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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第6回・第7回攻略ポイント

<算数 5年上 第6回 >

第6回は『円(2)』です。円とおうぎ形について、面積と、円周や弧(こ)の長さの求め方を学習します。円の計算では、円周率としての3.14という小数のかけ算や、分子を中心角の大きさ、分母を360度とする「中心角/360」という分数の(割合)計算が数多く使われます。ですから、計算上の注意も必要となります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、円の中にある角度を求める問題です。円の半径はどこでも等しい長さですから、半径を使った三角形は二等辺三角形や正三角形になることを利用します。

  1. 半径であるOA=OBより、三角形OABは二等辺三角形となるため、角OAB=角OBA=36度です。よって、180-36×2=108より、xは108度です。
  2. (1)と同様に、半径であるOA=OCより、三角形OACも二等辺三角形です。角OAC=角OCAで、外角の定理を利用すると、y×2=x=108となります。よって、108÷2=54より、yは54度です。

なお、直径を1辺として、その1辺の向いにある頂点が円周上にあるような三角形では、円周上の頂点の角が、必ず直角になります。この直角三角形を利用する場面が多くありますので、理解しておきましょう。この問題では、角BACが直角となります。

「必修例題2」は、公式を使って円周や弧の長さを求める問題です。なお、直径に対する円周の長さの割合は一定で、この割合を円周率といい、およそ3.14として使用します。

予習シリーズ54ページ中央の二重線でかこんである、公式を覚えましょう。

  1. 円周の長さの求め方は、直径(半径×2)×円周率、です。8×3.14=25.12より、円周の長さは、25.12cmとなります。
  2. 弧の長さの求め方は、円周の長さ×中心角/360です。9×2×3.14×120/360=6×3.14=18.84より、弧の長さは、18.84cmです。

このように、3.14を含む式では、3.14以外を計算した後で、最後に3.14の計算をすることをお勧めします。効率よく計算でき、ミスも少なくなります。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、同じ大きさの円を重ねた図形の問題です。円に関係した角度の問題では、半径を新たにひいて考えることが多くあります。つまり、長さの同じ半径を使うことで、二等辺三角形や正三角形の性質を利用します。

  1. 直線PB、QBをひくと、どちらも半径で同じ長さですから、三角形APBも三角形AQBも正三角形になります。よって、角PAB=角QAB=60度です。60×2=120より、角PAQの大きさは120度と求められます。
  2. 2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、円周の一部、つまり弧でできています。弧PBQの長さは、半径6cm、中心角(角PAQ)は120度であることを使って求めることができます。また、もう一方の弧PAQも同じ長さです。6×2×3.14×120/360×2=8×3.14=25.12より、2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、25.12cmです。

「必修例題4」は、公式を使って、円やおうぎ形の面積を求める問題です。
予習シリーズ55ページにある説明を理解して、二重線でかこんである、公式を覚えましょう。

  1. 円の面積の求め方は、半径×半径×円周率です。5×5×3.14=25×78.5より、円の面積は78.5平方cmです。
  2. おうぎ形の面積の求め方は、円の面積×中心角/360です。4×4×3.14×135/360=6×3.14=18.84より、おうぎ形の面積は18.84平方cmです。

