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算数予想問題
第1回は『比(1)』です。比とは、割合の表し方のひとつです。割合では、もとにする量を1とし、比べる量を小数や分数で表していますが、比では倍数を利用して、どちらも整数になるように表します。例えば、比の値が0.3の場合、もとにする量を10とし、比べる量を3と表します。この後の算数では、多くの場面で比を活用しますので、基礎となる用語や使い方などを、しっかりと学習しましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表示します。
比と比の表し方や連比について学習します。基礎となる内容ですのでトレーニングを量的にこなしましょう。また、予習シリーズ7ページの必修例題の前に書いてある内容をよく読み用語をしっかり身に付けましょう。
「必修例題1」は、比を簡単にする(できるだけ小さな整数の比にする)問題です。
「必修例題2」は、文章の中の数量について、比を作る問題です。
比の積と商について、学習します。予習シリーズ8ページの必修例題3の前の説明をよく読みましょう。比の積と商は、簡単なようでいて、なかなか対応しづらい内容です。
「必修例題3」は、比の積と商の問題です。
比の1あたりの量について学習します。割合の場合と同様、比の1あたりの量を求めて、問われている量を求めます。文章中に与えられている条件は、比の前項・後項のどちらの実際量が与えられているか、実際量の和が与えられているか、実際量の差が与えられているかの3通りのうちのどれか1つです。この読み取りが重要となります。
「必修例題4」は、比の1あたりの量を求め、そのうえで、問われている数量を考えます。
「必修例題5」は、変化していないものは何かを読み取る問題です。
兄と弟が、同じ金額を出し合いますので、2人の所持金の差は、ボールを買う前と後では変わらないことに注目します。予習シリーズ10ページの解き方にある線分図を参照してください。所持金の差は、1050－750＝300円で、この金額が、比の差になります。300円÷(3－1)＝150円が、比の1つ分です。よって、150×(3＋1)＝600より、残りの金額の合計は600円です。1050＋750－600＝1200より、ボール1個は、1200円でした。
3つ以上の項でできている比を、連比といいます。
「必修例題6」は、2項の比2組から、3項の連比を作る問題です。
第2回は比(2)です。比例式と比例、逆比と反比例、倍数算を学習します。
まずは、比例式の学習です。比例式とは、2組の比が等号で結ばれた式のことで、比の値が等しくなっています。ここで学習する比例式は、比の問題を解く場面において、とても利用度の高い計算方法です。分数・小数のかけ算・わり算も含めて、比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)を使えるようにトレーニングしておきましょう。また、倍数算は、比の1あたりの量が異なった2組の比を、1あたりの量を等しく（統一）させて考える問題です。なお、分数は、分子/分母の形で表示します。
比例式と比例について学習します。予習シリーズ17ページの説明を参照してください。
例えば、単価(1つの値段)の等しい品物を買った時の個数と代金は、個数が2倍、3倍、…になると、代金も2倍、3倍、…になりますが、このような関係を比例といいます。私たちの身の回りにある2つの数量の関係において、最も多くある関係です。
「必修例題1」は、比例式を使って、未知数を求める問題です。
「必修例題2」は、比例式を使って解く文章題です。
単価×個数＝代金より、個数が等しいならば、単価と代金は比例します。単価の比が45：30＝3：2であれば、代金の比も3：2で、差が75円です。よって、75÷(3－2)＝75円が比の1つ分とわかります。75円×3＝225円より、持っていったお金は225円です。
逆比と反比例について学習します。予習シリーズ18ページの説明を参照してください。逆比について注意してください。逆比とは、逆数（この説明もきちんと理解してください）の比ということで、比の前項と後項を逆にすることではありません。
「必修例題3」は、積が等しい関係から、逆比を考える問題です。
「必修例題4」は、逆比を利用して解く文章題です。
「必修例題5」は、食塩水の問題です。食塩水の重さ×濃さ＝食塩の重さ、において食塩の重さ(積)が変わらないときには、食塩水の重さと濃さは反比例の関係になります。反比例については、予習シリーズ20ページの説明を参照してください。
食塩水に水を加えても、食塩の重さは変わりません。濃さの比、8％；6％＝4：3の逆比である、1/4：1/3＝3：4が、食塩水の重さの比となります。食塩水の重さの違いは、100gの水を加えたことによるものです。よって、100g÷(4－3)＝100gが比の1つ分です。100×3＝300より、はじめ、容器には300gの食塩水が入っていました。
