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　6年生向けの『日能研　算数対策ポイント！』は今回が最終回となり、後期からは5年生、4年生の生徒様方へ向けての内容となります。

　6年生の皆様、今までご愛読頂き誠に有難うございました。
　皆様の志望校合格を祈念しております！

＜算数　6年生　第38回＞

　第38回のテーマは「立体図形　立体図形②」です。今回は「底面積と水位の関係」「容器に棒を入れたときの水位変化」「いろいろな水位変化のグラフ」「密閉された容器」を扱います。立体図形の問題ですが、比例・反比例、面積図など、他の単元で学んだ考え方も使います。そのときに重要なことは情報をいかに整理するかです。今回は見取図で書かれた情報を平面図で表し、さらにグラフの情報と関連付けていきます。

　単位の違う情報もあれば、比の情報もあります。これらを混同しないようにまとめていく力が必要になります。それぞれの「学び」ではどの部分に注目して情報をまとめていくのかを考えていきます。図と情報を書きながら考えていくと正解への糸口が見えてきます。ひとつひとつの問題が入試問題そのものとなるため、じっくり取り組み、演習問題で十分に練習をしましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では水位について考えます。510ページの問題を見てみましょう。底面の半径が1cmの円柱の容器Ａには深さ12cmまで水が入っています。底面の半径が2cmの容器Ｂは空です。容器Ａに入った水をすべて容器Ｂに移したときの容器Ｂの水の深さを考えます。

　りょうさんの式を見てみましょう。1×1×3.14×12＝37.68は容器Ａに入っている水の量を表しています。底面積×水の深さ＝水の量となることから、水の深さは水の量÷底面積で求めることができます。したがって容器Ａの水を容器Ｂに移すと、容器Ｂの水の深さは37.68÷(2×2×3.14)＝37.68÷12.56＝3cmとなります。

　次にちさとさんの式を見てみましょう。はじめに底面積の比を求めます。容器Ａと容器Ｂの底面積の比は(1×1×3.14):(2×2×3.14)＝1:4となります。このことから容器Ａと容器Ｂの底面積の比を①:④とします。すると容器Ａに入っている水の量は、底面積が①、水の深さが12cmのため、①×12＝⑫となります。したがって容器Ａの水を容器Ｂに移すと、容器Ｂの水の深さは、⑫÷④＝3cmとなります。

　このように比も具体量と同じように扱うことができます。このときには、比で表すものが何で、具体量で表すものが何かを区別しましょう。

　次にひなたさんの式を見てみましょう。はじめに底面積の比を求めます。容器Ａの底面は半径は1cmの円で、容器Ｂの底面は半径2cmの円です。したがって、容器Ａの底面と容器Ｂの底面は相似で、相似比は半径の比が1:2のため1:2です。したがって容器Ａと容器Ｂの底面積の比は(1×1):(2×2)＝①:④となります。

　ここで容器Ａに入った水をすべて容器Ｂに移すと、はじめに容器Ａに入っていた水の量と移し変えた後に容器Ｂに入っている水の量は同じことに注目します。つまり、容器Ａに入っていた水の量と容器Ｂに入っている水の量を比べると1:1となります。ここで、水の深さは水の量÷底面積で求めることができるため、容器Ａの水の深さと容器Ｂの水の深さの比は(1÷①):(1÷④)＝④:①となります。ここで、④にあたる深さが12cmであることから、①にあたる深さは12÷4＝3cmとなります。したがって、容器Ｂの水の深さは3cmとなります。

　りょうさん、ちさとさん、ひなたさんの解法はそれぞれ違いますが、比を使うと3.14を用いた計算をすることなく答えを導くことができます。しかし、比を使った考え方の根底にあるのは具体量を使った解法です。すべての考え方はつながっているため、一連の流れとしてとらえておくとよいでしょう。入試では答えを具体量で求める場合もあれば、比で求める場合もあります。解法のプロセスの中で具体量を使うのか、比を使うのかは人それぞれで自由です。自分にあった解法を見つけましょう。

＊以下はステージⅣ・本科教室　答え6年の403ページから404ページの【解き方】にある面積図を見ながらお読みください。

　次に512ページの【状況1】を見てみましょう。水の入った容器に円柱の棒を沈めていきます。【状況1】を面積図で表してみましょう。はじめに容器を書きます。次に容器に10cmの深さまで水を入れます。容器の左側に容器の底面から水面までのところに10cmと書き込みましょう。次に棒を左端に容器の底面につくまで入れます。すると、はじめに水が入っていた部分に棒が重なります。この部分をアとします。

