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＜算数　6年生　第22回＞

　第22回のテーマは「規則性　増えていく数列」です。今回の内容は「増えていく数列」「図形と数列との対応」「数表の中にあるきまりを見つける」「数列を区切って考える」です。増えていく数列を扱うときには差に注目していきます。差を書き込みながら考えていくと規則が見つかります。

　また、図形と数列を対応させるときには、図形で表された情報を数字に書き換える必要があります。この時にも数字を書き出していきます。数列を区切って考えるときには周期の考え方も使います。数列は基本的な問題から難問まで幅広く出題される単元です。入試にも頻出の単元のため十分に練習を重ねましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では数列から情報を取り出したり増やしたりしていきます。84ページの例1を見てみましょう。2、7、12、17、22、27・・・と続く数列が書かれています。その下には2と7の間に5、7と12の間に5、と差が書かれています。この数列は初項が2で項差が5の等差数列です。したがって5ずつ増やしていくと無限に先の数まで推測できます。

　また、N番目の数はN＝2＋5×(N－1)で表すことができるため、例えば10番目の数は2＋5×(10－1)＝47となります。

　次に85ページを見てみましょう。6、8、11、15、20、26、33、41・・・と続く数列が書かれています。その下には6と8の間に2、8と11の間に3、11と15の間に4、と差が書かれています。この数列は初項が6でその後、差が2、3、4、5・・・と増えていく数列です。したがってN番目の数は次のようになります。

1番目6
2番目6＋2
3番目6＋(2+3)
4番目6＋(2＋3＋4)
Ｎ番目6＋(2＋3＋…＋N)
※かっこの中は初項が2項差が1の等差数列の和になっています。

　このように増えていく数列ではとなり合う数の差を書き込みながら規則性を探していくとよいでしょう。N番目の数を求めるときには、一般化されたNを含む式が正いのかどうか、順番が初めの方の数で確かめてみるとよいでしょう。

　「学び2」では図形と数列を対応させます。86ページを見てみましょう。図はご石を2個ずつ増やすように並べていったものです。図を数字に置き換えていきます。1段目は1、2段目は3、3段目は5、4段目は7…というようにそれぞれの段に奇数が並ぶことがわかります。

　次に「やってみよう！」を考えていきます。N段並べるのに必要なご石の数を考えます。1段目には1個、2段目までには1＋3＝4個、3段目までには1＋3＋5＝9個、4段目には1＋3＋5＋7＝16個、というようにN段並べるのに必要なご石の数は変化します。するとN段並べるのに必要なご石の数はN×Nとなっていることに気づきます。

　86ページにある右側の図を見ると、並べ方は違いますがN番目の形は縦がN個、横がN個の正方形の形をしていることからN段並べるのに必要なご石の数はN×N個であることがわかります。このことから1から順に奇数をN番目まで足していくとその和はN×Nであることもわかります。

　次に87ページを見てみましょう。図を数字に置き換えていきます。1段目は2、2段目は4、3段目は6、4段目は8…N段目には2×Nというように、それぞれの段に偶数が並ぶことがわかります。

　次に「やってみよう！」を考えていきます。N段並べるのに必要なご石の数を考えます。ここでは等差数列の和の考え方を使って求めていきます。1段目からN段目までの和は｛(2＋2×N)×N｝÷2＝(2×N＋2×N×N)÷2＝N＋N×N＝N×(1＋N)となります。このことから5段並べるのに必要なご石の数は5×(5＋1)＝30個となります。

　87ページにある右側の図を見ると、並べ方は違いますがN番目の形は縦がN個、横が（N＋1）個の長方形の形をしていることからN段並べるのに必要なご石の数はN×(N＋1)個であることがわかります。このことから2から順に偶数をN番目まで足していくとその和はN×(N＋1)であることもわかります。このように図形と数列を対応させる場合、図形の情報を数だけで表したり、図形の形を変えたりしてみると新たな規則性を見出すことができます。

　「学び3」では数表の中にあるきまりを見つけていきます。88ページの表を見てみましょう。1から順番に横に数字が並んでいて5個ずつの周期になっています。また5個ずつの周期のため5で割ったときの余りを考えると、1列目の数は余り1、2列目の数は余り2、3列目の数は余り3、4列目の数は余り4、5列目の数は余り0（ゼロ）となります。

