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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第8回は『場合の数』です。復習テーマは、並べ方、組み合わせ方、道順、ぬり分け、リーグ戦とトーナメント戦などです。新出テーマは、道順の応用、仕切りの応用、規則性の応用です。 メルマガでは、分数は、(分子/分母)の形で表します。
場合の数は、やや難しい分野です。条件をきちんと把握して、どんな処理(計算)が使えるのかを考えることが大切です。
通常、道順の問題では、カドごとに何通りあるかを加え合わせて求めますが、スタート地点からゴール地点まで長い時は、大変です。そこで、計算による解法を学習しましょう。
道順を計算で求めます。たて、横とも1cmを1区間と名付け、PからQまで、たて方向に3区間、横方向に9区間の合計12区間を進みます。このとき、たて方向、横方向の順番は問いません。
たて、横の合計12区間のうち、少ない(たて方向の)3区間を決めれば、道順の1つが決まります。つまり、12の区間のうち、(たて方向の)3つの区間の決め方は、12の3の組み合わせを計算すればよいことになります。ここがポイントです。
(12×11×10) / (3×2×1)＝220 より、220通りの道順が考えられます。
これは、例えば、黒のご石3個、白のご石9個を、横1列に並べる場合の並べ方と同様です。
仕切りを利用して、場合の数を求める方法を学習します。
12個のミカンをA、B、C、Dの4人で分けます。全員が少なくとも1個はもらうものとして、分け方が何通りあるかを考えます。予習シリーズの解き方にあるイラストを参照してください。
12個のミカンを、4グループになるように、仕切ります。仕切る所は、ミカンとミカンの間ですので、間は、12－1＝11か所あります。この11か所から、3か所を選んで、仕切れば、4グループに分けることができ、順に、A、B、C、Dとして、分けられます。
結局、11の3の組み合わせを計算すればよいことになります。ここがポイントです。(11×10×9) / (3×2×1)＝165 より、分け方は、165通りあります。
第8回は『多角形の回転・転がり移動』です。図形の回転移動・転がり移動を学習します。この問題は、円に関する問題となります。計算上、中心角を表す部分で分数を用いますが、ここでは、分子/分母の形で表します。自分で図をかいて確かめながら進めましょう。また、弧の長さやおうぎ形の面積を求める計算がほとんどですので、円周率3.14を含む計算は、まとめて計算することを心がけましょう。
少々難しい内容です。繰り返し述べますが、自身で図をかくことで、図形の動きがわかります。このことが類似問題に有効になります。
多角形の回転移動について学習します。回転移動とは、図形をある点を中心に回転させることをいいます。この移動では、回転の中心の点から図形の各頂点までのそれぞれの直線は、同じ角度だけ回転します。よって、各頂点の動いたあとの線は、中心からの長さを半径とし、中心角が等しいおうぎ形の弧をえがきます。当然のことですが、このことが大切な部分です。予習シリーズ84ページの説明をよく読んでください。
三角形を1つの点を中心に回転させた問題です。直角三角形ABCを、頂点Cを中心にして矢印の方向に90度回転させます。予習シリーズ86ページの問題の図を参照してください。また、(3)は、解き方にある図を参照してください。
(1) 頂点Aが動いた線は、頂点Aと回転の中心Cを結んだ辺ACの長さ10cmを半径とし、回転の角度(＝中心角)が90度のおうぎ形の弧の長さになります。10×2×3.14×90/360＝5×3.14＝15.7より、頂点Aが動いたあとの線の長さは、15.7cmです。
(2) 辺ACが動いた後の図形は、辺ACの長さ10cmを半径とした、中心角90度のおうぎ形になりますので、おうぎ形の面積を求めることになります。10×10×3.14×90/360＝25×3.14＝78.5より、辺ACが動いたあとの図形の面積は、78.5平方cmです。
(3) 回転移動により、直角三角形ABCが動いたあとの図形で、頂点Aが動いたあとの点をA’、頂点Bが動いたあとの点をB’とします。辺ABが動いたあとの図形は、辺ABと辺A’B’、弧AA’と弧BB’に囲まれた部分の図形になります。予習シリーズ86ページの解き方にある図を参照してください。
この図形は、(ア)三角形ABCとACを半径とする四分円を合わせた図形の面積から、(イ)三角形A’B’CとBCを半径とする四分円を合わせた図形の面積をひいて求めることができます。(ア)－(イ)ですが、三角形ABCと三角形A’B’Cはもともと同じ図形ですから、ひき算するとなくなります。よって、ACを半径とする四分円の面積から、BCを半径とする四分円の面積をひくことで求められますので、10×10×3.14×1/4－8×8×3.14×1/4＝(25－16)×3.14＝28.26より、辺ABが動いたあとの図形の面積は、28.26平方cmです。
三角形を1つの頂点を中心に1回転させた問題です。
