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＜算数　5年生　第15回＞

　第15回のテーマは「速さ　図形上の点の移動」です。今回は図形上を点が動くときにできる図形について考えていきます。点が動いていくため、状況は刻々と変わります。そのため図を書いて考えることがとても重要です。

　ここでは「点が動いた時間とできる図形の関係をグラフにすること」「グラフで表された情報と図を結びつけ、未知の情報を導き出していくこと」が目標となります。

　変化するものを考えることはこれまでも扱ってきましたが、図形が関係してくるとさらに複雑さは増します。入試にも必ず出題される単元のため、図形が変化する様子を書きながら考えていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では図形上の点の移動について考えます。344ページの「やってみよう！」を使って説明します。1辺が3cmの正方形の辺上を点Ｐは毎秒1cm、点Ｑは毎秒2cmの速さで図の向きに動き続けます。ここではＢ、Ｐ、Ｑを線で結んだものがどのように変化するのかを考えていきます。345ページを使って、1秒ごとに図を書いてみましょう。

●1秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃに向かう途中の頂点Ｂから1cmのところにあります。
点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａに向かう途中の頂点Ｂから2cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●2秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃに向かう途中の頂点Ｂから2cmのところにあります。
点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ａから1cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●3秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃに向かう途中の頂点Ｂから3cmのところ（頂点Ｃ上）にあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ａから3cmのところ（頂点Ｄ上）にあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●4秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ｃから1cmのところにあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄを通って頂点Ｃに向かう途中の頂点Ｄから2cmのところにあります。つまり、点Ｐ、Ｑは同じ位置にあります。したがって、Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと直線ができます。

●5秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ｃから2cmのところにあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄ、Ｃを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ｃから1cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●6秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ｃから3cmのところ（頂点Ｄ上）にあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄ、Ｃを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ｃから3cmのところ（頂点Ｂ上）にあります。頂点Ｂと点Ｑが重なるため、Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと直線ができます。これで点Ｑは正方形を1周したことになります。

●7秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄを通って頂点Ａに向かう途中の頂点Ｄから1cmのところにあります。点Ｑは1周したため、1秒後から6秒後までの動きを繰り返します。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａに向かう途中の頂点Ｂから2cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●8秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄを通って頂点Ａに向かう途中の頂点Ｄから2cmのところにあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ａから1cmのところにあります。つまり、点Ｐ、Ｑは同じ位置にあります。したがって、Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと直線ができます。

●9秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄを通って頂点Ａに向かう途中の頂点Ｄから3cmのところ（頂点Ａ上）にあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａを通って頂点Ｄに向かう途中の頂点Ａから3cmのところ（頂点Ｄ上）にあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

※あと3つの図を書くと点Ｐ、Ｑが同時にもとの位置（頂点Ｂ）にもどります。テキストの余白に書いていきましょう！

●10秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄ、Ａを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ａから1cmのところにあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄを通って頂点Ｃに向かう途中の頂点Ｄから2cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●11秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄ、Ａを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ａから2cmのところにあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄ、Ｃを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ｃから1cmのところにあります。Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと三角形ができます。

●12秒後

点Ｐは頂点Ｂから頂点Ｃ、Ｄ、Ａを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ｂから3cmのところ（頂点Ｂ上）にあります。点Ｑは頂点Ｂから頂点Ａ、Ｄ、Ｃを通って頂点Ｂに向かう途中の頂点Ｃから3cmのところ（頂点Ｂ上）にあります。頂点Ｂと点Ｐと点Ｑが重なるため、Ｂ、Ｐ、Ｑを線で結ぶと点ができます。これで、点Ｐは正方形を1周、点Ｑは正方形を2周したことになり、初めと同じ状態にもどります。

　「学び2」では図をグラフにします。1つの点が動いた時間とそれによってできる図形の面積の関係をグラフにしていきます。

　346ページから347ページにある【状況】を使って説明します。1辺が3cmの正方形の辺上を点Ｐが毎秒1cmで辺上をＢ→Ｃ→Ｄ→Ａの順にＡまで動いたときの三角形ＡＢＰの面積を求めていきます。346ページ中段から347ページ上段の図を参考にしていきましょう。