　また、数字を縦に見ていくと1列目の数は1、6、11、16、21、・・・というように初項1、公差が5の等差数列となっています。2列目の数は初項2、公差5の等差数列となっています。このように周期や等差数列を意識すると決まりが見つけやすくなります。

　次に数字の並び方に特徴がある2つの例について説明ます。ここでは「どんな順番で数が並んでいるのか」「特別な数をさがしてみる」ということに注目して考えていくとよいでしょう。90ページの表を見てみましょう。1行1列目の1から順に数字を追っていくと四角に並んでいることがわかります。1列目の数に注目すると1行目は1、2行目は4、3行目は9、4行目は16と平方数になっています。

　この並び方と平方数を基準に数を探していきます。例えば100は10×10のため、10行目の1列目（以下（10、1）と表します。）にあります。また、106は100が（10、1）にあり、次の101は1行目に上がって列が(10＋1＝)11列目となるため、101は（1、11）、102は（2、11）…106は（6、11）となります。

　イメージがつかない場合は、途中は省略して、ある程度まで数字の並びの様子を書いてみるとよいでしょう。

　次に91ページを見てみましょう。1行1列目の1から順に数字を追っていくと右上から左下に向かって三角に並んでいることがわかります。1列目の数に注目すると1行目は1、2行目は1＋2＝3、3行目は1＋2＋3＝6、4行目は1＋2＋3＋4＝10となっています。つまり1列目の数はN行目では1からNまでの整数の和になっていることがわかります。

　例えば20は1＋2＋3＋4＋5＝15のため、（5、1）は15でそこから20－15＝5進んだところにあります。（5、1）の次が（1、6）その後、数表を左下に向って斜めに進み、順に（2、5）（3、4）（4、3）（5、2）となり5行目の2列目にあることがわかります。行と列の数字を考えるときに右上から左下に向かうときには行を表す数字と列を表す数字の和が一定であることを使うと場所がわかりやすくなります。

　「学び4」では数列を区切って考えていきます。92ページを見てみましょう。一見数列にはとても見えません。並んでいる数字を3個の周期に区切ってみましょう。（231）（342）（453）…となっていることに気づきます。1組目の周期の右側の数字は1です。2組目の周期の右側の数字は2です。このように各組の右側の数字はN組目であればNです。

　また、各組の中で数字の並びを見てみると、右側→左側→真ん中の順に並んいることがわかります。このことを使うと、例えば10組目は（11、12、10）となります。

　93ページを見てみましょう。今度は並んでいる分数を1個、2個、3個、4個…というように区切っていきます。各組に並ぶ分数は1組目が1個、2組目が2個というようにN組目はN個となっています。各組の初めの分数の分母に注目すると3、4、5、6となっていて、N組目ではN＋2となります。

　また、各組の初めの分数の分子は1です。さらに各組の数字について考えていくと、2組目、3組目、4組目を見るとわかるように、分母は6、5、4、3というように1つずつ減るように並びます。各組の分母と分子の数の和を求めると1組目が1＋3＝4、2組目が1＋4＝5、3組目が1＋5＝6というようにN組目ではN＋3となっています。

　このように、数列を区切って組をつくるときには同じ個数ずつの組を作ったり、1個、2個、3個…というように規則正しく増えていくように組を作ったりするとよいでしょう。

　演習としては94ページから96ページは必修です。「学び1」～「学び4」の方法にならって解いてみましょう。数列の問題は入試でも出題されやすい単元です。今回は演習問題が多めですがなるべくたくさん解きましょう。

　99ページの問1①はたし算の左側の数字と右側の数字を別々に考えるとよいでしょう。100ページ問3は分数として考えずに、分子と分母の数の関係を考えるとよいでしょう。問4は「学び2」の考え方を使います。100ページの問5、101ページの問6、問7は「学び4」の考え方を使います。問8は「学び2」で使った奇数の和の考え方を使うとよいでしょう。盛りだくさんですが102ページの問9、問10までは取り組みましょう。

＜算数　5年生　第22回＞

　第22回のテーマは「分数の性質　～倍分と約分～」です。今回は分数計算の基礎を学びます。内容は「分数の大小関係」「分数の種類」「分数のたし算・ひき算」「分数の倍分・約分」です。分数は今後、割合の問題、速さの問題、図形の問題など、算数のすべての問題で登場します。小数では表せない数も分数を使うと表せたり、計算で分数を使うと効率よくできたりと便利な数です。

