＜算数 5年下 第4回＞
第4回は『平面図形と比(2) 』です。合同と相似を学習します。形も大きさも等しい2つの図形を合同といいます。また、形は同じでも大きさの異なる2つの図形を相似といいます。この合同や相似な三角形を利用して、角度の大きさや辺の長さ、または面積を求める問題を学習します。なお、どのような条件の場合に、2つの図形が合同であるか、また相似であるかについては、予習シリーズ37ページの、三角形の合同条件および相似条件を参照してください。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、合同な三角形を発見するための条件の使い方、および合同を利用した角度の求め方を学習します。
- 三角形ABDと形がにている三角形BCEを考えます。辺ABと辺BCは、正三角形の2つの辺ですから、等しい長さです。角ABDと角BCEはどちらも正三角形の角ですから、60度で等しい角度です。また、BDとCEは長さが等しいという条件です。よって、三角形の合同条件のうち、2辺とその間の角がそれぞれ等しい、という条件にあっていますので、三角形ABDと合同な三角形は、三角形BCEとなります。
- 直線ADと直線BEの交わった点をFとします。三角形ABFにおいて、角BADは、(1)より、角CBEと同じ24度です。また、角ABFは、60−24＝36度です。三角形ABFの頂点Fのところにある外角がxですから、外角の定理を利用して、24＋36＝60より、xは60度となります。
「必修例題2」は、縮尺の問題です。地図などのように、実際の大きさを小さくした図を縮図といいますが、実際の長さをもとにした、縮図上の長さの割合を縮尺といいます。縮尺は、1/○や1：○のように、分数または比の形で表しますが、○の部分が実際の長さであり、1の部分が縮図上の長さです。
- 縮尺5万分の1の地図ですから、実際の長さ10km＝1000000cmを50000としたときに1にあたる長さを求めます。1000000÷50000＝100÷5＝20より、20cmです。
- 縮尺は、長さについての割合です。よって、面積計算では、たて方向と横方向の2回、縮尺の計算をすることに注意してください。縮尺5千分の1の地図ですから、2平方cmの面積を、たて1cm、横2cmとして実際の長さを求めます。たては、1cm×5000＝5000cm＝50m、横は、2cm×5000＝10000cm＝100mと計算して、50m×100m＝5000平方mとなります。この数を、面積単位a(アール)になおすと、5000÷100＝50より、畑の実際の面積は、50aです。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、平行線を使った、相似な三角形の問題です。平行線には、同位角あるいはさっ角の位置にある2つの角は等しい、という性質があります。この性質から平行線を対応する（一方の図形を拡大または縮小して、他方の図形に重ねたときに重なる）辺に使っている図形は相似になります。
- ピラミッド型といわれる相似な三角形です。三角形OABと三角形OCDは、頂点Oの角が共通で等しく、角OABと角OCDは平行線における同位角で等しいので、相似です。よって、相似比（対応する辺の長さの比）は、どこも同じになります。対応する辺ABとCDは、AB：CD＝6：9＝2：3ですから、OB：ODも2：3です。7.5÷3×2＝5より、xの長さは5cmです。
- クロス型といわれる相似な三角形です。三角形OABと三角形OCDは、頂点Oの角が対頂角で等しく、角OABと角OCDは平行線におけるさっ角で等しいので、相似です。ABとCDは対応する辺で、AB：CD＝6：10＝3：5ですから、BO：DOも3：5です。12÷(3＋5)×5＝7.5より、Xは、7.5cmです。
「必修例題4」は、ピラミッド型の相似です。三角形ADEと三角形ABCは相似で、相似比は、AE ：AC＝6：(6＋4)＝3：5です。
- DEとBCも対応する辺ですから、相似比は同じなので、DE：BC＝3：5です。
- 相似な三角形の面積の比は、相似比を2回ずつかけた比になります。よって、三角形ADEと三角形ABCの面積比は、(3×3)：(5×5)＝9：25です。四角形DBCEは、三角形ABCから三角形ADEをひいた図形ですので、面積比の数を使って、25−9＝16となります。よって、三角形ADEと四角形DBCEの面積比は、9：16です。
【攻略ポイント3】
「必修例題5」は、相似な三角形が何組か組み合わさった図形です。何組あるかわかりますか。
- 辺BD上の長さの比を考えます。そこで、辺BD上の長さを1辺にもつ三角形で、三角形ABDと三角形PQDの、相似な三角形を利用します。AB：PQ＝BD：QD＝5：3ですから、BQ：QD＝(5−3)：3＝2：3です。
- 三角形BPQと三角形BCDも、相似な三角形です。相似比は、BQ：BD＝2：5です。よって、3÷2×5＝7.5より、CDの長さは7.5cmです。