　点Ｐが動き始めてから1秒後は、点Ｐは頂点Ｂから1cmのところにあります。したがって、三角形ＡＢＰの面積は1×3÷2＝1.5㎠となります。

　2秒後以降も、三角形ＡＢＰの底辺と高さを見つけて計算してみましょう。点が動いた時間とそれによってできる図形の面積の関係を考えるときには、動く点が図形の頂点と重なるときが重要です。

　あらためて346ページの図で調べてみましょう。点Ｐが頂点Ｂをスタートしてから頂点Ｃと重なるまでは、三角形ＡＢＰの面積は1秒後の面積を基準にすると2秒後には2倍の3㎠、3秒後には3倍の4.5㎠になっています。点Ｐが動いた時間と三角形ＡＢＰの面積は比例しています。

　次に点Ｐが頂点Ｃから頂点Ｄに移動するとき（3秒後から6秒後まで）を考えます。この場面では三角形ＡＢＰの底辺を辺ＡＢとすると、高さは3cmで変わりません。したがって、三角形ＡＢＰの面積は3×3÷2＝4.5㎠で一定です。

　次に点Ｐが頂点Ｄから頂点Ａに移動するとき（6秒後から9秒後まで）を考えます。点Ｐが頂点Ｄをスタートしてから頂点Ａと重なるまでは、三角形ＡＢＰの面積は6秒後には4.5㎠、7秒後には3㎠、8秒後には1.5㎠、9秒後には0（ゼロ）㎠と規則正しく減っていくことがわかります。

　それでは、【状況】の結果をふまえて、347ページの「やってみよう！」でグラフを完成させてみましょう。

　「学び3」ではグラフで表された情報と図を結びつけていきます。点が動いた時間とそれによってできる図形の面積の関係を考えるときには、動く点が図形の頂点と重なるときが重要です。グラフの様子が変化したところが、動く点が図形の頂点と重なったときと考えてよいでしょう。

　348ページにある【状況】を使って説明します。グラフは長方形ＡＢＣＤの辺上を点Ｐが一定の速さでＢ→Ｃ→Ｄ→Ａの順にＡまで動いたときの頂点Ｂを出発してからの時間と三角形ＡＢＰの面積の関係を示しています。グラフと図を結びつけていきましょう。

　348ページの中段のグラフと図を見てみましょう。グラフは面積が0（ゼロ）から始まります。これは点Ｐが頂点Ｂにあるときです。このあと、グラフは右上がりの直線となり、だんだんと三角形ＡＢＰの面積が増えていくことがわかります。

　図で確認をすると、点Ｐを頂点Ｃに向かって動かしてみると三角形ＡＢＰの面積はだんだんと増えていきます。このあとグラフは水平な直線となり、一定時間、三角形ＡＢＰの面積は変わりません。図で確認をすると、点Ｐを頂点Ｃから頂点Ｄ向かって動かしてみると三角形ＡＢＰの面積は変わらないことがわかります。

　ここで重要なのはグラフの様子がはじめに変化するところ（右上がりの直線から水平な直線に移り変わる曲がり角）が点Ｐが頂点Ｃに重なったときということです。

　また、次にグラフの様子が変化するところ（水平な直線から右下がりの直線に移り変わる曲がり角）が点Ｐが頂点Ｄに重なったときです。このように、グラフの様子が変化するところは、点Ｐが頂点と重なるときです。

　最後にグラフは右下がりの直線となり、だんだんと三角形ＡＢＰの面積が減っていくことがわかります。図で確認をすると、点Ｐを頂点Ｄから頂点Ａに向かって動かしてみると三角形ＡＢＰの面積はだんだんと減っていき、点Ｐが頂点Ａに重なると0（ゼロ）㎠となります。349ページの「感じよう」も参考にしてください。

　「学び4」のタイトルは「点の移動と多様性」です。「学び3」では、グラフで表された情報と図を結びつけました。ここではグラフを活用して、未知の情報を導き出していきます。

