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＜算数　6年上　第9回＞

　第9回は『総合回』です。今回は、基本問題・練習問題を通して、大切と思われる問題を取り上げます。なお、メルマガでは、分数は(分子/分母)の形で表します。

＜今回のポイント＞

　総合回です。まずは基本問題を解いて、弱点を発見しましょう。その上で、練習問題に触れて、思考力・知識力を身に付けましょう。

【対策ポイント1】

　平面図形の面積問題を考えます。

[基本問題2]

　各辺が比に分割された、面積が60平方cmの三角形があります。
(1) BD：DC＝1：1 より、三角形ADCの面積は、60÷(1＋1)＝30平方cmです。AE：EC＝1：2 より、三角形ADCの一部である三角形CDEの面積は、30÷(1＋2)×2＝20ですから、20平方cmです。
(2) 三角形FDEの面積は、三角形ABCの面積から、まわりの3つの三角形の面積を引いて求めます。ここで、一角共通の三角形の面積比を考えます。
a)　AF：FB＝3：2、AE：EC＝1：2 より、面積比、三角形AFE：三角形ABC＝(AF×AE)：(AB×AC)＝(3×1)：(5×3)＝1：5、よって、三角形AFE＝60÷5×1＝12平方cm
b)　FB：AF＝2：3、BD：DC＝1：1 より、面積比、三角形BDF：三角形ABC＝(FB×BD)：(AB×BC)＝(2×1)：(5×2)＝1：5、よって、三角形BDF＝60÷5×1＝12平方cm
c)　(1)より、三角形CDE＝20平方cm
以上から、60－12－12－20＝16 より、三角形FDEの面積は、16平方cmです。
(3) 四角形AFDEにおいて、対角線FEによって分割された、三角形AFEと三角形DFEの面積比は、もう一方の対角線ADを対角線の交点までの長さの比と等しくなります。つまり、三角形AFE(の面積)：三角形DFE(の面積)＝AG：GD となります。三角形AFE：三角形DFE＝12：16＝3：4 より、AG：GD＝3：4です。

【対策ポイント2】

　ダイヤグラムの速さの問題を考えます。

[基本問題4]

(1) 時間(横軸)と距離(たて軸)による直角三角形を読み取ります。姉が家を出て図書館まで、8分(横軸)で、1200m(たて軸)進みますので、1200÷8＝150 より、姉の行きの速さは、分速150mです。
(2) 妹の速さは、10分で600m進みますので、600÷10＝60 より、分速60mです。よって、1200÷60＋(12－10)＝22分で図書館に着きます。姉は、その2分前に家に着いていますので、出発してから22－2＝20分後です。また、姉の帰りの速さは、150×2＝300 より、分速300mですから、図書館から家まで、1200÷300＝4分かかっています。よって、20－4＝16 より、姉が図書館を出発したのは、家を出てから16分後です。
(3) 16分後の2人の離れている距離を考えます。妹は、図書館まで、22－16＝6分残っていますので、60×6＝360ｍ手前です。旅人算の出会いを考えて、360÷(300＋60)＝1分後です。よって、姉の進みから、1200－300×1＝900 より、家から900ｍの地点です。

【対策ポイント3】

　場合の数の問題を考えます。

[練習問題3]

　硬貨の組み合わせを考える問題です。100円玉(A)が5枚、50円玉(B)が6枚、10円玉(C)が3枚あります。
(1) おつりなしで、470円を払う組み合わせを考えます。70円は、Bが1枚とCが2枚でできます。よって、残りのAが5枚とBが5枚で、残りの400円になる組み合わせを考えることになります。(A、B)＝(4、0)、(3、2)、(2、4) となりますので、3通りです。
(2) それぞれの硬貨の枚数に、その硬貨を使わない1通りを考えて、かけ算をすればよいことになります（約数の個数の求め方と同様の考え方です）。ただし、たとえば、50円玉2枚と100円玉1枚のように、同じ金額になる場合には、少額硬貨(100円玉を50円玉に)に替えておくとダブらずにすみます。よって、100円玉をすべて50円玉にして、50円玉(5×2＋6＝)16枚、10円玉3枚で考えます。(16＋1)×(3＋1)＝68 となりますが、この中には、どの硬貨も使わない1通りが含まれますので、68－1＝67 より、おつりがないように払える金額は、全部で67通りです。

＜算数　5年上　第10回＞

　第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

＜今回のポイント＞

　問題内容を丁寧に読み解き、条件を整頓することを心がけましょう。条件が理解できていれば、正答につなげられます。

【対策ポイント1】

[練習問題 1]

　長方形を回転させた問題です。長方形ABCDを、頂点Cを中心に90度回転させます。回転させて移った点をそれぞれ、A’、B’、D’とします。このとき、点A、Bの動いた線と、辺AB、A’B’によって囲まれた部分(色をつけた部分)の面積を求めます。予習シリーズ別冊解答と解説の42ページの図を参照してください。この形の問題は、図形全体の面積から、色のついていない部分の面積を引いて求めることができます。図形全体は、三角形ABCと半径をACとして中心角が90度のおうぎ形(四分円)と三角形B’CD’の合計です。このうち、三角形ABCと三角形B’CD’は合わせると長方形になっています。また、色のついていない部分は、半径をBCとする中心角が90度のおうぎ形(四分円)と長方形A’B’CD’の合計です。　長方形どうしは、引いてなくなりますので、結果として、半径10cmの四分円の面積から、半径8cmの四分円の面積を引いて求めます。(10×10－8×8)×3.14÷4＝9×3.14＝28.26 より、色のついた部分の面積は、28.26平方cmです。