　棒を入れたことによってアの部分にあった水は移動したため、水面が上がります。上がった水面をはじめに水が入っていた部分の上に書き込みます。はじめの水面から上がった水面までの間にできる長方形をイとします。アの部分とイの部分の水の量は同じです。

　これで面積図は完成です。水量が変化する面積図は変化する前と変化するあとを意識して書くと図の特徴をつかむことができます。面積図に数値を書き込んでいきましょう。容器に棒を入れる問題では、横の長さのところに容器や棒の底面積を、縦の長さのとのころに水の深さを書いていきます。

　はじめに容器と棒の底面積の比を求めます。容器の底面は半径は10cmの円で、棒の底面は半径2cmの円です。したがって、容器の底面と棒の底面は相似で、相似比は半径の比が10:2のため5:1です。したがって容器と棒の底面積の比は(5×5):(1×1)＝㉕:①となります。このことを面積図に書き込むと、容器の底面の横の長さが㉕、棒の底面の横の長さが①となります。容器の底面積の比と棒の底面積の比の差は㉕－①＝㉔となることから、面積図の容器の底面積から棒の底面積を取り除いた部分に㉔を書き込みましょう。

　ここでアの部分とイの部分の水の量が同じことから、アの部分とイの部分の縦の長さの比を考えていきます。アの部分の横の長さは①で、イの部分の横の長さは㉔です。したがって、アの部分の縦の長さとイの部分の縦の長さの比は横の長さの逆比となることから、24:1となります(解答の面積図を確認しましょう)。

　このことから、はじめの容器の底面から水面までの長さと、水面が上がったあとの容器の底面から水面までの長さの比は24:(24＋1)＝24:25となります。比の24にあたる長さが10cmのため、比の1にあたる長さは10÷24＝10/24＝5/12となります。よって、比の25にあたる長さは5/12×25＝125/12＝10•5/12となります。

　したがって、棒を容器の底面につくまで入れたときの容器の底面から水面までの長さは10•5/12cmとなり、【状況1】に書かれていることと一致することがわかります。【状況2】についても同じように面積図を書いて考えてみましょう。

　「学び2」では水位変化のグラフについて考えます。はじめに容器に水を一定の割合で入れたときの容器の底面から水面までの高さと時間の関係について考えます。514ページの【状況1】を見てみましょう。はじめにグラフを読み取ります。aの部分は20分で水面が5cm上がっていることから、1分あたり5÷20＝0.25cm上がっていることがわかります。aの部分(水を入れ始めてから0分から20分の間)では一定の割合で水面が上がっていることがわかります。

　bの部分は30-20＝10分で水面が10－5＝5cm上がっていることから、1分あたり5÷10＝0.5cm上がっていることがわかります。 bの部分(水を入れ始めてから20分から30分の間)では一定の割合で水面が上がっていることがわかります。

　cの部分は35－30＝5分で水面が20－10＝10cm上がっていることから、1分あたり10÷5＝2cm上がっていることがわかります。cの部分(水を入れ始めてから30分から35分の間)では一定の割合で水面が上がっていることがわかります。

　このように一定の割合で水面が上がっていくとき、容器の形は柱体となります。また水を一定の割合で入れたときは底面積が大きいほど水面が1分あたりに上がる長さは小さく、底面積が小さいほど水面が1分あたりに上がる長さは大きくなります。水道から水を出してコップに水を注ぐ場合と、鍋に水を注ぐ場合で考えてみるとよいでしょう。したがってグラフのように水面の高さが変化する容器は左から3番目の円柱を3つ重ねた容器となります。

　次に水そうに一定の割合で水を入れたり、水そうから一定の割合で水を出したりするようすについて考えます。515ページの【状況2】を見てみましょう。水そうに毎分一定の割合で水を入れるＡ管と毎分一定の割合で水を出すＢ管がついています。はじめにＡ管を開きしばらくしてＢ管を開きます。はじめにＡ管を開くということは「はじめにＡ管だけを開いて水を入れる」ということです。しばらくしてＢ管も開くというのは「しばらくしてＡ管を開けたまま水を入れて、Ｂ管も開けて水を出す」ということです。つまりしばらくすると「水を入れる」ことと「水を出す」ことを同時に行います。

　グラフを読み取ってみましょう。Ａ管で水を入れ始めてからはじめの5分間で15L水が入っています。このことから1分あたり15÷5＝3L水が入ることがわかります。つまりＡ管では1分あたり3L水を入れます。