　350ページにある【状況】を使って説明します。点Ｐが長方形ＡＢＣＤの辺上を毎秒1cmの速さでＢ→Ｃ→Ｄ→Ａの順にＡまで動いていきます。グラフは点Ｐが頂点Ｂを出発してからの時間と三角形ＡＢＰの面積の関係を示しています。

　グラフの12秒後は三角形ＡＢＰの面積が60㎠となっています。このとき、点Ｐは頂点Ｃと重なっています。点Ｐの速さは毎秒1cmのため、辺ＢＣの長さは12cmとなります。このとき三角形ＡＢＰは直角三角形となることから、面積は12×10÷2＝60㎠となります。

　また、点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき三角形ＡＢＰの面積は点Ｐが動いた時間に比例します。12秒で三角形ＡＢＰの面積は60㎠増えることから、1秒あたり60÷12＝5㎠増えることがわかります。

　ここで、三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるときを考えてみましょう。三角形ＡＢＰの面積は1秒あたり5㎠増えることから、三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるのは、40÷5＝8秒後となります。

　さらに三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるのはもう1回あります。グラフを使って、面積が40㎠になるときを探してみましょう。グラフで面積が40㎠のところにグラフの横軸に平行な線を引きます。するとグラフとの交点が2つできます。

　1つは、1回目に三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるときで8秒後です。速さが毎秒1cmで一定なため、2回目に三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるのは点Ｐが頂点Ａと重なる34秒後の8秒前となります。したがって、2回目に三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるのは、34－8＝26秒後となります。

　このように、グラフと図を連携して考えると、図形の辺の長さ、動く点の速さ、特定の図形ができるまでにかかる時間などさまざまな情報を導き出すことができます。

　351ページの「やってみよう！」では三角形ＡＢＰの面積が40㎠になるときの点Ｐが頂点Ｂを出発してからの時間の求め方のヒントが3つ書かれています。ぜひ、挑戦してみましょう。

　演習としては352ページから353ページは必修です。特に353ページの問3、4では状況を把握するために図を書きながら取り組みましょう。355ページ問1②は面積の求め方を工夫しましょう。356ページの問2は351ページの「やってみよう！」を参考にしましょう。

　357ページの問4は「学び4」で学んだことを思い出しながら取り組んでみましょう。358ページの問5、359ページの問7は旅人算の考え方やグラフを使う応用問題です。このような問題は入試でもよく出題されるため練習しておきましょう。

＜算数　4年生　第15回＞

　第15回のテーマは「文章題　集合とベン図①」です。今回は「ベン図とは何かを知ること」「ベン図が書けること」「ベン図からわかることを探ること」が目標となります。

　特にベン図を使った問題を解くときには言葉に注意しましょう。「ラーメンまたはカレーが好き」「ラーメンだけが好き」などの表現は集合を学ぶときの特別な言い回しと言えるでしょう。きちんと意味を理解しながら進めましょう。

　また、ベン図は入試問題を解くときのツールにもなります。ベン図を書くことができて、使えるように十分に練習していきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」はベン図の導入です。246ページを見てみましょう。16人の子どもたちに、ある文を読んで、文の内容にあてはまる人は、丸の中に入るゲームです。読まれた文は「今、帽子をかぶっている人は、丸の中に入りましょう。」です。調べていくと、だいき、しょうた、ゆうか、れん、りく、かいと、あやの、はるかの8人が丸の中に入ります。残りの8人は丸の外です。16人の特徴に注目して他の文を考えて、実際に誰が丸の中に入るのか確かめてみましょう。

　次に247ページの「やってみよう！」を見てください。「①4年生の人」について調べてみると16人全員が丸の中に入ります。「②11月31日生まれの人」ついて調べてみると、11月31日はカレンダーには無いため丸の中に入る人はいません。「③背が高い人」については聞かれても困ります。このように今回学ぶベン図では、次のＡ～Ｄのようなことが起こります。

Ａ.丸の中に全員の中の何人かが入る
Ｂ.丸の中に全員が入る
Ｃ.丸の中に誰も入らない
Ｄ.丸の中に誰が入るのかわからない

　Ｄのような場合は前述した「③背が高い人」のようなときです。丸の中に入る、入らないを決めることができるのは、情報（背の高さ）が与えられていて、文が具体的（○cm以上、○○さんより背が高い、など）でなければなりません。

