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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第5回・第6回攻略ポイント

<算数 5年下 第5回>

第5回は『総合(第1回~第4回)』です。基本問題は、以前にお話しした基本ポイントの確認になります。正解とならなかった問題は、各回の該当の内容にもどって解き直しをしましょう。

【攻略ポイント1】

「基本問題第1回[比(1)]3」は、倍数算です。このタイプの問題は、設問(1)の解き方のような、工夫ができるかどうかが重要になります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

  1. 妹が700円使わなかったとすると、妹の残りのお金は700円多くなっていることになります。700+200=900より、姉と妹の残ったお金の差は、900円です。
  2. 姉は持っているお金の3/4を使いましたので、残りのお金は、はじめにあったお金を8とすると、8×(1-3/4)=2となります。よって、残ったお金の比は(妹は使っていないとして)、2:5で、差が900円です。900÷(5-2)×8=2400より、はじめの姉の持っていたお金は2400円です。

「基本問題第2回[比(2)]2」は、逆比を考えた文章題です。
水族館の入館料を、大人1人A円、子ども1人B円とすると、本文「大人3人分と子ども5人分が等しい」より、A×3=B×5の関係が成り立ちます。

  1. 上の関係から、逆比を求めて、A:B=1/3:1/5=5:3より、大人1人とこども1人の入館料の比は、5:3です。
  2. 大人1人の入館料を5、子ども1人の入館料を3として、大人2人と子ども3人の入館料の合計を計算すると、5×2+3×3=19となります。実際金額は、3000-340=2660円ですから、2660÷19=140円が比の1つ分となります。よって、140×3=420より、子ども1人の入館料は、420円です。
【攻略ポイント2】

「基本問題第3回[平面図形と比(1)]2」は、平行線の間にある図形(三角形、平行四辺形、台形)の面積と辺の長さの関係を考える問題です。平行線の間の長さは、どこでも等しいことから、間にある図形の高さはすべて等しいことを利用します。

  1. 高さの等しい三角形アと台形ウの面積比が2:3ですから、三角形アの底辺と台形ウの(上底+下底)の長さの比も2:3です。よって、2:3=x:(3+9)となりますので、この比例式を解いて、x=2×12÷3=8より、x=8cmです。
  2. 平行四辺形イは、対角線によって、面積の等しい2つの三角形に分かれますので、底辺5cmの三角形2つ分の面積と考えることができます。よって、三角形アと平行四辺形イの面積比は、三角形アの底辺と平行四辺形の底辺2つ分の長さの比と同じになります。つまり、三角形アと平行四辺形イの面積比は、8:(5×2)=4:5です。よって、三角形アの面積を□平方cmとして、4:5=□:35となりますので、この比例式を解いて、□=4×35÷5=28より、三角形アの面積は28平方cmです。

「基本問題第4回[平面図形と比(2)]3」は、何組かの相似な三角形の入った図形について考える問題です。
ABとPQとCDが平行ですから、三角形ABDと三角形PQD、三角形BCDと三角形BPQ、三角形ABPと三角形DCPは、それぞれ相似な三角形です。この3組の相似の中から、質問に合う相似を選択して、問題を解いていきます。

  1. 辺APと辺PDを使った、相似な三角形は、三角形ABPと三角形DCPです。相似な三角形では、相似比(=対応する辺の長さの比)はどこも等しいですから、AP:PD=AB:DC=10:15=2:3となります。よって、AP:PD=2:3です。
  2. 辺PQを使った三角形は、三角形BPQあるいは三角形PQDがあります。ここでは、三角形PQDに注目します。三角形ABDと三角形PQDが相似な三角形ですから、AB:PQ=AD:PDです。(1)のAP:PD=2:3より、AD:PD=(2+3):3=5:3となりますので、AB:PQ=AD:PD=5:3とわかります。よって、AD=10cmより、5:3=10:PQとなります。この比例式を解いて、PQ=3×10÷5=6より、PQ=6cmです。

総合回をよい機会として、弱点を無くしていきましょう。

<算数 5年下 第6回>

第6回は『速さと比(1)』です。速さの基本公式 [速度×時間=距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか1つが一定ならば他の2つは比例か反比例になります。
整頓しておきます。

