体の頂点や辺の数を考えます。問題に与えられた図を参照してください。
(1) ◎この立体の頂点の数を求めます。
図から、どの頂点も正三角形が5つ集まっていることがわかります。頂点が3個の正三角形が20個ですので、頂点の個数の合計は、3×20＝60個ですが、この頂点が5つ集まって、この立体の1つの頂点になっています。よって、60÷5＝12 より、この立体の頂点の個数は、12個です。
◎この立体の辺の数を求めます。
図から、2つの正三角形が接していて、この立体の辺になっています。辺が3本の正三角形が20個ですので、辺の本数の合計は、3×20＝60本です。よって、60÷2＝30 より、この立体の辺の本数は、30本です。
(2) この立体のすべての頂点を平面で切り取った立体を作ります。
◎できた立体の頂点の数を求めます。
もとの立体の1つの頂点を切り取ることによって、五角形ができますので、頂点が5つになります。結果として、もとの12個の頂点の場所に5個ずつ頂点ができます。よって、5×12＝60 より、新しい立体の頂点の個数は、60個です。
◎できた立体の辺の数を求めます。
もとの立体の辺は、そのまま残りますので、もとの立体の頂点のところに、新たに五角形の5本の辺が増えます。よって、30＋5×12＝90 より、新しい立体の辺の本数は、90本です。
なお、立体図形においては、「頂点の数＋面の数－辺の数＝2」となることが知られています。このことを利用して解くことも可能です。
立体を分割して、体積公式が使える形を作る問題です。
立方体の4つの辺の中点A、B、C、Dを結んだ作った立体の体積を求めます。問題の図および、解き方の図を参照してください。この状態では、体積を求めることはできません。そこで、この立体を分割して、体積公式の使える立体に分けます。つまり、底面と高さが垂直になっている立体を作ります。辺AB上に中点Mをとり、この点と辺CDとで三角形MCDを考えます。この三角形MCDを底面とすると、AMは垂直になっていることから高さとして、立体A-MCDは三角すいで、体積を求めることができます。残りの半分である立体B-MCDも同様です。底面の三角形MCDの面積は、6×6÷2＝18平方cmで、高さAM＝3cmです。よって、三角すいA-MCDの体積は、18×3÷3＝18立方cmと求まります。三角すいB-MCDも同じ体積です。よって、18×2＝36 より、この立体の体積は、36立方cmです。
切断した立体の体積を求める問題です。
(1) 円柱を切断した立体です。問題の立体を、同じ立体を上下逆さにして切断面をピッタリ重ねると円柱にもどります。できた円柱の高さは、3＋5＝8cmとなりますので、このときの体積の半分がもとの立体の体積です。よって、3×3×3.14×8÷2＝36×3.14＝113.04 より、この立体の体積は、113.04立方cmです。
(2) 直方体を切断した立体です。たて4cm、横6cmの長方形の面を底面として、(1)と同様に、同じ立体を切断面をピッタリ重ねると直方体にもどります。この直方体の高さになる部分の長さは、3＋4＝7cmです。よって、4×6×7÷2＝84 より、この立体の体積は、84立方cmです。ちなみに、この考え方は、水を入れた水そうを傾けたときの水の体積を考えるときにも使えます。
(3) 三角柱を切断した立体です。この立体は、同じ立体をどのように重ねても三角柱にはなりません。そこで、体積の等積移動を考えます。予習シリーズの解き方にある説明を参照してください。結果としては、三角形を底面として3つの辺をそれぞれ高さとする「三角すいの和」になります。よって、底面＝4×4÷2＝8平方cmですから、8×3÷3＋8×4÷3＋8×5÷3＝8×(3＋4＋5)÷3＝32 より、この立体の体積は、32立方cmです。
これらの問題で注目する点があります。それは、体積を求める式において、底面積にかけている部分です。この部分は、どれも高さの平均になっていることに注意してください。
第16回は『旅人算とグラフ』です。旅人算は、2人以上の旅人(登場人物)が出会ったり、追いついたりするときの、速さ、時間、距離を考える問題です。ダイヤグラム(たて軸に距離を表し、横軸に時間を表したグラフ)も使用して考えます。
旅人算の基本は、2人が出会う（近づく）問題であっても、反対方向に離れていく（遠ざかる）問題であっても、距離の和を考える問題では、2人の速度の和を考えます。また、距離の差を考える問題では、追いつく（近づく）問題であっても、同じ方向に離れていく（遠ざかる）問題であっても、2人の速度の差を考えます。予習シリーズ168ページから169ページにある、速さと時間、距離の関係式をよく読んで、それぞれの式の内容を理解してから問題演習に進みましょう。また、問題を解く場面でも、気になった時には振り返って確認してください。
距離の和を考える問題です。予習シリーズ169ページの解き方にある線分図を参照してください。
