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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第10回は『文章題(2)』です。相当算、やりとり算、倍数算、年令算、売買損益、食塩水について、学習します。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。 「必修例題1(2)」は、マルイチ算を使って解く相当算です。マルイチ算とは、元にする量をマル1として、割合をマルを使って表しますが、その割合に実際数量が加減された数量で、また割合を考えていくものです。(予習シリーズ108ページの線分図を参照して下さい) 折り紙の枚数をマル1としてスタートします。はじめに使った枚数はマル1/3より5枚多いので、その残りは、(マル1−マル1/3)より、5枚少なくなります。よって、残りは、(マル2/3−5)枚と表されます。次に残りの4/7より3枚多く使った枚数は、(マル2/3−5)×4/7＋3＝マル2/3×4/7−5×4/7＋3＝マル8/21−20/7＋3＝(マル8/21＋1/7)枚です。分配法則という計算法則はわかりますか？(a＋b)×c＝a×c＋b×cとなる計算の規則です。また、マルのついた数にかけ算をすると、その結果もマルをつけて表すことができます。この残りが、はじめの枚数の1/5ですから、マル1/5と表されます。合計すると、(マル1/3＋5)＋(マル8/21＋1/7)＋マル1/5となり、これがはじめの量であるマル1と等しいことになります。マル(1/3＋8/21＋1/5)＋(5＋1/7)＝マル1です。まとめると、マル32/35＋36/7＝マル1になります。よって、36/7÷(1−32/35)＝60より、マル1は60ですので、はじめにあった折り紙の枚数は、60枚とわかります。
「必修例題3」は、倍数算です。ある量の倍数を表す比が変化していく問題です。この問題では、合計(和)が変わらない場合、差が変わらない場合、片方が変わらない場合、それぞれが変わる場合、と4通りのケースがあります。(1)は、差が変わらない場合の問題です。(2)は、それぞれが変わる場合の問題です。(1)同じ量が増加したり、減少したりする場合には、差が変わらないことに着目して解いていきます。最初のAとBの所持金の比は7：5で、差は(7−5＝)2でしたが、2人とも330円と同じ量減少した結果、後の所持金の比は5：2になり、差は(5−2＝)3になりました。差は変わらないはずですから、差を、2と3の最小公倍数である6にそろえます。最初の所持金の比を、差が6になるように3倍して、(7×3)：(5×3)＝21：15とし、後の所持金の比を、同じく差が6になるように2倍して、(5×2)：(2×2)＝10：4とします。Aで考えて(Bでもかまいません)、所持金が21から10へと(21−10＝)11減ったのは、330円使ったからですので、比の1つ分が330÷11＝30円とわかります。よって、30×21＝630より、Aの最初の所持金は630円です。(2)この問題では、兄と弟の持っているカードの枚数が、兄は減少し、弟は増加しているので、どちらも変化します。このような場合には、マルイチ算を使います。はじめの枚数を、兄はマル4枚、弟はマル1枚とします。その後、兄はマル4−3枚になり、弟はマル1＋8枚になりました。この枚数の比が5：3です。このことを、比例式で表すと、(マル4−3)：(マル1＋8)＝5：3となります。比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)により、比の形をなくして、(マル4−3)×3＝(マル1＋8)×5になります。次に分配法則をつかって、カッコをなくします。マル12−9＝マル5＋40になります。この式は、マル12−マル5＝40＋9と変形されます。まとめて、マル7＝49になります。(予習シリーズ110ページの線分図を参照して下さい)49÷7＝7より、マル1は7と求められます。よって、7×4＝28ですので、はじめに兄が持っていたカードの枚数は、28枚と求められます。