  • (ア)速度が一定のときは、時間と距離は比例します(時間比と距離比は等しくなります)。
  • (イ)時間が一定のときは、速度と距離は比例します(速度比と距離比は等しくなります)。
  • (ウ)距離が一定のときは、速度と時間は反比例します(速度比と時間比は逆比になります)。

このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。なお、メルマガでは分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、速度が一定の問題です。
AB間の距離16kmとBC間の距離12kmが与えられています。速度が一定ですから、距離比=時間比となります。距離比がAB:BC=16:12=4:3より、時間比もAB:BC=4:3となります。AB間を36分で進みましたので、36÷4×(4+3)=63より、太郎君がC地に着くのは、63分後、つまり、1時間3分後です。

「必修例題2」は、時間が一定の問題です。

  1. 姉が100mを走った時間で、姉はもちろん100m進み、そのとき、妹は100-20=80m進んでいます。時間が一定ですから、速度比=距離比となります。よって、100:80=5:4より、姉と妹の走る速さの比は、5:4です。
  2. 妹が100mを走る時間で、距離比は、姉:妹=5:4ですから、100÷4×5=125より、姉は125mを走れば、妹と同時にゴールすることになります。よって、125-100=25より、姉のスタート地点を、25m後ろに下げればよいことになります。

「必修例題3」は、(家から駅までの)距離が変わらない(一定の)問題です。
毎分90mの速さで歩くとき(ア)と、毎分60mの速さで歩くとき(イ)を考えますと、家から駅まで一定の距離を進むのにかかる時間の比は、速度比の逆比になります。よって、時間比は、ア:イ=1/90:1/60=2:3になります。この時間について、電車の発車時刻の7分前と3分後では、7+3=10分の差となります。時間比ア:イ=2:3の差が10分ですから、10÷(3-2)×2=20より、アの速さで歩くときにかかる時間は20分です。よって、9時に家を出て、駅まで20分かかり、駅に着いた時刻の7分後が電車の発車時刻になりますので、9時+20分+7分=9時27分が、電車の発車時刻とわかります。

「必修例題4」も、(登山口から山頂までの)距離が一定の問題です。
上りと下りの速度比は、1:1.5=2:3です。距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比となりますので、上りと下りの時間比は、1/2:1/3=3:2となります。山頂で50分休みましたので、上りと下りにかかった時間の合計は、11時20分-7時-50分=3時間30分=210分です。よって、210÷(3+2)×2=84より、下りにかかった時間は84分=1時間24分です。登山口到着の1時間24分前に山頂を出発したことになりますので、11時20分-1時間24分=9時56分より、山頂を出発した時刻は9時56分です。時刻のひき算にも十分に注意しましょう。

【攻略ポイント2】

問題文より、速度・時間・距離の3要素のうちの、何が一定かを読み取り、残りの2要素の関係が、比例か反比例かを考えて問題を解きます。

「必修例題5」は、距離の比と速度(比を利用してもよい)を使って時間比を求める問題です。このように、距離比÷速度比=時間比など、比の積や商を考える問題も重要です。

  1. 歩いた距離と走った距離の比は、歩き:走り=2/3:(1-2/3)=2:1です。時間(比)=距離(比)÷速度(比)ですから、時間比は、距離比の数を速度で割って求めます。2/60:1/150=5:1より、歩いた時間と走った時間の比は、5:1です。
  2. 家から駅まで行くのにかかった時間は18分です。よって、18分を、5:1に比例配分し、走った時間を表す1を求めます。18÷(5+1)×1=3より、走った時間は3分となります。毎分150m×3分=450mが、走った距離です。歩いた距離と走った距離の比が、歩き:走り=2:1となることを利用して、450÷1×(2+1)=1350より、家から駅までの距離は、1350mです。

「必修例題6」は、距離一定の問題です。
家から図書館までの距離は一定です。このとき、速度比と時間比は、逆比になります。時間比は、歩き:走り=45:20=9:4ですので、速度比は、歩き:走り=1/9:1/4=4:9となります。歩きの速度を4として、時間は45分かかりますので、家から図書館までの距離を、4×45=180とします。ここで、走る速度を9とし、歩く速度を4として合わせて30分で、180の距離を進むことを考えますと、つるかめ算を利用することができます。よって、(180-4×30)÷(9-4)=12より、走る時間は12分です。