　次に水を入れ始めてから5分後から8分後について考えます。このときグラフは右下がりになっています。このことから、水を入れ始めてから5分後にＢ管で水を出し始めたことがわかります。水を入れ始めてから5分後から8分後の3分間で水は15－12＝3L減ることから、1分あたり3÷3＝1L減ることがわかります。

　ここで水を入れ始めてから5分後から8分後は水を入れながら水を出していることを思い出しましょう。Ａ管から1分あたり3Lの水が入ります。もし、Ｂ管から1分あたり3Lの水を出した場合、入る(出る)水の量は3－3＝0(ゼロ)Lとなり、水の量に増減はありません。このことから、Ｂ管から出る水の量がＡ管から入る水の量よりも多くなると、水の量が一定の割合で減ることがわかります。

　したがって、Ａ管から入る水の量よりもＢ管から出る水の量の方が多く、Ａ管から入れる水の量とＢ管から出す水の量の差が1Lであることがわかります。つまり、Ｂ管から出る水の量は1分あたり3＋1＝4Lとわかります。また、グラフで8分後から後を考えると、1分あたり1Lずつ水が出ることから、12Lの水がすべて出るのに12÷1＝12分かかることがわかります。したがって、Ａ管で水を入れ始めてから8＋12＝20分後に水はなくなります。

＊以下はステージⅣ・本科教室　答え6年の405ページ【解き方】にある図を見ながらお読みください

　次に仕切りのある水そうに水を入れる場合の水位変化のグラフについて考えていきます。516ページの【状況3】を見てみましょう。仕切りのある水そうに一杯になるまで水を入れます。

　516ページにある水そうを平面図で表すと答えの405ページの図のようになります。Ｂの部分に水を入れていくようすを想像しましょう。はじめにアの部分に水が入ります。次にＡとＢの間にある仕切りを乗り越えてイの部分に水が入ります。次にウの部分に水が入ります。次にＢとＣの間にある仕切りを乗り越えてエの部分に水が入ります。最後はオの部分に水が入ります。このように水は仕切りを乗り越えて隣の部分に入っていくことを意識しましょう。

　次にアからオの部分についてグラフを使って調べていきます。グラフは水を入れ始めてからの時間と「Ａの部分の水の深さ」の関係であることに注意しましょう。グラフではじめの10分間はＡの部分の水の深さが0cmであることから、アの部分に10分間水を入れたことがわかります。このことから、アの部分に入った水は、毎分20㎤の割合で水を入れるため、20×10＝200㎤となります。

　アの部分に水が入ったあとはイの部分に水が入り、Ａの部分の水の深さが増えます。イの部分に水が入るのは水を入れ始めて10分後から、グラフの傾きに変化のある20分後までです。水を入れはじめてから20分後にＡの部分の水の深さが4cmであることから、Ａの部分とＢの部分の間にある仕切りの高さは4cmであることがわかります。このときイの部分に入る水の量は、水を入れはじめてから10分後から20分後までの10分間で20×10＝200㎤であることがわかります。

　このときイの部分の体積について考えてみましょう。イの部分は直方体の形です。底面の縦の長さは10cm、高さはＡの部分とＢの部分の間にある仕切りの高さで4cmです。イの部分に入った水の量が200㎤であることから、横の長さを○cmとして体積を求める式を立てると10×○×4＝200となります。逆算の考え方を使って横の長さを求めると○＝200÷10÷4＝5cmとなります。

　また、アの部分も直方体で、縦の長さが10cm、高さが4cmで、アの部分に入った水の量は200㎤であることから、イの部分と同様に考えるとアの部分の横の長さは5cmとなります。

　ウの部分に水が入るのは水を入れ始めて20分後から、グラフの傾きに変化のある30分後までです。水を入れはじめてから30分後にＡの部分の水の深さが6cmであることから、Ｂの部分とＣの部分の間にある仕切りの高さは6cmであることがわかります。このときウの部分に入る水の量は、水を入れはじめてから20分後から30分後までの10分間で20×10=200㎤であることがわかります。

　ウの部分に水が入った後はＢとＣの間にある仕切りを乗り越えてエの部分に水が入るため、Ａの部分の水の深さは変化しません。したがって、エの部分に水が入るのは水を入れ始めて30分後から、グラフの傾きに変化のある45分後までです。このときエの部分に入る水の量は、水を入れはじめてから30分後から45分後までの15分間で20×15＝300㎤であることがわかります。