【対策ポイント2】

[練習問題 2(2)]

　食塩水の問題です。
(2) 予習シリーズ別冊解答と解説の42ページにある面積図を参照してください。この図が自身でかけるようトレーニングしましょう。なお、この面積図を利用した解法では、%単位は小数などになおすことなく、計算に使うことができます。アの面積＝イの面積ですので、300×(13－11)＝□×(11－7) となります。よって、□＝300×2÷4＝150 より、7％の食塩水を150ｇ混ぜることになります。

【対策ポイント3】

[練習問題　3(2)]

　複数個仕入れて販売する、売買損益の問題です。
(2) 定価＝150×(1＋0.6)＝240円、売価(売り値)＝240×(1－0.25)＝180円です。仕入れた品物が完売した(すべて売れた)場合、利益は、(1個の利益×売上個数)で計算できます。そこで、売れ残った2個は仕入れなかったものとします。ただし、利益＝売上金額－仕入れ金額 ですが、2個の分仕入れ金額を少なくします。結果として、利益は、960＋150×2＝1260円となります。準備が整いましたので、進めます。定価で売った場合の1個の利益は、240－150＝90円で、個数はA個です。売価で売った場合の1個の利益は、180－150＝30円で、個数はB個です。そして、利益の合計は1260円です。つまり、90×A＋30×B＝1260、A＋B＝20－2＝18 となりますので、つるかめ算で解くことができます。すべて、30円の利益として、(1260－30×18)÷(90－30)＝720÷60＝12 より、定価で売れた品物は12個です。

＜算数　4年上　第10回＞

　第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

＜今回のポイント＞

　総合回ですので、少しレベルをあげた練習問題を取り上げます。解くための基本は学習済みの内容で、この内容をどのように使っていくか、という部分を理解して進めましょう。また、面積の単位をしっかり身に付けましょう。

【対策ポイント1】

　面積の単位を学習します。予習シリーズ96ページの説明をよく理解しましょう。
　面積の単位は、長さの単位を利用して、平方cm、平方m、平方kmを使ってきました。ここでは、面積特有の単位を学習します。面積特有の単位には、a(アール)、ha(ヘクタール)があります。長さの単位を利用した面積単位と面積特有の単位の関係を理解しておいてください。この関係は、正方形の面積を使って理解することができます。1辺の長さ1mの正方形の面積は1平方mです。この1辺の長さ1mを10倍した、1辺10mの正方形の面積は、10×10＝100平方mで、この広さが1aとなっています。つまり、1辺1mの正方形の面積1平方mから、1辺を10倍すると、面積は100倍になり、面積単位が、1aとなります。その後も同様に、1辺の長さを10倍すると、面積は100倍になり、そのときに面積単位が変わっていきます。
　まとめると、1平方m →(100倍) 1a →(100倍) 1ha →(100倍) 1平方km

[基本問題 第13問]

　面積単位の問題です。この機会に、解いて理解しましょう。

【対策ポイント2】

[練習問題 第3問]

　小数や分数の問題です。分数は、分子/分母の形で表します。単位のついていない分数と、単位のついている分数の違いに注意しましょう。
(1) 単位のついている、3/5mは、1mの3/5ということです。1m＝100cmで、3/5は、5等分したうちの3つ分ということです。よって、3/5mは、100÷5×3＝60より、Aさんが取ったリボンは60cmです。
(2) はじめのリボンの長さは1.5m＝150cmですから、Aさんが取った残りのリボンの長さは、150－60＝90cmです。90cmの5/6（単位がついていません）は、90÷6×5＝75cmで、これより2.5cm短い長さは、75－2.5＝72.5となりますので、Bさんは、72.5cmの長さのリボンを取りました。よって、90－72.5＝17.5より、リボンは17.5cm残りました。

【対策ポイント3】

[練習問題 第4問]

　四角形、三角形の角度問題です。正方形、正三角形はどちらも辺の長さがすべて等しい図形です。
(1) 三角形CDEは、辺CDとCEの長さが等しいので、二等辺三角形です。そして、角DCEは、正方形の角90度から正三角形の角60度を引いた30度です。よって、(180－30)÷2＝75 より、角CDEの大きさは75度です。
(2) 角DEF＝角CED－角CEF として考えます。角CED＝角CDE＝75度、三角形CEFは、辺CEとCFが等しく、角ECF＝角DCE＋角DCF＝30＋60＝90度ですので、直角二等辺三角形です。よって、角CEF＝(180－90)÷2＝45度となります。したがって、角DEF＝角CED－角CEF＝75－45＝30 より、角DEFは30度です。

　角度問題は、二等辺三角形や正三角形など特別な三角形の角を利用することが多いです。これらの三角形は、等しい長さの辺を持っています。ですから、等しい辺を見つけることが大切です。そのため、図の中で、長さが同じ辺には同じマークをつけることを習慣としましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。