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算数予想問題
ここだけはおさえておきたいポイントをランキングにまとめました！立体の切断や相似など重要単元目白押しのマンスリー攻略のためにも、ぜひご覧ください！
また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。くわしい解説も準備しますので、問題を解く→解説を熟読する→もう一度問題を解く、のサイクルで、解法をしっかり身につけてください。問題は鉄人会のHPで公開しています。クラスアップのためのマストアイテムとして、ぜひご活用ください！
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それではランキングの発表です。まずは第5位からです！
この単元で特に気をつけて頂きたいのが、既約分数（これ以上約分できない分数）に関する問題です。書き出しと工夫の両方を用いて解くことを求められます。例題を挙げてみましょう。
まずは(1)ですが、それ以上約分できない分数を挙げるためには、約分できる分数を全体から省けばよいことになります。約分できるということは分母の15との公約数がある数字が分子にくることです。よって、分子を3と5の倍数以外の数にすればよいことになります。
次に、0より大きく2より小さいとありますが、1から2までは帯分数の整数部分が1になるだけで、分数部分は0から1までと同じになりますので、0から1までで該当する分数が挙げられれば、あとはくり返しです。
ここから書き出しですが、分母は15で同じですので、分子にあたる数だけ書き出して行きます。少しでも確実に、かつ時間を短縮できる方法で進めましょう。
0から1までで該当する分子は1、2、4、7、8、11、13、14の8個です。1から2までも同じく8個ですので、答えは8×2＝16（個）となります。
この(1)のような、分数の個数を出すだけであれば、より計算が楽な方法があります。集合のベン図を使う解法です。
分母が15で0より大きく2より小さい分数は、分子が1から29となるので全部で29個あります。まず大き目に四角の枠をかいて、1～29と記しておきます。その枠の中にベン図の丸を2つ、一部が重なるようにかき入れます。1つの丸が3の倍数、もう1つの丸が5の倍数で、重なった部分が15の倍数です。そこでそれぞれの個数を求めると、3の倍数は29÷3＝9あまり2より9個、5の倍数は29÷5＝5あまり4より5個、15の倍数は29÷15＝1あまり14より1個、よって3または5で割りきれる数が9＋5－1＝13（個）となり、3でも5でも割り切れない数は、29－13＝16（個）と求められます。書き出しで起こりうる「もれ」を防ぐことができる方法ですので、ぜひ覚えておいてください。
次に(2)ですが、(1)でご紹介した2つの解法のうち、前者の書き出しの結果をそのまま使います。0から1までの8個をひとつのグループとすると、32番目の分数は32÷8＝4より、4つ目のグループの最後の数となります。4つ目のグループは整数部分が3になりますので、32番目の分数は3・14/15です。
ここからがポイントです。32番目の分数までの和を出すにあたって、(1)で書き出した分子の数値の和を式にしてみると、1＋2＋4＋7＋8＋11＋13＋14となります。両端の数を足すと1＋14＝15、2番目と7番目を足すと2＋13＝15、と端から順に対称の位置にある数どうしを足すと、15になる組がちょうど4個できることになります。分数のかたちにすると、1/15＋14/15＝15/15=1が4個となるのです。
これは32番目までの分数を並べても同じことです。1/15+3・14/15＝3・15/15＝4、2/15+3・13/15＝3・15/15＝4…と、対称の位置にある分数の和がすべて4ですので、32÷2×4＝64、と答えを出すことができます。32個の分数すべてをたし算する時間はもちろんありませんので、いかにルールを見つけられるかがポイントになります。練習を重ねてルールを見つける目を養いましょう。
この単元で注意すべき問題として、まず2つの量の関係が「段階的な変化」をするタイプの問題があります。例題を挙げましょう。