倍数算について、学習します。倍数算は、比の1つ分が異なる、2組の比において、共通の1つ分を作って(統一して)考える問題です。共通にするために、最小公倍数を利用します。
「必修例題6」は、倍数算の代表である、和が変わらない問題と差が変わらない問題です。
第1回は 『約数と公約数』です。整数に関する問題の基礎となりますので、ていねいに学習して身に付けてください。作業的な部分が多く、まずは、約数を求める、最大公約数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。予習シリーズ7ページ、8ページに書いてある用語（素数、約数、公約数、最大公約数）をきちんと理解しましょう。
0でない3つの整数A、B、Cにおいて、A÷B＝C（または、A＝B×C）となる関係があるとき、BやCをAの約数といいます。予習シリーズ7ページにある用語(素数、約数)をきちんと理解しましょう。
「必修例題1」は、ある整数について、その約数を求め、その個数を求める問題です。
56を2つの整数の積に表しますと、1×56、2×28、4×14、7×8となります。よって、56の約数は、{1、2、4、7、8、14、28、56}の8個です。
「必修例題2」は、約数を利用して、条件にあった整数を求める問題です。
文章を整頓すると、90÷□＝〇あまり10となり、この式の□にあてはまる数を求めます。約数に関する問題では、あまりは考えません(A÷B＝Cのかたちで考えます)ので、90からあまりの10を引いて、80÷□＝〇としますと、□は、80の約数として考えることになります。ただし、あまりが10ですので、□は10より大きい数ですから、10より大きい80の約数、が条件にあてはまることに注意しましょう。前問と同様に、80を2つの積で表すことにより、約数を求めると、{1、2、4、5、8、10、16、20、40、80}となります。このうち、10より大きい約数を考えます。よって、あてはまる整数は、{16、20、40、80}です。
公約数、最大公約数について、学習します。予習シリーズ8ページから9ページの説明や用語(公約数、最大公約数、連除法)をきちんと理解しましょう。
「必修例題3」は、連除法による最大公約数を求める問題です。予習シリーズ9ページの解き方にある連除法を参照してください。
「必修例題4」は、文章問題です。
赤い色紙と青い色紙を何人かの子どもに、それぞれ同じ枚数ずつ配りますので、子どもの人数を□人にして式に整頓すると、赤い色紙については、28÷□＝〇、青い色紙については、48÷□＝△あまり6となります。□は、28の約数であり、(48－6＝)42の約数ですから、28と42の公約数を求めればよいことになります。公約数は最大公約数の約数ですから、まず、最大公約数を求めます。連除法により、最大公約数は14となり、公約数は、14の約数である{1、2、7、14}です。しかし、あまりが6ですので、□にあてはまる数は、{7、14}です。よって、子どもの人数は、7人か14人です。
第2回は倍数と公倍数です。倍数という言葉からも何倍かしてできる数であることがわかると思います。第1回の約数の場合と同様、倍数を求める、最小公倍数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。また、倍数の個数を求める計算もしっかり理解してください。
「必修例題1」は、倍数の仕組みを考える問題です。
公倍数と最小公倍数について学習します。予習シリーズ16、17ページの説明をよく読んで、理解しましょう。連除法による最小公倍数の求め方ですが、注意すべきは、3数以上の連除法で、最大公約数のときと異なる部分があることです。違いを確実に学習しましょう。
「必修例題2」は、公倍数の基本となる問題です。
「必修例題3」は、3数の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。
どちらも連除法を利用します。最大公約数については、第1回で学習した通りに求めます。注意すべきは、最小公倍数の場合です。3数(以上)の場合は、2数が共通にわれるときは、わっていきます。このとき、われない数は、そのまま下へおろします。そのうえで、連除法の左に表れたわった数と、一番下に残った数をすべてかけ算した結果が、最小公倍数です。予習シリーズ17ページの解き方を参照してください。答えは、最大公約数が6、最小公倍数は1512です。
「必修例題4」は、すこし複雑な公倍数の問題です。公倍数の問題では、整数の集まりをグループに分けて表す図(ベン図)で考えると、理解しやすくなります。予習シリーズ18ページの解き方にあるベン図を参照してください。
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