繰り返しになりますが、このように、3.14の入った計算は、3.14以外を計算した後で、最後に計算します。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、円に関連した図形の面積を求める問題です。面積公式の成り立ちを理解して、公式を使えるようにしましょう。この問題の形を「はっぱ形」といいます。これは、四分円(円を4分割したおうぎ形)の面積から、直角二等辺三角形の面積を引いて求めた形を2つ合わせて、はっぱ形になっています。予習シリーズ56ページの解き方にある図を参照してください。
半径10cmの四分円の面積は、10×10×3.14×1/4=25×3.14=78.5より、78.5平方cmです。また、等辺(直角をはさむ2辺が等しい)が10cmの直角二等辺三角形の面積は、10×10÷2=50より、50平方cmです。よって、(78.5-50)×2=57より、はっぱ形の面積は、57平方cmです。
 別の解き方も紹介しましょう。四分円を上下さかさまに重ね合せると、正方形の面積に、求めるはっぱ形の部分のみが二重に上積みされた形となります。そこで、はっぱ形の面積は、「四分円の面積2つ分から、正方形の面積をひく」という解き方でも求められます。   10×10×3.14×1/4×2-10×10=10×10×3.14×1/2-10×10=10×10×(1.57-1)=10×10×0.57=57として上記と同じ結果になります。
 まず面積公式の成り立ちをしっかり理解したうえで、慣れてきたら、このはっぱ形の面積は、正方形の1辺の長さを□とした場合、□×□×0.57で求められることも確認しておきましょう。ただし、この「×0.57」が成り立つのは、円周率が3.14の場合に限られます。円周率が3など、別の値で設定された場合は、数値が変わってきますので気をつけましょう。

なお、3.14の計算についてですが、3.14に1けたの数をかけた計算結果は、覚えておくとよいです。また、中心角/360の約分結果も、よく使われる中心角については、覚えましょう。

<算数 5年上 第7回 >

第7回は『食塩水』です。食塩水(水に食塩を加えたもの)の重さをもとにする量として、その中にとけている食塩の重さを比べる量とする、割合の問題です。もとにする量となる食塩水の重さは、食塩の重さと水の重さの合計であることに注意しましょう。また、濃さの単位は%ですが、計算上は、小数か分数を使用することにも注意が必要です(分数で計算するとスピードアップになります)。加えて、予習シリーズの各問題の解説にある図(ビーカー図とよばれます)を使って問題を整頓すると、理解が深まります。
※分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、基本のトレーニングです。「食塩水の重さ×食塩水の濃さ=食塩の重さ」を基本に整頓します。

  1. 食塩水の重さ(=水の重さ+食塩の重さ)に注意します。濃さを小数で□として整頓すると、(100+25)×□=25となります。□=25÷125=0.2と計算できますが、濃さの単位は%ですから、計算結果の0.2を100倍して%の単位にします。よって、食塩水の濃さは20%です。
  2. 濃さは8%ですから、計算上8/100として、150×8/100=12より、とけている食塩の重さは、12gです。
  3. 繰り返しますが、食塩水は水の重さと食塩の重さの合計ですから、水の重さを□gとして整頓すると、(□+15)×6/100=15となります。□+15=15÷6/100=250で、□=250-15=235より、水の重さは、235gです。食塩水の重さを計算して答えとしないよう、注意しましょう。
【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、食塩水に水を加える混合問題です。水を加えても、食塩の重さは変わらないことに注目します。

  1. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、200×18/100=36gです。水を40g加えるので、食塩水の重さは、200+40=240gになりました。よって、36÷240=0.15より、濃さは15%です。
  2. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、250×8/100=20gです。加える水の重さを□gとして、整頓すると、(250+□)×5/100=20となります。よって、250+□=20÷5/100=400で、□=400-250=150より、加えた水の重さは150gとなります。

「必修例題3」は、水を蒸発させる問題です。前問と同様、水を蒸発させても食塩の重さは変わらないことに注目します。

  1. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、250×6/100=15gです。50gの水を蒸発させますので、食塩水は、250-50=200gになります。よって、200×□=15より、□=15÷200=0.075となりますので、濃さは7.5%になります。
  2. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、400×3/100=12gです。蒸発させる水の量を□gとすると、食塩水は、(400-□)gになりますので、(400-□)×5/100=12と整頓できます。よって、400-□=12÷5/100=240より、□=400-240=160となりますので、蒸発させる水の量は、160gです。