答えが幅になるということが、多くのお子さんを悩ませる要因になります。答えがひとつに絞られないと、それだけで難しいと思ってしまうことが多いようです。
このタイプの問題を攻略するためには、ぜひグラフをかいて内容を整理してください。実際に上記の問題をグラフにしてみましょう。
まず、縦軸を料金、横軸を距離とします。縦軸上のある地点（半分より少し下くらい）を620円とします。0mでは料金は発生しないので、その地点は白丸とします。そこから横軸に平行に線を伸ばし、1500mのところは620円の料金が発生する終点ですので、黒丸として線を止めます。この後も料金が発生する点は黒丸、発生しない点は白丸として行きますので、この区別を間違わないようにしてください。
グラフの作成を続けます。1500mの黒丸から80円分上に白丸を置いて、そこからまた横軸と平行に線を伸ばし、315m分伸ばしたところで黒丸、またそこから80円分上に白丸を置いて、そこから315m分横に線分を伸ばして黒丸…とくり返します。結果として階段のようなグラフができあがりましたでしょうか。このグラフは多少時間がかかっても、ぜひかいてみてください。このグラフがかければ、内容理解が大いに進みます。
ここから問題を解いて行きますが、方針として、まず基本料金から何円増えているかを確認し、そこから基本料金からの加算回数を算出することになります。1500－620＝880（円）、880÷80＝11（回）となります。ここで注意が必要です。加算回数が11回ということは、タクシーを利用した距離が「最大の場合」で、1500＋315×11＝4965（m）となります。この距離を少しでも超えてしまうと、タクシーは12回目の加算をしてしまいます。あとは、この4965mから315m手前までがこの11回の加算の対象になりますので、4965－315＝4650（m）を超えて4965ｍまで、が答えとなります。
別解として、11回を算出してから、1500＋315×(11－1)＝4650（m）と、最小の場合を先に出す方法もあります。もちろんどちらでも構いませんが、1をマイナスする意味が曖昧な場合は、最大値から出す方法を試してみるとよいでしょう。
このタイプの問題では、タクシー料金の他に、駐車場の料金や小包の郵送料金、電気・ガス料金などが使われることが多いです。いずれもお子さんにとっては、あまり馴染みがない状況であることも問題を難しく感じさせてしまう要因とも思えますが、解き方さえしっかり身につけておけば複雑な内容ではありません。得点できるようになれば差をつけられる問題にもなりますので、ぜひ焦らずじっくり練習してください。
また、時計が遅れる、進むといった問題も、多くのお子さんが難しいと感じてしまうタイプの問題です。計算が複雑になる印象があるかもしれませんが、粘り強く取り組めば、意外と単純に解き進めることができます。出てきた数字に驚くことなく取り組むようにしましょう。例題を挙げます。
ここでは2つの解き方をご紹介します。
ひとつは正しい時刻と、誤った表示をする時計の「時間の差」から、単位当たりの量の考え方を使う方法です。7時のときに6時58分（2分遅れ）、18時のときに18時3分（3分進み）となることから、誤った表示をする時計が、11時間の間に2＋3＝5（分）多く進んだことがわかります。朝7時の時点では2分遅れているので、11×2/5＝4・2/5（時間）たったときに正しい時刻を指すことになります。よって7時＋4時間24分＝11時24分となります。
この方法を基本として、三角形の相似を利用した解き方があります。以下に図のかき方をご説明します。
まず正しい時間の流れを表す1本の横線をひき、左端を7：00、右端を18：00として点を打ちます。7：00の点から垂直に下方向に短い線をひき、その終点を6：58とします。次に18：00の点から垂直に上方向に線をひき、その終点を18：03とします。そして6：58の点と18：03の点を結べば図は完成です。正しい時間の流れを表す横線と、右上がりの斜めの線が交わる図になりましたでしょうか。
右上がりの斜めの線は正しい時刻と時計が表す時刻との差を表しています。よって横線と斜めの線が交わる点では、時刻に差がないことから、時計が正しい時刻を表していることがわかります。