(1) 分速70mで歩く姉がA地点から、分速55mで歩く妹がB地点から、向かい合って進みます。同時に出発して□分進んだときに出会います。2人がそれぞれ、□分歩いた距離の和が、AB間の750mです。2人合わせて1分間に70＋55＝125m進みますから、125×□＝750となります。□＝750÷125＝6より、2人がすれちがうのは、出発してから6分後です。
(2) 分速85ｍで歩く人と分速65ｍで歩く人が、それぞれA地点とB地点から向かい合って同時に歩き出と8分後に出会います。進んだ距離の和を求めます。(1)と同様に、(85＋65)×8＝1200 より、A地点とB地点は1200ｍはなれています。
この例題では、(1)、(2)とも速度の和×時間＝近づいた距離(距離の和)という関係になっています。
距離の差を考える問題です。予習シリーズ170ページの解き方にある線分図を参照してください。
(1) 兄が家を出発するときに、弟は10分間進んでいますので、75×10＝750m離れた先にいます。これは、兄が出発するときの、兄と弟の距離の差です。1分後には、2人の速度の差である、100－75＝25m近づきます。750m近づくと追いつくことになりますから、750÷25＝30より、30分後に追いつくことになります。
(2) お母さんが出発するときにひかるさんは540m先にいて、分速240mの自転車で追いかけたお母さんは3分でひかるさんに追いつきました。ひかるさんの速度を分速□mとすると、お母さんの速度である分速240mとの差より、1分間に(240－□)mずつ近づくことになります。3分後に追いついたということは、(240－□)×3＝540と整頓できます。よって、540÷3＝180が、速度の差である、240－□ですから、240－180＝60より、ひかるさんの速度は、分速60mです。
この例題では、(1)、(2)とも、速度の差×時間＝離れている距離(距離の差) という関係から、距離の差÷速度の差＝時間を考えています。
旅人算を表すダイヤグラムについて学習します。右上がりのグラフと右下がりのグラフが同時に示されている場合は、出会いの問題です。この場合は、横軸の右方向にある（あとに出発した人の）出発時刻を元にしてグラフの間の距離（グラフのたての長さ）を考えます。右上がりどうし右下がりどうしのグラフが同時に示されている場合は、追いつきの問題です。この場合も同様に、横軸の右方向にある出発時刻を元にしてグラフの間の距離を考えます。予習シリーズ171ページの説明および図を参照して下さい。
旅人算とダイヤグラムの問題で、向かい合って進む場合です。
(1) 兄の動きを表す直角三角形では、距離(たての長さ)は1800m、時間(横の長さ)は(24－6＝)18分ですから、1800÷18＝100より、兄の速度は、分速100mです。弟の動きを表す直角三角形では、距離(たての長さ)は1800m、時間(横の長さ)は30分ですから、1800÷30＝60より、弟の速度は、分速60mです。
(2) 兄が出発するときの2人の距離の差を考えます。弟が6分進みましたので、1800－60×6＝1440mはなれています。この後、兄も進み始めますので、旅人算の考え方が使えます。2人合わせて1440m進む時間を求めます。1440÷(100＋60)＝9 より、兄が進み始めてから9分後ですので、6＋9＝15ですから、グラフのxは、15です。9を答えとしないよう、気をつけてください。
前問と同様、旅人算とダイヤグラムの問題で、同方向に進む場合です。弟の動きを表す直角三角形から、1600÷20＝80 より、弟の速度は、分速80mです。兄の速度は、弟の速度の2.5倍ですから、80×2.5＝200 より、分速200mです。グラフより、弟は9分先に進んでいますので、(80×9＝)720mが、兄が出発するときの2人の距離の差です。720÷(200－80)＝6 より、兄は6分後に弟に追いつきます。このときの兄が進んだ距離がグラフのxです。200×6＝1200 より、xは1200(m)です。
折り返しの旅人算について学習します。2人が進む距離の和や差に注目して考えます。
兄と弟が、A地点を同時に出発して、AB間の900mを1往復します。兄の速度は分速90mで、弟の速度は分速60mです。予習シリーズ174ページの解き方にある図を参照してください。
2人がすれちがう(出会う)までに進んだ距離の和がAB間の往復の距離(900×2＝)1800mとなります。また、距離の和がわかりましたので、速度も和を使うことになります。1800÷(90＋60)＝12 より、2人がすれちがうのは12分後です。
兄と弟が、A地点を同時に出発して、AB間を1往復します。兄の速度は分速160mで、弟の速度は分速120mです。弟はB地点の480m手前で、先にB地点を折り返してきた兄とすれちがいます。予習シリーズ174ページの解き方にある図を参照してください。
前問と似た問題ですが、距離の和がわかりません。ですが、解き方の図から、兄は弟より(480×2＝)960m多く進んでいることが読み取れます。
(1) 距離の差がわかりましたので、速度も差を使います。960÷(160－120)＝24 より、2人がすれちがったのは、出発してから24分後です。