「必修例題4」は、食塩水に食塩を加える混合問題です。食塩を加えると、食塩水の重さも増えることに注意します。

  1. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、300×4/100=12gです。よって、食塩を20g加えた後の濃さを小数で□として、整頓すると、(300+20)×□=12+20となります。□=32÷320=0.1より、濃さは10%です。
  2. 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、150×12/100=18gです。加えた食塩の重さを□gとして整頓すると、(150+□)×20/100=18+□となりますが、これでは、□を求めることができません。そこで、変化していない水の重さに注目します。食塩水全体の12%が食塩の重さでしたから、100%-12%=88%が水の重さということになります。150×88/100=132gである水の重さは、食塩を加えた後の食塩水(濃さが20%)では、100%-20%=80%になります。よって、加える食塩の重さを□gとして、水の重さについて整頓すると、(150+□)×80/100=132より、150+□=132÷8/100=165で、□=165-150=15となります。よって、加えた食塩の重さは15gとわかります。

このように、食塩水の問題では「変化していない量」に注目することに気をつけましょう。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、食塩水どうしを混合させる問題です。

  1. それぞれの食塩の重さを求めて、食塩水の重さの合計、食塩の重さの合計から濃さを求めます。食塩の重さは、200×4/100=8、300×9/100=27ですので、食塩の重さの合計は、8+27=35gです。濃さを小数で□として整頓すると、(200+300)×□=35となります。□=35÷500=0.07より、2つの食塩水を混ぜてできた食塩水の濃さは、7%です。
  2. 食塩水200gの濃さを小数で□とすると、食塩の重さは200×□となります。もう一方の食塩水100gでは、食塩の重さは、100×5/100=5です。整頓すると、(200+100)×7/100=200×□+5となります。300×7/100=21より、21=200×□+5です。よって、□=(21-5)÷200=0.08より、200gの食塩水の濃さは、8%でした。

「必修例題6」は、食塩水のやりとりの問題です。やりとりの前後で変化していない量に注目して解き進めて行きましょう。
こぼした食塩水と同じ重さの水を加えましたから、食塩水の重さは600gのままです。初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、600×15/100=90gです。また、あとの食塩水に含まれる食塩の量は、600×8/100=48gです。よって、こぼした食塩水にふくまれる食塩の重さは、90-48=42gとなります。こぼした食塩水の濃さは、初めの食塩水の15%です。よって、42÷15/100=280より、こぼした食塩水は280gです。

<算数 4年上 第6回 >

第6回は『植木算』です。直線の道や丸い池のまわりにそって木を植える場合の、木の本数と道や池のまわりの長さとの関係を考える問題です。長さは、「1区間(木と木の間)の長さ×区間の数」で求められます。この区間の数と植えた木の本数の関係を整頓しておきます。両はしに木が植えてある場合は、木の本数-1=間(区間)の数です。両はしには木が植えられない場合は、木の本数+1=間の数です。池のまわりに木を植える場合は、木の本数=間の数です。それぞれの必修例題について、解き方にある図を参照して下さい。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、両はしに木が植えてある場合の、はしからはしまでの長さを求める問題です。
 木が25mおきに35本植えられています。1区間の長さ=25mで、間の数=35-1=34か所ですから、25×34=850より、はしからはしまでの長さは850mです。

「必修例題2」は、植える木の本数がたりない場合の問題です。内容を確実に理解するために、予習シリーズ46ページの解き方にある図を参照してください。

  1. 木を植えた長さは540-90=450mで、15mおきに木を植えましたから、450÷15=30より、間の数が30か所とわかります。この長さの両端にも木を植えますので、(間の数+1)が木の本数になります。よって、30+1=31より、木の本数は31本です。
  2. 31本の木を植えますから、間の数は30か所です。540÷30=18より、木を18mおきに植えるとよいことになります。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、途中の木と木(この問題では、電柱)の間の数を考えて長さを求める問題です。簡単な例を考えるとわかりやすくなります。たとえば、2番目の電柱から5番目の電柱まで、間は何か所あるかを考えてみますと、3か所で、5-2の計算で求められることがわかります。
 12mおきに立っている、6番の電柱から23番の電柱までの間の数は、23-6=17か所です。よって、12×17=204より、この2本の電柱の間のきょりは、204mです。

「必修例題4」は、池のまわり(つながった長さ)に木(この問題では、くい)を植える問題です。木(=くい)の本数=間の数となります。
 くいの数である99本は、間の数が99か所ということです。2×99=198より、この池のまわりの長さは、198mです。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、木と木の間に、べつの木を植える問題です。予習シリーズ48ページの解き方にある図を参照してください。