　分数を操作できるようになれば、問題を解くスピードが格段に上がります。分数の分母、分子には意味があり、計算の操作にも意味があります。この意味をじっくりと理解しながら進めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では分数の意味について学びます。67ページの「やってみよう！」を説明します。①の3分の2は肉を3つに分けた2つ分を食べたことを意味します。もとにする量の肉は100ｇのこともあれば1㎏のこともあります。したがって、もとにする量がどのくらいかで大きさも変わります。

　②の3分の2は㎏という単位がついています。この場合1㎏をもとにして、その3分の2を食べたという意味です。したがって、②の3分の2は大きさの決まった量だといえます。このように同じ分数でも、単位がついていない分数は割合を表し、単位がついている分数は決まった大きさを表すことがわかります。単位がついていない分数と単位がついている分数は区別して扱いましょう。

　次に分数の大小関係について考えましょう。68ページの「やってみよう！」を見てみましょう。3分の1と3分の2の大小関係について説明します。ピザを思い出しましょう。ピザを3つに分けた1つ分と3つに分けた2つ分では3つに分けた2つ分の方が大きいです。したがって、3分の2は3分の1よりも大きな数となります。

　次に8分の1と9分の1の大小関係について説明します。8つに分けた1つ分と9つに分けた1つ分では8つに分けた1つ分の方が大きいです。したがって、8分の1は9分の1よりも大きな数となります。このように分子が同じ数の場合、分母の数が小さいほど大きな分数ということができます。

　「学び2」では分数の種類について学びます。69ページを見てみましょう。単位分数とは分子が1の分数で2分の1や100分の1などです。真分数とは分子が分母より小さいため、1より小さい分数といえます。

　仮分数とは分子が分母と同じ、あるいは分子が分母より大きいため、1以上の分数といえます。帯分数とは1と2分の1のように、整数部分と分数部分に分けて表した分数のことをいいます。分数に関する言葉の定義は正確に覚えておきましょう。

　「学び3」では分母が同じ分数どうしのたし算、ひき算で、帯分数が含まれる計算を学びます。70ページにある例1から例4をみながら考えてみましょう。例1では分子にある3と5をたして8とします。すると分数部分が7分の8となり1より大きくなります。このような場合は1くり上げて整数部分を2＋1＝3とします。

　例2では分数部分を計算する時に引くことができないため、引かれる数の整数部分の3から1くり下げて、分数部分を11分の14としてから計算します。このように、計算の結果、分母が大きくなりすぎた時には整数部分にくり上げ、計算の過程で引かれる数の分子が引く数の分子よりも小さい場合は整数部分からくり下げて計算します。

　例3や例4のような第分数どうしの計算では整数部分は整数部分どうしで計算し、分数部分は分数部分どうしで計算します。くり上がりやくり下りの処理の仕方も例1や例2と同じようにします。

　「学び4」では倍分、約分について学びます。71ページのピザの図を見てみましょう。左側の図は2つに分けた1つ分、右側の図は4つに分けた2つ分を表しています。このように分数では分母を2倍し、分子を2倍すると同じ大きさの分数になります。これを2分の1を2で倍分するといいます。このように分数では分母と分子に同じ数をかけても同じ大きさの数になります。

　次に72ページを見てみましょう。倍分と逆の操作を約分といい、分子と分母を同じ数でわっても、同じ大きさの分数になります。例にある6分の4を見てみましょう。分子と分母を2でわると3分の2なります。また、12分の8のような分数の場合、初めに分子と分母を2でわって6分の4とし、さらに分子と分母を2でわって3分の2とします。

　このように約分は数回に分けて行ってもよく、普通われなくなるまで行います。これ以上約分できない分数を既約分数といいます。約分の方法を使って74ページの「やってみよう！」に挑戦してみましょう。

　演習としては75ページから77ページは必修です。78ページから82ページの問1～問6にも取り組みましょう。80ページ問2②では式を書いて計算を工夫することを考えましょう。問3では倍分、約分の考え方を使いましょう。81ページ問4は初めに調べてみましょう。余裕があれば82ページの問7、83ページの問8、問9にも取り組みましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。