　「学び2」では集合の関係をベン図で表していきます。いくつかのものの集まりのことを集合といいます。ベン図は「全体」を表す集合は長方形で表し、「部分」を表す集合は丸で表していきます。

　248ページの真ん中にあるベン図は「学び1」の16人の子どもたちとそのうち帽子をかぶっている人の関係を表したものです。16人の子どもたちが「全体」を表していて、帽子をかぶっている人が「部分」を表しています。

　「学び1」の「やってみよう！」で書いた図と比べてみましょう。ベン図では全体も集合と捉えるため、丸の中だけではなく、丸の外（長方形）も意識して書きます。ちがう条件をつくって249ページの「やってみよう！」をやってみましょう。

　「学び3」では重なりのある集合について考えます。「部分」を表す集合が2つある場合を想定します。251ページを見てみましょう。16人の子どもたちを「帽子をかぶっている人」「メガネをかけている人」という2つの条件で考えていきます。

　251ページの中段のベン図を比べてみましょう。図1の場合「帽子をかぶっている人」「メガネをかけている人」をそれぞれの丸に名前を入れていきましょう。「帽子をかぶっている人」の丸にはだいき、しょうた、ゆうか、れん、りく、かいと、あやの、はるかの8人が丸の中に入ります。」「メガネをかけている人」の丸にはたくみ、ななこ、けんた、かいと、つばさ、はるかが入ります。すると、「かいと」と「はるか」が2人いることになります。

　図2の場合「帽子をかぶっている人」「メガネをかけている人」をそれぞれの丸に名前を入れていきますが、丸の重なっている部分には「帽子をかぶっていて、メガネをかけている人」が入ります。このように表すことで真ん中の重なっている部分には「かいと」と「はるか」が入ります。こうすることで「かいと」と「はるか」が重複することを防ぐことがでかきます。

　「学び4」では「または」と「かつ」について学びます。はじめに「または」の意味について説明します。254ページを見てみましょう。「学び1」の16人について、「帽子をかぶっている人、または、メガネをかけている人」がベン図ではどの部分にあたるのかを考えていきます。254ページの中段にあるベン図の影をつけた部分に入る人が「帽子をかぶっている人、または、メガネをかけている人」にあたる部分です。

　この部分は「帽子だけをかぶっている人（帽子をかぶっていて、メガネはかけていない人）」「帽子をかぶっていて、メガネもかけている人」「メガネだけをかけている人（メガネをかけていて、帽子はかぶっていない人）」で構成されています。「または」は「どちらか一方だけを満たしてもいいし、両方満たしてもいい」という意味です。

　次に「かつ」の意味について説明します。255ページを見てみましょう。「学び1」の16人について、「帽子をかぶっている人、かつ、メガネをかけている人」がベン図ではどの部分にあたるのかを考えていきます。255ページの中段にあるベン図の影をつけた部分に入る人が「帽子をかぶっている人、かつ、メガネをかけている人」にあたる部分です。

　この部分は「帽子をかぶっていて、メガネもかけている人」を表しています。「かつ」は「両方とも満たす」という意味です。「または」と「かつ」これらの意味を正確に理解すると、いろいろな集合の様子を捉えやすくなります。

　演習としては257ページから259ページは必修です。257ページの問1では全体の集合が何かを意識して取り組みましょう。258ページの問3はベン図の理解度が確認できる問題です。丸の重なりの部分の意味や丸の外の人数の意味など、ベン図の部分部分の意味を確認しながら取り組むとよいでしょう。

　261ページの問1は問題文の言葉に注目して解きましょう。「ラーメンだけが好き」とは、ここでは「ラーメンは好きでカレーは嫌い」を意味します。問題文が示す内容とそれがベン図のどの部分に当てはまるのかを考えながら取り組みましょう。262ページの問2、3はベン図を書きながら考えます。この場合、ベン図には人数を書きながら考えるとよいでしょう。

　263ページの問4は条件に当てはまる人数の範囲を考える問題です。これまでの問題が理解できている人はチャレンジしてみてください。

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