「必修例題7」は、比を利用して平均速度を求める問題です。

  1. 距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比になります。時間比は、行き:帰り=1/4:1/12=3:1となります。行きの時速4kmに時間の3をかけて、距離を4×3=12とします。平均速度=距離合計÷時間合計ですから、12×2÷(3+1)=6より、平均速度は、時速6kmです。「平均だから(4+12)÷2」とはなりませんので注意してください。
  2. AB間にかかる時間とBC間にかかる時間の比は、距離(比)÷速度(比)=時間(比)の関係より、AB:BC=2/36:3/90=5:3です。よって、距離合計=36×5+90×3=450で、時間合計=5+3=8となりますので、450÷8=56.25より、平均速度は、分速56.25mです。

必修例題6や7のように、比の積や商を利用した場合でも、一部に実際数量(速度の数値)を使っているときの計算であれば、結果として実際数量を求めることができます。

<算数 4年下 第5回>

第5回は『総合(第1回~第4回)』です。基本問題は、以前にお話しした基本ポイントの確認になります。正解とならなかった問題は、各回の該当の内容にもどって解き直しをしましょう。

【攻略ポイント1】

「基本問題第1回[約数と公約数]3」は、約数の文章題です。
たて18cm、横25.2cmの長方形の紙を、同じ大きさのできるだけ大きな正方形に切り分けます。

  1. 切り分けられた正方形の1辺の長さを□cmとすると、18÷□=○、25.2÷□=△と、割り切れることになりますので、□は、18と25.2の公約数です。できるだけ大きな公約数を考えますので、最大公約数ということになります。ただし、公約数は整数の数の問題ですから、長さの単位をcmからmmに直して、整数にして考えることに注意してください。つまり、18cm=180mm、25.2cm=252mmにかえて、180と252の最大公約数を求めます。最大公約数は36です。よって、36mm=3.6cmより、正方形の1辺の長さは、3.6cmです。
  2. Mmの単位で進めます。たては、180÷36=5まい、横は、252÷36=7まいに分けられますから、5×7=35より、全部で35まいに切り分けられます。

「基本問題第2回[倍数と公倍数]3」は、倍数の文章題です。1から200までの整数の中のいろいろな倍数を考えます。

  1. 4の倍数は、1から数えて、4つ目ごとにありますから、4つずつ組に分けると、各組に1個ずつあります。よって、4で割ることになります。200÷4=50より、200までの整数の中に4の倍数は、50個あります。
  2. 4の倍数であり、6の倍数でもある整数は、4と6の公倍数です。公倍数は、最小公倍数の倍数になることに注目しましょう。よって、4と6の最小公倍数は12ですから、12の倍数が何個あるかを考えます。(1)と同様に、200を12で割ります。200÷12=16あまり8より、200まで整数の中で、あてはまる整数は、16個あります。
  3. 4の倍数であり、6の倍数ではない整数とは、4の倍数のうち、4と6の公倍数はのぞいた数ということになります。よって、(1)の50個から、(2)の16個をのぞきます。50-16=34より、200までの整数の中で、あてはまる整数は、34個あります。解き方が曖昧になってしまっている場合は、予習シリーズ18ページの解説の図をよく見直しましょう。
【攻略ポイント2】

「基本問題第3回[条件整理と推理]2」は、覆面(ふくめん)算といわれる問題で、それぞれの文字にあてはまる数を求める問題です。 A×E=A、C+D=Cの式に注目します。A×E=Aより、E=1とわかります。また、C+D=Cより、D=0 とわかります。B×B=Fより、2×2=4、または、3×3=9ですが、ここでは、9は使えませんので、B=2、F=4と決まります。ここまでで、D=0、E=1、B=2、F=4とわかりましたので、残りは3と5です。B+E=Aにおいて、2+1=3より、A=3と決まりますから、C=5となります。

【攻略ポイント3】

「基本問題第4回[円(1)]3」は、円の内部に正五角形と正方形の入った図形で、角度を求める問題です。
まず、正五角形の1つの内角の角度を求めます。予習シリーズ34ページ応用例題1の解き方を参照してください。円の中心をOとして、正五角形のそれぞれの頂点と円の中心Oを結びますと、5つの二等辺三角形ができます。二等辺三角形の角のうち、円の中心にできる角は、360÷5=72°です。よって、角OCB=(180-72)÷2=54°で、角OCDも同じく54°です。したがって、正五角形の内角1つ角BCDの大きさは54×2=108°となります。