「必修例題5(2)」は、売買損益の問題で、複数個仕入れた場合の問題です。利益は、売り上げ金額の合計から、仕入れ金額の合計を引いて求めます。仕入れ金額の合計は、仕入れ個数全部の金額の合計であることに注意して下さい。完売(すべて売れる)の場合は、1個の利益を仕入れた個数分集めると、利益を計算することができますが、仕入れ個数と売り上げ個数が異なる場合は、売り上げ金額の合計から仕入れ金額の合計を引かなければなりません。ところが、この問題は、個数が不明ですので、売り上げ金額の合計も仕入れ金額の合計も求められません。そこで、次のように工夫して考えます。 くさっていた15個も1個100円で売れたものとして、完売の状態にします。この100×15＝1500円は、売り上げ金額に加算しますが、同時に、利益にも加算します。なぜなら、仕入個数をすべて入れた利益計算がすでに終わっているからです。利益は合計して、3300＋1500＝4800円になります。1個の利益は、100−600＝40円ですから、4800÷40＝120より、仕入れたリンゴの個数は120個とわかります。
第11回は『柱体とすい体』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱、などの立体を柱体といいます。また、同じく底面の形が円や三角形、四角形、などで、上にのびるにつれて細くなり、最終的に点になる円すい、三角すい、四角すい、などの立体をすい体といいます。これらの立体の体積や表面積を学習します。
「必修例題1」は、角柱の体積、表面積を考える問題です。ここでは、台形の部分を底面とすることにより、太さの変わらない角柱として考えることがポイントになります。体積も表面積も、計算に底面積を使用するので、まず、底面積である台形の面積を求めておきます。(5＋8)×4÷2＝26より、台形の面積は26平方cmです。(1)角柱の体積は、[底面積×高さ]です。高さは6cmですから、26×6＝156より、この立体の体積は、156立方cmです。(2)角柱の表面積は、[底面積×2＋側面積]です。角柱の側面積は、展開図で考えると、底面1周の長さを横の長さとし、角柱の高さをたての長さとする長方形になります。ですから角柱の側面積は、[底面1周の長さ×高さ]です。底面1周の長さは、4＋8＋5＋5＝22cmですから、角柱の側面積は、22×6＝132平方cmです。よって、26×2＋132＝184より、この立体の表面積は184平方cmです。
「必修例題2」は、円柱の体積、表面積を考える問題です。柱体は、円柱も角柱も体積、表面積の求め方は同じです。まず、底面積である円の面積を求めます。底面積は、4×4×3.14＝(16×3.14)平方cmです。3.14のついた数量は、3.14をまとめてから計算します。
「必修例題3」は、展開図から、組み立ててできる立体の体積を求める問題です。辺の長さに注目して、組み立てた立体は、三角すいとなります。このすい体の体積は、[底面積×高さ×1/3]です。1/3をかける前の計算は、円柱や角柱である柱体の体積計算と同じです。つまり、同じ大きさの底面と、同じ高さをもつ柱体の体積を、1/3倍すると、円すいや角すいであるすい体の体積になります。
問題を解きます。底面は、底辺と高さが6cm、9cmの三角形ですから、底面積は6×9÷2＝27平方cmです。高さは底面に垂直にはかった長さですので、6cmが高さです。よって、27×6×1/3＝54より、この立体(三角すい)の体積は、54立方cmです。
「必修例題4」は、円すいの展開図から母線(＝側面のおうぎ形の半径)の長さ、円すいの表面積を考える問題です。問題に入る前に、重要なことを説明します。展開図を組み立てると、側面であるおうぎ形の弧の長さ(Aとする)と、底面である円の円周(Bとする)は重なりますので、同じ長さです。A＝母線×2×3.14×(中心角/360)と、B＝底面半径×2×3.14 は等しくなります。A、Bのどちらにも使われている(2×3.14)をなくしても、等しくなりますので、母線×(中心角/360)＝底面半径です。このことから、[中心角/360＝底面半径/母線]や[中心角＝底面半径/母線×360]という関係が成り立ちます。また、側面であるおうぎ形(半径は、母線という言葉を使います)の面積ですが、母線×母線×3.14×(中心角/360)という計算になりますが、上記の関係を考えて、この式は、母線×母線×3.14×(底面半径/母線)となり、母線どうしが約分できますので、結果として、[側面積＝母線×底面半径×3.14]という公式ができます。(予習シリーズ102ページの解説を参考してください)
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