- 三角形PCDは、PQとCDが平行であることから、等積移動をして、三角形QCDと面積は等しくなります。三角形BPQと三角形QCDにおいて、底辺の長さはBQ：QD＝2：3です。また、高さは第3回の必修例題3で学習しましたように、PQとCDの比が利用できますので、3：7.5＝2：5です。よって、面積比は、(2×2)：(3×5)＝4：15となります。
「必修例題6」は、ピラミッド型の相似の問題です。
- AEとECをそれぞれ1辺にもつ相似な三角形を考えます。三角形ADEと三角形EFCが相似であることに気がつきましたか。ここで、四角形DBFEは平行四辺形で、向かい合う辺の長さは等しいですから、EF＝DB＝3cmです。よって、相似な三角形ADEと三角形EFCで、AE：EC＝AD：EFです。AD：EF＝6：3＝2：1ですから、AE：EC＝2：1となります。
- 三角形ABCから、四角形DBFE以外の面積をひいて求めます。三角形ABCと三角形ADEと三角形EFCは相似です。相似比は、AC：AE：EC＝3：2：1ですから、面積は、(3×3)：(2×2)：(1：1)＝9：4：1です。よって、三角形ABCの面積を9とすると、四角形DBFEの面積は、9−(4＋1)＝4となります。したがって、四角形DBFEの面積は三角形ABCの面積の4/9です。
「必修例題7」は、正方形の中に何組かの相似が組み合わさってできた図形です。
- CFを1辺にもつ三角形ECFと相似な三角形を考えます。三角形EDAが相似になります。三角形EDAと三角形ECFの相似において、相似比は、ED：EC＝4：2＝2：1ですから、DA：CFも2：1です。よって、6÷2×1＝3より、CFの長さは3cmです。
- AGとGFをそれぞれ1辺にもつ相似な三角形AGDと三角形FGBにおいて、AG：FG＝AD：FB＝6：(3＋6)＝2：3です。また、AFとEFをそれぞれ1辺にもつ相似な三角形AEDと三角形FECにおいて、AE：FE＝ED：EC＝2：1です。ここで、AFの長さは同じですから、AF＝AG＋FG＝2＋3＝5と、AF＝AE＋FE＝2＋1＝3を、最小公倍数を利用してAF＝15にそろえます(比を統一させて、比のもとの1の大きさをそろえる作業をします) 。よって、AG：GF＝6：9、AE：EF＝10：5となりますので、AG：GE：EF＝6：(10−6)：5＝6：4：5です。
＜算数 4年下 第4回＞
第4回は『円(1) 』です。まず円の性質を学習します。その性質を利用して、円の中にかかれた三角形や正多角形の角度を求める問題を考えます。ちなみに、正多角形とは辺の長さやそれぞれの内角の大きさがすべて等しい図形をいいます。まずは用語と性質をしっかり覚えましょう。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、円の直径や半径の長さを求める問題です。
- (1)ACは、大円の直径です。半径は5cmですから、5×2＝10より、ACの長さは10cmです。
- (2)BCは、小円の直径です。半径は3cmですから、BC＝3×2＝6cmです。AB＝AC−BCですから、10−6＝4より、ABの長さは4cmです。
「必修例題2」は、円の半径は、どこでも同じ長さであることから、半径を2つもつ三角形は二等辺三角形になることを利用します。この図の三角形OABは二等辺三角形ですから、角Aが42度ならば、角Bも42度です。よって、180−42×2＝96より、角xは96度です。
「必修例題3」も前問と同様、半径を辺にもつ三角形の問題です。三角形OACは二等辺三角形ですから、角ACO＝角A＝38度です。よって、三角形OACの頂点Oの外角である角COB＝38×2＝76度で、三角形OBCも二等辺三角形ですから、(180−76)÷2＝52より、角xは、52度です。
ここで、38＋52＝90ですから、角ACBは90度となり、三角形ABCは直角三角形であることがわかりました。このことは、二等辺三角形の角の性質により、いつも成り立ちます。つまり、直径を1辺にもっていて、円周上に頂点をもつ三角形は、いつでも直角三角形になるということです。覚えておいてください。
「必修例題4」は、等分した円周上の点と円の中心を結ぶ線を作って、角度を考える問題です。円周を5等分した各点と円の中心を結ぶと、この5本の線によって、円の中心の360度は5等分されます。角Xの大きさは、5等分したうちの2つ分ですから、360÷5×2＝144より、角Xは144度です。
OとCを結んで、三角形OAC、三角形OBCを作ります。二等辺三角形OACの角AOCは、角Xと同じく144度ですから、(180−144)÷2＝18より、角OCAは18度です。また、二等辺三角形OBCの角BOCは、360−144×2＝72度で、(180−72)÷2＝54より、角OCBは、54度です。よって、18＋54＝72より、角yは、72度です。
われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。