あとは相似の考え方で解き進めます。7：00の点、6：58の点、正しい時刻の点でつくられる三角形と、18：00の点、18：03の点、正しい時刻の点でつくられる三角形は相似の関係にあり、辺の長さの比は17：00－6：58＝0：02と18：03－18：00＝0：03の長さの比より2：3となります。よって正しい時刻の点は、18：00－7：00＝11：00を2：3に分ける点ですので、11×2/5＝4・2/5（時間）と、先程の式と同じ結果になります。慣れてくれば、この相似を使った方法が解きやすくなることもあります。
もうひとつの方法では、正しい時刻と誤った表示の時計のそれぞれが動いた時間をそのまま使います。正しい時刻が11時間進んだ間に、誤った表示の時計は6時58分から18時3分と、11時間5分進んだことになります。いずれも分に直し、正しい時間と誤った時計の進む速さの比を出すと、660：665＝132：133となります。ここからは線分図があるとさらにわかりやすくなります。正しい時間を上に、誤った時計を下に、2本の線分を引きます。上の線分は7：00が起点となり、下の線分はそこから少し左に6：58が起点になるようにします。そこから右に線を伸ばし、正しい時刻の地点で上下2本の直線がそろうようにしますので、下の線分が少し左に長いかたちになります。
ここで、上の線分の長さをマル132、下の線分の長さをマル133とすると、差のマル1が2分にあたることがわかります。よって、7時から132×2＝264（分後）が求める時刻になりますので、7時＋4時間24分＝11時24分、と出すこともできます。
どちらの方法でも構いません。後に説明した方法は数が大きくなりはしますが、先の方法では時刻が遅れたり進んだりした場合の「差」の数え方を間違えると、正答率が大きく下がってしまう危険性があります。どちらも練習しておいて、より確実に解ける方法を選ぶとよいでしょう。
この単元では相似の関係を把握することが最重要となります。特に、「2内角の大きさが等しい」ことが相似の条件になることを忘れないようにしましょう。
例えば次のような問題では、角度への着目が不可欠となります。
この問題では長さに関する情報が多く与えられていますので、それをフルに活用します。EC＝20÷2＝10(cm)であることから、ECを含む三角形DECに注目します。三角形DECの角度を見ると、角CEDは90度となり、角ABCと等しくなります。さらに角DCEと角ACBは共通ですので、三角形ABCと三角形DECは2内角の大きさが等しいことから相似の関係にあることがわかります。AB：BC：CA＝12：16：20＝3：4：5より、CD＝EC×5/4＝10×5/4＝12.5(cm)から、BD＝16－12.5＝3.5(cm)と求められます。
三角形ABCと三角形DECが相似の関係であることに気付けば難しくない問題ですが、2つの三角形の向きが変わってしまうだけで、意外と相似の関係に気付きにくいことがあります。三角形の相似を習う際に、三角形が同じ向きに重なる「ピラミッド型」や、上下さかさまになる「砂時計（蝶々）型」のイメージを重視し過ぎて、大事な相似条件である2角の大きさの関係への注意が足りなくなってしまうことがその原因と思われます。これから問題の難度が上がると、一見しただけでは相似の関係であることに気付きづらくなるケースが圧倒的に多くなります。そうした問題にもしっかり対応できるように、今のうちから角度に着目する習慣を身につけていくようにしましょう。具体的には、同じ大きさとなる角度にマークを付けていくことが有効な対策となります。今回の問題の角DCEと角ACBのような共通の場合も含めて、同じ大きさの角度に○や▲といったマークを付けるようにしておくと、視覚的にも角度の関係をつかみやすくなります。ぜひ試してみてください。
立体図形が(1)と(2)に分かれます。(1)では立体の体積・表面積、水深変化、円すいの性質を中心に出題されます。特に水深変化は様々な出題パターンがありますので、ひとつひとつの解法を確実に身につけて行きましょう。
水深変化の問題では、2つのパターンについてご説明します。