　このときエの部分の体積について考えてみましょう。エの部分は直方体の形です。底面の縦の長さは10cm、高さはＢの部分とＣの部分の間にある仕切りの高さで6cmです。エの部分に入った水の量が300㎤であることから、横の長さを○cmとして体積を求める式を立てると10×○×6＝300となります。逆算の考え方を使って横の長さを求めると○＝300÷10÷6＝5cmとなります。

　オの部分に水が入るのは水を入れ始めて45分後から、60分後までです。水を入れはじめてから60分後にＡの部分の水の深さが8cmであることから、この水そうの深さは8cmであることがわかります。このときオの部分に入る水の量は、水を入れはじめてから45分後から60分後までの15分間で20×15＝300㎤であることがわかります。

　このように仕切りのある水そうに水を入れる場合の水位変化について考えるときには「どの部分から水を入れたのか」「グラフはどの部分の深さを表しているのか」に注意しなければなりません。またグラフの傾きが変化するところに注目して、水が入っていくようすを平面図で表して考えていくとよいでしょう。わかることを1つひとつ書き出し、それを手がかりとして新しい情報を求めていきましょう。

　「学び3」では密閉された容器について考えていきます。517ページを見てみましょう。ふたがある高さが20cmの容器の体積を求めていきます。容器のようすを平面図で表したものが2つあります。影のついている部分が水1L(1000㎤)です。

　はじめに上の図から見ていきましょう。上の図で水の入っている部分に注目すると、高さは8cmです。この部分は円柱で、水の量が1000㎤であることから、底面積は1000÷8＝125㎠となります。次に下の図を見てみましょう。下の図で空気の入っている部分(水の入っていない部分)に注目すると、高さは20－13＝7cmです。この部分は円柱のため底面積は125㎠です。したがって空気の量は125×7＝875㎤となります。この容器の体積は水の量に空気の量を付け加えることによって求めることができます。したがってこの容器の体積は1000＋875＝1875㎤(1.875L)となります。

　このように密閉された容器を考えるときには水の入った部分に注目しがちですが、水の入っていない部分(空気の入っている部分)にも注目できるとよいでしょう。

　演習としては519ページから522ページは必修です。524ページ以降の問題は「学び1」から「学び3」の内容ごとに取り組むべき問題を紹介します。526ページの問5、問6、527ページの問7、528ページの問10、530ページの問13は「学び1」で学んだ水位変化の問題です。524ページの問1、525ページの問2、528ページの問9は「学び2」で学んだ水位変化とグラフの問題です。525ページの問3、問4、530ページの問14は「学び3」で学んだ密閉された容器の問題です。夏休み前の最終回の演習です。ぜひ取り組んでみましょう。

＜算数　5年生　第38回＞

　第38回のテーマは「割合　売買と割合」です。今回の内容は「売買の流れと用語の意味を理解する」「原価、定価、売値を線分図で表す」です。今回は売買算の基礎を学びます。はじめに学ぶ売買に関する一連の流れや用語はこのタイミングを逃すとじっくりと取り組む機会がありません。したがって、「学び1」で学ぶようにある商品を自分が売る立場になって、具体的な金額を考えながら、用語の意味をとらえるようにしましょう。

　売買の流れと用語を理解したあとは、割合を用いて定価や売値について考えていきます。このときに線分図に整理しながら考えていきます。線分図を書くときには、もとにする量と比べる量を意識したり、線の長さを考えたりしながら書きましょう。また、もとにする量が複数ある場合はもとにする量とくらべる量の組み合わせをしっかりと区別していきましょう。売買算において割合を使って線分図に整理していく方法は王道の解法です。しっかりと売買の考え方の土台を作っていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では「客の目線から店の人の目線へ」というテーマで店の人の立場になって売買を考えてみます。387ページの図を見て1個のスイカを客が買うところまでを具体的に考えてみましょう。これを読んでいるあなたはスイカを売っている店の店長です。朝、市場に行ってスイカを仕入れてきます。スイカを1個1000円で仕入れました。これを原価(仕入れ値)と言います。

　店に戻ってこのスイカに値段をつけます。市場に行くのに早起きをして、車で市場と店を往復したことでガソリンも使っているため、1000円で仕入れたスイカを1500円で売ることに決めました。このように店に出すためにはじめにつけた値段を定価と言います。

　ところが3日たっても売れないため、おいしいうちに食べてほしいという思いから、定価1500円のスイカを値引きして1200円で売ることにしました。これを売値(売価)と言います。するとスイカはその日のうちに売れました。このときスイカと引き換えに1200円を受け取りました。このように物を売って受け取ったお金のことを売り上げと言います。

