鉄人の一通入魂メールマガジン Mail magazine

ホーム鉄人の一通入魂メールマガジンSAPIXで勝つ方法予想問題付き!サピックス5年生12月21日(金)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

予想問題付き!サピックス5年生12月21日(金)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

今回のマンスリーテストは、「和と差に関する問題」「仕事算・倍数算・相当算・和と差に関する問題の復習」「平面図形(1)(2)(3)」といった重要単元がテスト範囲になることが予想されます。
いずれも入試で頻出の単元で、特に平面図形は「相似」という難敵が登場します。この難敵を攻略して、得意分野とするためにも、今の時期から基本を固めておくことがとても大事になります。
そこで今回は、12月度マンスリーテスト対策について、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、第5位から第1位までのランキングのかたちでご紹介します。このランキングを参考に重要単元の理解をしっかり固めて、ぜひ万全の構えでマンスリーテストに臨んでください!

また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は12/14(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

予想問題をアップするページはこちらです。ぜひ、ブックマークをしておいてください!

それではランキングの発表です。まずは第5位からです!

【第5位 和と差に関する問題(過不足算):長いす型の問題に対応できていますか?】

過不足算とは、例えば「子どもたちにバナナを1人5本ずつ配ると10本余り、1人に8本ずつ配るには3本足りなくなります。このとき、バナナは全部で何本ありますか」といったタイプの問題です。上記のような問題であれば、基本的な考え方で対応できるのですが、難しいのが「長いす型」の問題です。例えば次のような問題です。

「ある学年の生徒を、何脚かの長いすに同じ人数ずつ座らせていきます。1脚に6人ずつ座せていくと20人が座れなくなり、1脚に8人ずつ座らせていくと、生徒が座る最後の長いすにはちょうど8人が座り、長いすが2脚余りました。この学年の生徒は何人ですか」

この長いすのパターンになると、「余る」「座らない」という言葉の意味が急にわからなくなってしまうことが多いのです。そんな時に、図をかくことで状況が的確にイメージすることができます。
図のかき方ですが、まずお子さんには綿密な図ではなく、ラフでもよいので見やすくかくことを伝えてください。長いすも、いすのかたちを詳しくかく必要も時間もありません。簡単な長方形で構いません。長方形を並べて、横に6人とかきます。いすの数がわかりませんので、途中に「…」をはさんで、最後の長いすをかいた余白に座れなかった人数20人をかき込んでおきます。その下に同じく長方形を並べて8人とかきます。やはり途中に「…」をはさんで、8人ずつの方の最後の3脚について、8人、0人、0人とかきます。これで、長いすの数は同じにして座る人数を変えることで、何人の差が生まれたのかが視覚的にわかるようになり、式を立てられるようになります。1脚に6人ずつ座らせた場合は20人があまり、1脚に8人ずつ座らせた場合は、長いすをうめるのに8×2=16人分、足りなくなります。ここで2つの場合の差が20+16=36(人)と求められます。それは長いすに座らせる人数が1脚につき8-6=2(人)あるために生じたものなので、長いすの数が36÷2=18(脚)と求められます。あとはよりやりやすい式を使って、6×18+20=128(人)として答えに行きつけます。
式や言葉ではなかなかイメージができない問題が、図をかくことで一気に状況が把握できるようになる例のひとつです。

【第4位 和と差に関する問題(個数を逆に買う):面積図を使った解き方があります!】

次のようなタイプの問題には、どのように対応すればよいでしょうか。

「1本30円の鉛筆と、1本90円のボールペンを何本か買う予定で、おつりが出ないように1200円を用意していましたが、うっかりして鉛筆とボールペンの本数を反対に注文したので、240円足りなくなってしまいました。買う予定だったボールペンは何本ですか」

大人の感覚であれば、逆にした結果、金額が足りなくなってしまったので、予定では単価が安い方の鉛筆を多く買うつもりであったことがすぐにわかりますが、小学生にとっては、その点がなかなかイメージしづらいのです。
ここで、面積図を使った方法をご紹介します。この問題では、鉛筆の単価が1本30円、ボールペンの単価が1本90円、合計金額が1200円というところまではわかっていますので、「鉛筆とボールペンの本数の合計」がわかれば、あとはつるかめ算で解くことができる、ということを前提とします。図を使って、本数の合計を導き出します。
まず縦の長さが30(円)、横の長さがA(本)の長方形と、縦が90(円)、横の長さがB(本)の長方形を並べます。この図形全体の面積が、はじめに予定していた金額である1200(円)になります。次に、縦の長さが30(円)、横の長さがB(本)の長方形と、縦の長さが90(円)、横の長さがA(本)の長方形を横に並べます。この図形全体の面積が、個数を逆にした場合の金額ですので、面積は1200+240=1440(円)になります。
そこで後にできた図形を上下さかさまにして、はじめの図形の上にくっつけます。すると縦の長さが30+90=120(円)、横の長さがA+B(本)、面積が1200+1440=2640(円)の大きな長方形ができあがります。ここから横の長さであるA+Bの値が、2640÷120=22(本)であることがわかります。あとは、つるかめ算の解き方で、(1200-30×22)÷(90-30)=9より、求めるボールペンの本数が9本となります。
図をかく手間がかかるように思われるかもしれませんが、本数が入れ替わるということのイメージが固まらないうちは、このような視覚的な効果のある方法が有効になることがあります。ぜひ試してみてください。

