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算数予想問題
第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。なお、メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
速度と比 の問題を考えます。
距離が一定の場合、速度比と時間比は反比例(逆比)になることを利用した問題です。午後3時40分に家を出て、友人と公園で待ち合わせをしたもえかさんが歩く速さと公園まで行く時間の関係が2通り与えられています。分速80mで歩くと待ち合わせ時刻の6分前に公園に着きます。分速60mで歩くと待ち合わせ時刻に2分おくれます。
(1) 公園までの距離は等しいですから、速度比は、 80：60＝4：3ですので、かかった時間の比は、逆比になり、1/4：1/3＝3：4です。そして、実際にかかった時間の差は、6＋2＝8分です。よって、8÷(4－3)×3＝24より、分速80mで歩いたときにかかった時間は24分で、待ち合わせ時刻の6分前に着きましたので、3時40分＋24分＋6分＝4時10分より、待ち合わせ時刻は、午後4時10分です。
(2) 分速80mの速度で24分かかりましたので、80×24＝1920 より、家から公園までの道のりは、1920mです。
ダイヤグラムによる旅人算の問題を考えます。
姉と妹が、A、Bの2地点から向かい合って進みます。
(1) AB間を、姉は9分で、妹は(16－1＝)15分で進むことがグラフより読み取れます。AB間の距離が等しいですから、前問と同様、速度比は時間比の逆比となります。1/9：1/15＝5：3より、姉と妹の速さの比は、5：3です。
(2) ダイヤグラムでの旅人算のポイントです。姉がA地点を出発してから妹に出会うまでに進んだ距離と、妹が姉に出会ってからA地点に到着するまでの距離は同じです。この同じ距離を進むのにかかる時間の比は、速度比の逆比になりますので、1/5：1/3＝3：5で、合わせて16分です。よって、16÷(3＋5)×3＝6 より、姉が妹と出会うまでの時間xは、6(分)です。
面積比の問題を考えます。
三角形の中を分割した面積比と辺の問題です。予習シリーズ87ページの応用公式を確認してください。
(1) BD：DC＝三角形OBAの面積：三角形OCAの面積となります。よって、6：10＝3：5より、BD：DC＝3：5です。
(2) AO：OD＝四角形ABOCの面積：三角形OBCの面積となります。四角形ABOCの面積＝三角形OABの面積＋三角形OCAの面積＝6＋10＝16、よって、16：8＝2：1より、AO：OD＝2：1です。
図形の移動を考えます。
おうぎ形の移動の問題です。半径10cm、中心角72度のおうぎ形を、直線にそってすべらないように転がします。
(1) □の長さは、おうぎ形の弧ABがたどる長さです。よって、この長さ、10×2×3.14×72/360＝4×3.14＝12.56 より、□の長さは12.56cmです。
(2) おうぎ形の中心Oが動いたあとの線の長さを求めます。予習シリーズ別冊解答43ページの図を参照してください。半径OAが直線に直角になるまで動きますので、点Oの動いた角は90度です。その後、点Oは、常に半径の長さだけ直線から離れて動きますので、直線と平行になり、その長さは(1)の長さです。また、その後は初めの動きの逆になり、点Oの動いた角度はやはり90度です。まとめると、半径は10cm、動いた角度の合計は、90＋72＋90＝252度になりますので、10×2×3.14×252/360＝14×3.14＝43.96 より、点Oが動いたあとの線の長さは、43.96cmです。
(3) 四分円＋長方形＋四分円の面積を求めます。ここで、長方形の横の長さは、(1)で求めた、4×3.14です。まとめると、10×10×3.14×1/4×2＋10×(4×3.14)＝(50+40)×3.14＝90×3.14＝282.6より、面積は、282.6平方cmです。
弱点分野があった場合には、各回に戻って補強していきましょう。
第10回は『総合』です。まずは、基本問題において、各回の内容が理解できているかを確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
勝敗の問題です。対戦表を作って解いていきますが、メルマガではできませんので、予習シリーズ別冊「解答と解説」38ページの対戦表を参照してください。
A(チーム)は、Bとの試合で負けましたが、3勝1敗ですので、他のチーム(C、D、E)に勝ちました。また、CはAには負けましたが、同じく3勝1敗ですので、他のチーム(B、D、E)には勝ちました。Dは、A、Cには負け、Eには勝っていますので、この時点で1勝2敗。Eは、A、C、Dに負けていますので、この時点で3敗です。ここで、DとEは勝ち数が同じという条件ですから、DとEは、1勝はしていて、3敗していることになります。
そこで、Bの勝敗を考えますと、Aには勝ち、Cには負け、Dには勝ち、Eには負けとなります。よって、Bが負けた相手のチームは、CとEです。
三角形の面積を求める問題です。高さがわかりません。ただし、内角の1つが30度と与えられています。問題の図で、10cmの辺の右上の頂点から、14cmの辺へ直角に線を引きます。この線により、30度、60度、90度の直角三角形ができました。この直角三角形は、正三角形の半分ですので、直角に引いた線の長さは、10cmの半分の5cmになります。問題の三角形で、この5cmは、底辺を14cmとしたときの高さになります。よって、14×5÷2＝35 より、三角形の面積は、35平方cmです。
円に関連した図において、まわりの長さや面積を求める問題です。
(1) 色のついた部分のまわりの長さを求めます。同じ半径の、半円の弧と2つの四分円の弧でできていますので、長さとしては、1つの円周になります。よって、直径が8cmですから、8×3.14＝25.12 より、色のついた部分のまわりの長さは、25.12cmです。
(2) 色のついた部分の面積を求めます。図形を移動させて、求められる形に直します(等積移動または等積変形)。この図形の下から4cmのところで横に切り分けて、上部分の半円をたてに半分にします。この2つは四分円ですので、下部分の色のついていない部分にピッタリはまります。結果、色のついた部分の面積は、たて4cm、横8cmの長方形の面積と同じになりました。よって、4×8＝32 より、色のついた部分の面積は、32平方cmです。
練習問題から、割合の表し方について考えてみましょう。分数は、分子/分母の形で表します。
棒A、Bともに等しい長さである、水中に入っている部分(水の深さ)に注目して解いていきます。棒Aでは、135×4/5＝108 より、水の深さは108cmとわかりました。ですから、棒Bでは、□×6/11＝108 となりますので、逆算して、□＝108÷6/11＝108×11/6＝198 より、棒Bの長さは、198cmです。
(1) 男子のうちの3人を女子のグループに入れると、27＋3＝30(人)が、男子の3/5以外の 1－3/5＝2/5 となります。ここがポイントです。よって、30÷2/5＝30×5/2＝75 より、4年生全体の人数は75人です。
(2) (1)より、男子は、75－27＝48(人)です。男子の欠席は、48×1/8＝6(人)。女子の欠席者は、27×2/9＝6(人)。よって、6＋6＝12 より、欠席者は合計で12人です。
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