(1) 回転の中心Bと動いた点Cを結ぶBC＝5cmを半径とする円の円周を求めることになります。5×2×3.14＝31.4より、頂点Cが動いたあとの線の長さは31.4cmです。
(2) この問題では、回転の中心Bから、一番遠い点の動いた図形と、一番近い点の動いた図形が重要になります。点Bから一番遠い点はCで、(1)で考えたように半径5cmの円をえがきます。また、点Bから一番近い点は、Bから辺ACにひいた垂直な線が交わる点で、点Dとします(予習シリーズ88ページにある解き方の図参照)。そして、BDの長さ2cmを半径とする円をえがきます。よって、辺ACが通ったあとの図形は、点Bを中心とする、半径5cmの円と半径2cmの円の間の部分となり、2つの円の面積の差を求めることになります。5×5×3.14－2×2×3.14＝(25－4)×3.14＝21×3.14＝65.94より、直線ACが通ったあとの図形の面積は、65.94平方cmです。
多角形の転がり移動について、学習します。多角形が直線上を転がる場合、直線上に、転がる多角形の頂点の記号をかいておくことをお勧めします。このことで、どの点を中心に回転するかがわかりやすくなります。ここでも、自分で図をかくことが大切です。
直線上を長方形が転がる問題です。長方形ABCDを、直線上を直線にそってすべらないように転がします。予習シリーズ89ページの解き方にある図を参照してください。この図を自分でもかいてみましょう。直線ℓ上に、B、Cに続く、長方形の各頂点の記号D、A、Bを記入することをお勧めします。
(1) 頂点Bの動きを確認します。
(a) はじめに、点Cを中心に、長さ8cmのBCを半径として、90度回転します。
(b) 次に、点Dを中心に、長さ10cmのBDを半径として、90度回転します。
(c) 次に、点Aを中心に、長さ6cmのBAを半径として、90度回転します。
以上のそれぞれの回転によってできる弧をかきます。解答の図を参照してください。また、これらの弧の長さの合計を求めます。
弧(a)＋弧(b)＋弧(c)
＝(8×2×3.14×1/4)＋(10×2×3.14×1/4)＋(6×2×3.14×1/4)
＝(8＋10＋6)×2×3.14×1/4
＝12×3.14＝37.68 より、
頂点Bの通ったあとの図形の線の長さは、37.68cmです。
(2) (1)で、頂点Bが通ったあとの図形の、3つの四分円(a)、(b)、(c)の面積が求める面積に入りますが、そのほかに、(a)と(b)の間にある直角三角形BCDの面積、(b)と(c)の間にある直角三角形DABの面積も、すべて直線との間の面積として、計算に入ることを忘れないよう注意しましょう。予習シリーズ89ページの解き方にある図を参照して下さい。よって、面積(a)＋面積(b)＋面積(c)＋直角三角形2つ の面積を求めます。
(8×8×3.14×1/4)＋(10×10×3.14×1/4)＋(6×6×3.14×1/4)＋(6×8÷2×2)
＝(64＋100＋36)×1/4×3.14＋48
＝50×3.14＋48＝205 より、
頂点Bが動いたあとの線と直線で囲まれた図形の面積は、205平方cmです。
第8回は『三角形の角』です。三角形となっていますが、いろいろな図形の角についての基礎となります。予習シリーズにあるそれぞれの説明をよく読んでください。使われる用語をしっかり身につけましょう。
今後の角についての問題の基礎となりますので、用語とともに、きちんと使えるよう、しっかり学習しましょう。
三角形の内角、外角についての性質を学習します。予習シリーズ72ページから73ページ[例題1]の前までの説明をよく読んでください。
三角形の内角の和は180度であることを利用します。「内角の定理」ともいわれます。ア＋54＋45＝180 より、ア＝180－(54＋45)＝81、よって、アは81度です。
三角形の外角について学習します。「外角の定理」により、ア＝41＋78＝119、よって、アは119度です。
特殊な三角形である、二等辺三角形や正三角形の角について学習します。予習シリーズ74ページから75ページ[例題3]の前までの説明をよく読んでください。
二等辺三角形の角の性質を学習します。二等辺三角形では、「等しい辺の足もとの角(底角=ていかく)の大きさは等しい」
(1) ア＋36＋36＝180 となりますので、ア＝180－36×2＝108 より、アは108度です。
(2) 42＋イ＋イ＝180 となります。42＋イ×2＝180 より、イ＝(180－42)÷2＝69、よって、イは、69度です。
直角三角形、直角二等辺三角形について学習します。予習シリーズ76ページの説明をよく読んでください。
直角三角形、直角二等辺三角形の代表である三角定規を考えます。問題の(図1)の三角形のうち、左側の三角定規をA、右側の三角定規をBとします。2つの三角定規A、Bが重なっている、小さい三角形を考えます(予習シリーズ解き方にあるかげをつけた三角形)。この小さい三角形で、左の角は、Aの角の1つで30度、右の角は、Bの角の1つで45度です。 三角形の内角の和は180度ですから、ア＋30＋45＝180 より、ア＝180－(30＋45)＝105、よって、アは105度です。
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