【第3位 縮尺:面積の単位変換はスムーズにできていますか?】

「縮尺1/1500の地図上で面積が48平方cmの土地の実際の広さは何a(アール)ですか」

といった問題です。このタイプの問題では数が大きくなりますので、分数式をうまく活用しましょう。また、面積の単位について、a(アール)やha(ヘクタール)が何平方cmになるのかがテストの際にすぐに出せるように、改めて確認しておきましょう。
大前提として、縮尺の問題で長さに関するものの場合は、縮尺を1度かければよいですが、面積の問題では、縮尺を2度かけ合わせることに注意が必要になります。
上記の問題では、まず48平方cmを単位はそのままに、実際の面積とするために、縮尺の1500を2回かけ合せます。式にすると、48×1500×1500となりますが、ここですぐに計算をしてしまわないように気をつけてください。とても大きな数になることで、0(ゼロ)の数を書き間違えてしまうなどのミスが起こる可能性が高くなってしまいます。何より、この後に平方cmからaへと単位を換える計算がありますので、式はそのままにして続けましょう。ここで、面積の単位換算について整理しておきましょう。この問題では平方cmからaへと単位が換わりますが、まずは、平方m→a→ha→平方kmの換算を確実にできるようにしておくことが必要です。
より確実に換算方法を覚えるために、正方形の面積を使うことが有効になります。平方mは、もちろん1辺が1mの正方形の面積です。そしてaは、1辺が10mの正方形の面積ですので、10×10=100(平方m)となります。そして、haは1辺が100mの正方形の面積で、100×100=10000(平方m)、1平方kmは1辺が1kmつまり1000mの正方形で、1000×1000=1000000(平方m)となります。ゼロの数が大きくなりますので、1ha=10000平方mと覚えるよりも、100×100と覚えておく方が楽になるでしょう。平方m→a→ha→平方kmの換算は、1辺が1m→10m→100m→1000mの正方形、としておくと、記憶が定着しやすくなります。
問題に戻ります。平方cmからaに単位を換えるためには、100×100で平方cm→平方m、上記より10×10で平方m→aとなりますので、結果的に、100を3回かけ合せたもので割り算をすることになります。すべてを式で表すと、48×1500×1500÷(100×100×100)となりますが、式のままで解くよりも、分子式にして方が間違いを防ぐことができます。分子に48×1500×1500、分母に100×100×100をおくと、0(ゼロ)を一気に消すことができるためです。結果、分子に48×15×15が、分母に100が残りますが、さらに15と100をそれぞれ5で割ることで、48×3×3を4で割るという式だけになり、12×3×3=108a(アール)という答えに至ることができるのです。
分数式にすることで、できるだけ0(ゼロ)を消すことに気をつけましょう。

【第2位 平面図形(相似①):対応する辺を見つけるために角度を有効活用できていますか?】

相似の基本である三角形を底辺に平行な直線で分割するようなかたちや、大きさの異なる相似な三角形を、逆さの状態にして頂点でつなげる砂時計のようなかたちがまず初めに扱われます。相似の解き方の基本である「対応する辺を見つける作業」を、このかたちで練習しましょう。辺の長さが与えられている方の三角形から辺の長さの比を出して、それをもう一方の辺に書き込むことで解きやすくなります。このシンプルなかたちで相似の基本をまず徹底的に固めてください。
間違いやすいパターンは直角三角形の中に垂線を引いて、相似の直角三角形がつくられるようなタイプの問題です。実際に問題を挙げてみましょう。メルマガでは図がかけませんので、この後の文章をもとに、ぜひ図をかいてみてください。

「三角形ABCは角Aが90度で、辺ABの長さが28cm、辺BCの長さが35cm、辺CAの長さが21cmの直角三角形です。点Aから向かい合う辺BCに垂直な線を引き、辺BCとの交点を点Dとします。このときCDの長さは何cmになるでしょうか」

図はかけましたでしょうか。まずCDの長さを求めるにはCDを含む三角形DACを使うことが大前提となります。あとは三角形DACの辺の長さの比がわかれば一気に解決です。この問題のように、三角形の中に、向きが異なる相似な三角形が含まれるような場合、対応する辺を間違えてしまうことがよくあります。視点の切り替えが難しいこともあるのでしょう。そんなときには、角度を活用すると効果的です。
今回の問題であれば、まず角ABCを○、角ACBを●とします。すると各BADは90-○より●となります。ここで隣り合う角CADは90-●より○となり、これで三角形DACを構成する角度がすべてわかります。それを三角形ABCと比べてみましょう。角度の位置関係を使うと、三角形ABCと三角形DACにおいてAB:BC:CA=DA:AC:CD=4:5:3とわかります。そこからCDの長さを21×3/5=12.6(cm)と導くことができます。ぜひ角度を活用する方法を覚えておいてください。