  1. つながった長さである畑のまわりに杉の木を植えますから、木の本数=間の数です。まわりの長さが240mで、木の本数の16(本)は、間の数でもあります。よって、240÷16=15より、杉の木の間かくは、15mです。
  2. 2本の杉の間にツツジの木を等しい間かくで4本植えますが、両端には杉の木があります。木の本数+1=間の数より、間の数は4+1=5か所になります。よって、杉の木と木の間15mを5つに等分します。15÷5=3より、ツツジの木は3mの間かくで植えます。

<算数 4年上 第7回 >

第7回は『小数(1)』です。まずは、予習シリーズ53ページにある小数の仕組み、および用語を理解して覚えましょう。また後半の「単位」の問題は5年、6年になっても苦手とされる生徒さんが多い単元ですので、基本からしっかり固めておきましょう。なおここでは、分数は、分子/分母の形を使って表すことにします。例えば、10分の1は、1/10と表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、小数の仕組みの問題です。
1が3個で3、0.1が7個で0.7、0.001が5個で0.005となります。これらの数を集める、つまり和を求めると、3.705です。

「必修例題2」は、分数を小数の位との関係で考える問題です。
 分数の1/100は、小数の0.01と等しいです。17=10+7より、0.01が10個集まると0.1となり、0.01が7個集まると0.07ですから、0.1+0.07=0.17より、1/100が17個集まると0.17です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、小数のたし算・ひき算の問題です。
 小数のたし算・ひき算は、ひっ算において小数点を上下でそろえることが重要です。たし算では、計算結果で末尾(答えの右はし)に0(ゼロ)がある時は消すことを注意しましょう。ひき算では、ひく数(ひっ算の下にかく数)のけたが、ひかれる数(ひっ算の上にかく数)のけたより多いときは、ひかれる数の右に0をつけて、けたの数をそろえることがポイントです。予習シリーズ54ページの解き方にあるひっ算を参照してください。

【攻略ポイント3】

長さ・重さ・かさの単位について、学習します。予習シリーズ55ページにある、単位についての説明を参照してください。特に、キロ(kの文字を使います)は、ある大きさの1000倍の大きさを表し、ミリ(mの文字)は、ある大きさの1/1000(=0.001)の大きさを表します。つまり、1mの1000倍の大きさである1000mは1km、1mの1/1000の大きさは1mmとなります。その他、長さの単位では、1/100(=0.01)の大きさを表すセンチ(cの文字)、かさの単位では、1/10(=0.1)の大きさを表すデシ(dの文字)も使われます。これらも含めて、使えるようにトレーニングしましょう。

「必修例題4」では、長さ・重さ・かさの単位を学習します。しっかり習得できるように、トレーニングを多くしてください。

  1. 1m=100cmで、1/100m=1cmです。3.2m=3m+0.2mより、3m=300cmで、0.2mの0.2は、1/100(=0.01)が20個集まった数ですから、20cmです。よって、3.2mは320cmです。
  2. 1000g=1kgで、1g=1/1000kgです。2400g=2000g+400gより、2000g=2kgで、400gの400は1/1000(=0.001)が400個ですので、0.4kgとなります。よって、2400gは2.4kgです。
  3. 1L=1000mLで、1/1000L=1mLです。0.75Lの0.75は、1/1000(=0.001)が750個ですので、0.75Lは750mLです。

「必修例題5」は、単位のついた数量のたし算・ひき算です。それぞれの数量を、求める単位にそろえて、たし算・ひき算をします。

  1. 3600gは3.6kgです。3.6+4.5=8.1より、答えは8.1kgです。
  2. 0.76km=760mです。2800+760=3560より、答えは3560mです。
  3. 1L=10dL、1L=1000mLより100mL=1 dLです。2.25L=22.5dL、1500mL=15dLですから、22.5-15=7.5より、答えは7.5dLです。

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