  1. 角BCG=角BCD-角GCDですから、108-90=18より、角BCG=18°です。
  2. 正五角形と正方形の1辺の長さは、等しいので、DE=DFより、三角形DEFは二等辺三角形です。角EDFは、(1)と同様に18°となっていますので、角DEF=(180-18)÷2=81°になります。角AEF=角AED-角DEFで、角AEDは、正五角形の内角の1つですから、108-81=27より、角AEF=27°です。

総合回をよい機会として、弱点を無くしていきましょう。

<算数 4年下 第6回>

第6回は『分配算』です。分配算とは、2つや3つの量の間で、1つの量の○倍,△倍という関係と、合計(和)や差が与えられている場合に、それぞれの実際数量を求める問題です。線分図を書いて、関係を目に見える形にすることが大切になります。予習シリーズのそれぞれの解き方にある線分図を参照してください。
なお、文字化けする可能性がありますので、○に数字を入れた表示は、マル1、マル2などのように表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、和がわかっている問題です。予習シリーズ45ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 赤い金魚が白い金魚の3倍いて、合わせて20匹います。白い金魚の数をマル1(もとにする量と考える)とすると、赤い金魚は3倍のマル3となります。合計でマル4が、20匹ですので、20÷4=5より、マル1、つまり白い金魚は、5匹です。
  2. 妹の出したお金をマル1とすると、姉の出したお金は、妹の2倍であるマル2より80円多くなり、マル2+80円と表されます。2人の出したお金の合計は、マル3+80円で、これが500円ということになります。500-80=420円がマル3ですから、420÷3=140より、マル1、つまり妹の出したお金は140円です。

線分図で表すと、マルの数字は、線上の目盛りと考えればよいことになります。

「必修例題2」は、父と子の年令の差が与えられた問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
子の年令をマル1とすると、父の年令はマル4と表すことができます。差のマル3が、2人の年令の差の24才です。24÷3=8より、マル1は8才です。よって、8×4=32より、父の年令は32才とわかります。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、兄と弟の持っているお金から同じ金額ずつ減った場合の問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
同じ数量が増えたり、減ったりする場合には、もともとの量の差は変わらないことに注目します。
兄の800円と弟の350円の差は、2人が同じ金額を出し合ったあとも変わりません。弟の残りの金額をマル1とすると、兄の残りの金額はマル4と表すことができ、その差であるマル3は、もともとの金額の差を表しています。(800-350)÷(4-1)=150より、マル1、つまり弟の残りの金額は150円です。弟ははじめに350円もっていましたから、350-150=200円をプレゼントの代金として出したことになります。2人が同じ金額を出しましたので、200×2=400より、プレゼントの代金は、400円です。最後に、数値を2倍することを忘れないようにしてください。

【攻略ポイント3】

3つの量についての分配算を学習します。基本的には、2つの量と同様ですが、倍の関係や、増加分・減少分が加わって、複雑になります。やはり、線分図に整頓することを心がけましょう。

「必修例題4」は、三角形の角度を考えた分配算の問題です。予習シリーズ47ページの解き方にある線分図を参照してください。
角Aの大きさをマル1とすると、角Bの大きさはマル2と表すことができます。また、角Cの大きさは、角Bの大きさより20度小さいので、マル2-20度と表すことができます。ここで、問題文には出ていない条件である、三角形の内角の和は180度であることを使います。角A、B、Cの大きさの合計は、マル1+マル2+マル2-20度=マル5-20度となり、これが180度です。よって、(180+20)÷5=40より、マル1、つまり角Aの大きさは40度です。

「必修例題5」は、やりとり算といわれる問題で、ここでは、3人の間でカードのやりとりを行います。やりとりがあっても、3人の持っているカードの合計まい数は、いつも変わらないことに注目します。
はじめにカードは合計48まいありましたが、やりとり後に持っているまい数は、3人とも等しくなりましたので、ひとり分は、48÷3=16まいずつです。はじめにBが持っているカードのまい数を□まいとします。BはAから5まいもらい、Cに12まいわたして、結果として16まいになっています。式に整頓すると、□+5-12=16となります。よって、□=16+12-5=23より、はじめにBが持っていたカードは23まいです。

分配算では、線分図に整頓することが大切です。複雑な線分図もかけるように、やさしい内容のときに、トレーニングしておきましょう。

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