【第1位 平面図形(相似②):相似と面積比の関係は理解できていますか?】

まず、相似の関係にある図形において、相似比(対応する辺の長さの比)がa:bであれば、面積比はa×a:b×bとなることは必須ですので、忘れないようにしてください。ここでも例題を挙げますので、実際に図をかいてみてください。

「三角形ABCに、辺BCと平行な直線DEとFGを、AD:DF:FB=1:3:5となるようにひきます。このとき、四角形DFGEと台形FBCGの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい」

三角形の内部に2本の直線が引かれた、ピラミッドのような図がかけましたでしょうか。ポイントがいくつかあります。まずAD:DF:FB=1:3:5だからといって、三角形ADEの面積:台形DFGEの面積:台形FBCGの面積=1×1:3×3:5×5と早とちりしないことです。相似比をかけ合せて面積比になるのは相似の関係にある図形に限られます。
次に、三角形ADEの面積:三角形AFGの面積:三角形ABCの面積=(3×3):(4×4):(9×9)となりますが、1+3=4と1+3+5=9といった比の和を用いることができるかどうか、ということにも注意してください。
そして最後に、面積を出すのは公式だけではなく、大きさのわかっている図形どうしをひき算するという方法も使えるということです。今回の問題であれば四角形DFGE、四角形FBCGがともに台形になることから、見た瞬間に、(上底+下底)×高さ÷2、といった面積の公式にあてはめようとしないこと、という意味です。上底も下底も比はわかりますが長さまでは分かっていません。
四角形DFGEの面積は三角形AFG-三角形ADEより、(4×4)-(1×1)=15、四角形FBCGの面積は三角形ABC-三角形AFGより、(9×9)-(4×4)=65とすることができます。よって四角形DFGEの面積:四角形FBCGの面積=15:65=3:13と出すことができるのです。
面積をひき算から求める、という考え方はこれからも頻出になりますので、しっかり覚えておいてください。

次のような問題も、相似と面積比の関係を用いて解き進めることになります。
次のような図をかいてみてください。

  • 正三角形をかく。
  • 真正面から見て正三角形の右下の頂点を中心に、底辺にあたる辺を半径とし、中心角が60度の外角にあたる120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Aとする)。
  • 真正面から見て上にある頂点を中心に、右にある辺と上でかいたおうぎ形の半径を合わせた長さを半径とし、中心角120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Bとする)。
  • 真正面から見て正三角形の右下の頂点を中心に、左にある辺と上でかいたおうぎ形の半径を合わせた長さを半径とし、中心角120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Cとする)。

以上になります。
3種類の半径からなる3つのおうぎ形A、B、Cが正三角形を取り囲むようなかたちになりましたでしょうか。ここから以下の問題です。

「正三角形の1辺の長さを9cmとしたときに、3つのおうぎ形A、B、Cの面積の合計は何平方cmですか。円周率は22/7とします。」

まず、この問題のように、必ずしも円周率が3.14ではないものもあります。最後まで注意深く問題を読むようにしましょう。
ここで、おうぎ形の半径はAが9cm、Bが18cm、Cが27cmとわかっていますので、それぞれのおうぎ形の面積をAは9×9×22/7×120/360、Bは18×18×22/7×120/360、Cは27×27×22/7×120/360の式から計算で出すことができます。ただ、「×22/7×120/360」で式をまとめたとしても、9×9、18×18、27×27という数値の大きな計算が残ってしまいます。正解率を上げるうえでも、何とか工夫をしたいところです。
そこで相似の関係にある図形の面積比を利用するのです。おうぎ形Aとおうぎ形B、おうぎ形Cはすべて中心角が120度ですから、もちろん相似の関係にあり、相似比(長さの比)は、9:18:27=1:2:3とわかっています。ここから面積比が(1×1):(2×2):(3×3)=1:4:9となり、おうぎ形Aの面積を(1+4+9)倍すれば、面積の合計が求められますので、以下のような式になります。
9×9×22/7×120/360×(1+4+9)=27×22/7×14=1188(平方cm)
計算の間違いをなくすため、より正解する確率を上げるためにも、解き方の工夫は常に意識するようにしましょう。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

メールマガジン登録は無料です!

頑張っている中学受験生のみなさんが、志望中学に合格することだけを考えて、一通一通、魂を込めて書いています。ぜひご登録ください!メールアドレスの入力のみで無料でご登録頂けます!

各種予想問題に取り組むことで更に合格へ近づきましょう!

ページのトップへ