　このスイカ1個は1000円で仕入れて、1200円で売ったため、利益(もうけ)は1200-1000＝200円となります。ここでは、原価、定価、売値、利益という言葉の意味をとらえることができればよいでしょう。

　「学び2」では売買と割合について考えていきます。「学び1」では具体量で定価や売値の値段を決めました。しかし、実際は多くの要素(この商品の売り上げを○○円にするという目標、ライバルのお店より安くしたいという思いなど)があるため、適当に値段を決めるのではなく、戦略的に決めていきます。

　その時に用いられるのが割合です。388ページの【状況1】を見てみましょう。原価500円で仕入れた品物に、原価の30％の利益を見込んで定価をつけましたとあります。「原価の30％の利益を見込んで」とあるため、ここでは原価を1として考えます。原価の30％は1×0.3＝0.3となります。このことを線分図に整理すると389ページの【状況1の図】のようになります。

　原価500円が割合の1にあたります。30％は割合の0.3にあたるため、原価の右側に0.3を付け加えます。すると定価の割合は1＋0.3＝1.3となります。割合の1にあたる部分が500円のため、定価(割合の1.3にあたる部分)は500×1.3＝650円となります。もしこの品物が定価で売れた場合、利益は定価から原価を取り除いて、650－500＝150円となります(利益は割合の0.3にあたるため、500×0.3＝150円と求めることもできます)。

　次に【状況2】です。定価3600円の品物を、2割引きにして売りましたとあります。これは「定価3600円の2割引き」と考えることができるため、定価を1として考えます。定価の2割は1×0.2＝0.2となります。このことを線分図に整理すると389ページの【状況2の図】のようになります。定価3600円が割合の1にあたります。

　2割は割合の0.2にあたるため、定価から0.2を取り除きます。すると売値の割合は1－0.2＝0.8となります。割合の1にあたる部分が3600円のため、売値(割合の0.8にあたる部分)は3600×0.8＝2880円となります。このことから、値引額は3600－2880＝720円となります(値引額は割合の0.2にあたるため、3600×0.2＝720円と求めることもできます)。

　次に390ページの【状況3】について考えてみましょう。はじめに原価4000円の品物に、原価の15％の利益を見込んで定価をつけましたとあります。この場合「原価の15％の利益を見込んで」とあるため、ここでは原価を1として考えます。原価の15％は1×0.15＝0.15となります。

　このことを線分図に整理すると390ページの左側の図のようになります。原価4000円が割合の1にあたり、15％は割合の0.15にあたるため、定価の割合は1＋0.15＝1.15となります(定価のところに1.15と書き込みましょう)。

　文章を続けて読むと、売れないので、定価の20％引きで売りましたとあります。このとき定価を1として考えます。定価の2割は1×0.2＝0.2となります。このことを線分図に整理すると390ページの右側の図のようになります。定価の2割引きは1－0.2＝0.8にあたるため、売値の割合は0.8となります(売値のところに0.8と書き込みましょう)。

　ここで注意しなければならないことは左側の線分図ではもとにする量が原価だったのに対して、右側の線分図ではもとにする量が定価となっている点です。したがって、右側の線分図では定価の割合1を①と表して、左側の線分図での原価の割合1と区別しています。

　左側と右側の2つの線分図をまとめると390ページ中央にある線分図のようになります。左側と右側の線分図は両方とも全体を定価としているため、長さがそろっています。割合から具体量を計算してみましょう。上の線分図で割合の1にあたる部分が原価4000円のため、定価(割合の1.15にあたる部分)は4000×1.15＝4600円となります。

　次に下の線分図を見てみましょう。定価が4600円となったことから、割合の1が4600円となります。このことから売値は割合の0.8のため、4600×0.8＝3680円となります。

　ここで、利益について考えましょう。原価は4000円で売値は3680円です。この場合原価よりも売値の方が安いため、4000－3680＝320円損をしたことになります。このように利益がないばかりか、損をしてしまった場合の金額のことを損失と言います。

　演習としては391ページから393ページは必修です。丁寧に線分図を書いて、割合や言葉、具体量を書き込みながら考えましょう。395ページの問1、396ページの問2、問3、397ページの問4～問7にも取り組みましょう。難易度の高い問題に取り組みたい場合は、398ページの問8、問9、399ページの問10、問11に挑戦してみましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。