(2) すれちがうまでに、弟が進んだ距離より480m先がB地点です。よって、120×24＋480＝3360 より、AB間は3360mです。別解として、すれちがうまでに2人が進んだ距離がAB間2つ分ですので、(160＋120)×24÷2＝3360 と求めてもよいです。
折り返しの旅人算では、この解き方にあるような図を自分でかけるようにしておくことが大切です。問題を解くスピードに、大きな差を生むことができます。ぜひ図をかく練習をしておきましょう。
第16回は『約数』です。
整数に関する問題の基礎となりますので、ていねいに学習して身に付けてください。作業的な部分が多く、まずは、約数を求める、最大公約数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。
予習シリーズ146ページの説明をよく読みましょう。
3を約数にもつ整数を選ぶ問題です。この例題の直前に説明されていますように、3でわり切れる整数を求めることになります。実際にわり算をすると、3でわり切れる整数は、9と51ですので、3を約数にもつ整数は、9、51です。
ある整数について、その約数を求め、その個数を求める問題です。この問題も、直前に説明されている「□＝○×△となるとき、○や△は、□の約数です。」を利用します。
(1) 20＝1×20、2×10，4×5 となります。よって、約数は｛1、2、4、5、10、20｝の6個あります。
(2) 64＝1×64、2×32、4×16、8×8 となります。よって，約数は｛1、2、4、8、16、32、64｝の7個あります。8を2回数えないよう，注意して下さい。
(3) 13＝1×13 だけです。よって、約数は｛1、13｝の2個です。なお、13のように、約数が2個の整数を「素数(そすう)」といいます。素数は、最小の2から(1は素数ではありませんので、注意してください)、2、3、5、7、11、13、17、19、… といくつもあります。
20をわると2あまる整数を求める問題です。条件を整とんすると、20÷○＝△あまり2 となり、たしかめ算の形で表すと、○×△＋2＝20 で，○×△＝18 となります。例題2 で利用したように、○や△は18の約数です。ですが、あまりが2であることから、わる数○は，あまりの2より大きくなければなりません。このことに、注意して下さい。18＝1×18、2×9、3×6 より、18の約数は｛1、2、3、6、9、18｝で、2より大きい整数を考えますので、求める整数は、｛3、6、9、18｝です。
公約数、最大公約数について、学習します。予習シリーズ148ページから149ページの説明や用語(公約数、最大公約数)をきちんと理解しましょう。
ベン図にかかれた2つの整数の約数や公約数について考える問題です。28の約数は、｛1、2、4、7、14、28｝の6個あります。42の約数は、｛1、2、3、6、7、14、21、42｝の8個あります。ベン図のイの部分は、28と42の約数の共通の数ですから、公約数です。上にかき出した約数から、どちらにもある共通の数は、｛1、2、7、14｝の4個です。よって、ア＝6－4＝2個、イ＝4個，ウ＝8－4＝4個です。予習シリーズ149ページに枠(わく)内の説明もよく読んでおいて下さい。
連除法を学習します。予習シリーズ150ページの連除法の使い方をよく読み、必ず使えるようにしましょう。
(1) (60、96)をともに素数2でわると、(30、48)となり、まだともに2でわれるのでわって、(15、24)となります。この後は、2でわれないので、次に小さい素数3でわると、(5、8)となり、これ以上共通にわれる数はありません。よって、共通にわった数の積、2×2×3＝12より、最大公約数は12です。
(2) (42、56、98)をともに素数の2でわると、(21、28、49)。次に小さい素数3、また5ではわれないので、その次に小さい素数7でわって、(3、4、7)となり、これ以上共通にわれる数はありません。よって、共通にわった数の積、2×7＝14より、最大公約数は14です。
約数に関する文章問題です。赤い色紙と青い色紙を何人かの子どもに、それぞれ同じ枚数ずつ配りますので、子どもの人数を□人にして式に整頓すると、赤い色紙については、30÷□＝○、青い色紙については、48÷□＝△あまり3となります。□は、30の約数であり、(48－3＝)45の約数ですから、30と45の公約数を求めればよいことになります。「公約数は最大公約数の約数」ですから、まず、最大公約数を求めます。連除法により、最大公約数は15となり、公約数は、15の約数である｛1、3、5、15｝です。ですが、3のあまりがありますので、□にあてはまる数は、3より大きい｛5、15｝です。よって、子どもの人数は、5人か15人です。あまりのある問題では、「わる数はあまりより大きい数である」ことに注意が必要です。
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