ひとつは、ある高さまで水が入っている水そうに、おもりを沈めて行く問題、もうひとつが水を移しかえて、水そうの深さが同じになる問題です。
まずはおもりを沈める問題ですが、ここでは図を使って視覚的に解き進められる方法をお伝えします。
例題を挙げてみます。以下のような問題です。
この(1)と(2)は、おもり一つの差ですが、状況が大きく異なります。
多くの解説では状況を場合わけして解く方法が紹介されていますが、この問題での場合わけの基準は、おもりがすべて水に沈むかどうか、というところにあります。(1)であれば、水深が2×3＝6（cm）を超えるかどうか、(2)では水深が2×4＝8（cm）を超えるかどうか、が基準となります。水深が積み上げた高さを超えた場合は水に沈んだおもりの総体積分を容器の底面積で割って増えた水深を出せばよいのですが、水深が積み上げた高さを超えない場合は、底面積を変化させる必要があります。
こうした場合わけを思いつかなくても、図をしっかりかくことで内容がすっきり整理できる方法があります。まず図をかいてみましょう。立体的な図形ではなく、水そうの断面図をかいてください。長方形の上の辺がないかたちで、縦は水そうの高さの14cm、横は適当に十分な長さにして、それを底面積100平方cmの「100」とします。
まず高さ5cmのところに水面を横線で記入します。これで水そうに水が入った初めのかたちになります。そこからおもりを沈めた図にして行きます。おもりは断面図の左はしに長方形のかたちでかき込みます。
(1)では横の長さを底面積の25平方cm分、縦の長さをおもりの高さ2×3＝6（cm）になるように長方形を左はしにかきます。
おもりの右横にできた水の部分の面積は75×5＝375で、全体の水の量である100×5＝500との差にあたる、500－375＝125が水の部分の上に来ます。ただし、上のスペースは、おもりの高さと水面の差である6－5＝1（cm）の分しかありません。125－75×1＝50の分の水が、おもりと水の部分を合わせた全体部分の上に重なることになります。容器全体の底面積は100ですので、50÷100＝0.5（cm）が6cmの上に重なり、答えは6＋0.5＝6.5（cm）となるのです。
次の(2)ですが、おもり4個を重ねた高さは2×4＝8（cm）です。(1)と同じく、おもりが入ったことで500－375＝125の分の水が、もともとの水の部分の上に重なります。今度は上のスペースが8－5＝3（cm）分あります。125÷75＝1・2/3（cm）がもともとの水の部分の上に重なり、そのまま5＋1・2/3＝6・2/3（cm）を答えとすることができます。
場合わけの方法では、実際に計算をしてみて、条件にあえばそのままで、違えば別のやり方に換えることになり、慣れれば判断も早くできますが、作業を負担に感じてしまうお子さんも多いかと思われます。上記の図を使った方法であれば、方針を変えることなくそのまま解き進められるメリットがあります。ぜひ試してみてください。
水そうの深さが同じになるタイプの問題ですが、早速例題を挙げてみましょう。
できれば、図をかいてみましょう。円柱の図をかこうとするときに、底面積をどれくらいの大きさにすればよいか、で立ち止まると思います。この問題はそこがポイントになります。水の量は「底面積×水面の高さ」で求められるので、水の量を1とすると、底面積はそれぞれA、B、Cの順に、1/60、1/48、1/15となり、底面積の比は、1/60：1/48：1/15＝4：5：16となります。そこで、Aの底面積をマル4、Bの底面積をマル5、Cの底面積をマル16とすることができます。
ここであらためて方針を確認しましょう。3つの容器の水面の高さが同じになる、ということは、仮に3つの容器をすべてつなぎ合わせたとすると、全体の水の量は、底面積をすべて合わせてできる大きな底面積に、同じになる水面の高さをかければ算出できることになります。逆に水面の高さを求めるには、全体の水の量を底面積の和で割れば導き出せます。
全体の水の量についてマルを使って表す際に、A、B、Cそれぞれの容器に入っている水の量を出して足す、という計算はできれば避けましょう。3つの容器に同じ量の水が入っているので、1つの容器に入っている水の量を3倍すればよいのです。計算としてはその方が断然楽になります。60cmという計算しやすい数値である容器Aを使って算出します。
全体の水の量は「マル4×60×3」、底面積の和は「マル4＋マル5＋マル16」なので、マル4×60×3÷(マル4＋マル5＋マル16)＝28.8（cm）と求められます。
わかっていない数値があったとしても、比を有効に使えば解き進めることができます。比についてはしっかり復習をしておきましょう。
また、円すいの性質に関する問題では、以下の内容について、まずチェックしてください。
この2つはいずれも母線と底面の半径の関係を活用したものですが、①の式が理解できれば、側面積（おうぎ形）は母線×母線×3.14×中心角／360の式で導き出せるので、中心角の部分を①の式と入れ替えると、②の式が成り立つことがわかります。まずは①の式の成り立ちをしっかり復習してください。展開図で側面のおうぎ形の弧の長さと、底面の円周の長さが一致することから、それぞれを式で表して比べてみると、すぐに理解できます。
立体図形(2)では、立方体や直方体を積み上げてできた図形の体積や表面積に関する問題、立方体を切断する問題、複雑な立体について段ごとに区切って調べるタイプの問題が出題範囲の中心になります。
特に立体の切断は、多くのお子さんが苦手とする単元のひとつです。見えない部分がどのように切り取られるかが、なかなかイメージできないことが原因のひとつのようです。大事なことはイメージに頼らないことです。この切断にはいくつかのルールがあります。そのルールに合わせて進めれば、決して難しい問題ではなくなります。今回のテストでは切断の基本を問われる可能性が高いので、この機会にしっかりルールを習得してください。
重要なルールは以下の2つです。
この2つをしっかり踏まえれば、基本をおさえることができます。
例題を挙げてみましょう。まず立方体をかいて、上の面の正方形をABCD、下の面の正方形をEFGHとし、AとE、BとF、CとG、DとHが上下につながる関係となるように、記号を記入してください。立方体ABCD－EFGHの完成です。問題は以下の通りです。
ルール①の通り、同じ平面上にある2点のみを直線で結びます。このルール①は当たり前のように見えるかと思いますが、意外とこのルールを踏まえずに、例えば、頂点Aと辺GHの中点（以下点Pとします）を直線で結んでしまうことがあるのです。この直線は立方体の内部を貫通してしまっていますので、ありえません。
まず頂点Aと頂点Fは同じ面ABFE上にあるので結ぶことができます。また、頂点Fと点Pも同じ面EFGH上にあるので結ぶことができます。
ここからがルール②になります。いま面ABFE上に切断線AFがあり、面ABFEと向かい合って平行にある面DCGH上の点Pが切断線の起点となります。ここで、AFと平行になるように、点Pから切断線を引きます。こうした平行線を引く際には、相似の考え方を使うと楽になります。三角形AEFは正方形を対角線で分けてできる直角二等辺三角形です。よって、面DCGHの上にも三角形AEFと相似な直角二等辺三角形ができるように、点Pと辺DHの中点（以下Qとします）を結べば、それが切断線になります。
これで3本の切断線を引くことができました。最後に、点Qと頂点Aは、面ADHEの上にある2点ですので、結ぶことができます。これで切断面は四角形AFPQになることがわかります。AFとPQは平行になるので台形に、さらにFPとAQは長さが等しくなるので、答えは「等脚台形」と求められます。
立体の切断は同じような出題が多いです。ぜひ上記の2つのルールを使って、できるだけ多くの練習を重ねてください。
ここで少し話を発展させてみます。上記の問題でAQを延長した線と、EHを延長した線が交わる点をRとします。三角形ADQと三角形RHQは同じ平面上にあり、またADとEHが平行なことからADとRHも平行となるため、三角形ADQと三角形RHQが相似になることをおさえておいてください。今後より難度の高い問題を解く際に、この相似関係を利用するケースが多くありますので注意しておきましょう。
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