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No.798 四谷大塚・早稲田アカデミー 6年生・5年生6月9日(日)組分けテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、6年生、5年生ともに第5位から第1位までのランキングのかたちにまとめました!
6年生、5年生ともに、このランキングを参考に復習を進めて、ぜひクラスアップを実現してください!応援しています!
また、6年生は攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。
問題は鉄人会のHPで公開しています。盤石の構えで組分けテストに臨むためにも、ぜひご活用ください!
予想問題はこちらのページで無料公開中です。

それではランキングの発表です。まずは6年生の第5位からです!

《6年 第3回組分けテスト》

【第5位 第6回から第8回の復習:立方体の切断のルールは覚えられていますか?】

点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。
・第6回 立方体の切断、回転体
・第7回 素因数分解の応用、わり算と余り
・第8回 旅人算と比、ダイヤグラム

【第4位 図形の折り返し:角度の関係から相似を利用できていますか?】

図形を折り返すと当然ですが、折り返す前の図形と折り返した後の図形は合同になります。辺の長さや角度の大きさが同じになるので、相似な図形ができることがあります。相似を意識しながら次の問題を解いてみましょう。

「AB=90cm、AD=66cmの長方形ABCDがあります。AB上にAE=54cmとなる点E、DC上にDF=32cmとなる点Fをそれぞれとります。次に、EFを折り目にして長方形ABCDを、ADがCの方向に近づくように折り返します。このとき、AEとBCの交点をG、ADとBCの交点をH、ADとCFの交点をIとすると、GA=9cm、GB=27cmとなりました。このとき、五角形EGHIFの面積は何平方cmですか。」

問題にしたがって図をかいてみると、三角形BEGと三角形AHGは2つの角度(角BGE=角AGH、角EBG=角HAG=90度)がそれぞれ等しいので相似になります。同様に、三角形AHGと三角形CHI、三角形CHIと三角形DFIがそれぞれ相似になります。この結果、三角形BEGと三角形AHGと三角形CHIと三角形DFIは全部相似になっていることがわかります。
次に長さを考えます。三角形BEGで、BE=90-54=36(cm)、EG=54-9=45(cm)と計算できるので、辺の比が GB:BE:EG=27:36:45=3:4:5 となります。相似な三角形の辺の比は等しいのでそれぞれの三角形で辺の長さを求めていきます。三角形AHGでは、AH=9×4/3=12(cm)、HG=9×5/3=15(cm)となります。三角形CHIでは、CH=66-(27+15)=24(cm)、CI=24×3/4=18(cm)、HI=24×5/4=30(cm)となります。三角形DFIでは、DI=32×3/4=24(cm)、FI=32×5/4=40(cm)となります。
五角形EGHIFの面積は、台形DFEAから三角形AHGと三角形DFIを引けば求まります。よって、(32+54)×66÷2-(9×12÷2+24×32÷2)=2400(平方cm)と求まります。
三角形の相似条件の「2つの角度がそれぞれ等しい」は、「ピラミッド型」や「クロス型」以外の相似のかたちによく使われます。図形の中から見つけ出せるように他の問題でも意識して探してみましょう。

【第3位 売買損益:「予定の利益」は正しく求められていますか?】
「リンゴを1個100円で何個か仕入れました。その中の、傷んでいた10個を捨てて、残りを1個150円の定価で売ることにしました。ところが、売れ残りそうだったので最後の20個は1個75円で売り、すべて売り切りました。このときの利益は全部で6000円でした。仕入れたリンゴの個数は何個ですか。」

という問題を考えてみましょう。
仕入れた個数がわからない問題では、「予定の利益」を考えると見通しが良くなります。例えば、仕入れた個数が全部売れて利益が全部で2000円だとすると、2000÷(150-100)=40(個)と簡単に求まります。これは予定通りにリンゴが1個売れたら150-100=50(円)の利益が出ることがわかっているからです。ですから「予定の利益」が重要になります。
ここで間違え易いのが、「傷んでいて捨てた10個のリンゴがもし売れたとしたら利益がいくら増えるのか」という点です。利益という言葉につられて、(150-100)×10=500(円)としてはいけません。なぜなら、複数の品物を売買するときの利益は、利益=売り上げの合計-仕入れの合計 で計算しているからです。つまり利益が6000円となっている段階で、すでに仕入れ金額はすべて引いた後になっています。そのため「増える利益=増える売り上げ」となります。ですから正しく増える利益を計算すると 150×10=1500(円) となります。また、同様に考えると値引きして売ったものを定価で売ったことにしても「増える利益=増える売り上げ」となることがわかります。
したがって、予定の利益は 6000+150×10+(150-75)×20=9000(円) となり、仕入れた個数は 9000÷(150-100)=180(個) と求まります。
複数の品物を売買する売買損益の問題では、「1個売れたら利益が何円になる」と考えると対応できない問題が出てきます。基本に戻って、利益=売り上げの合計-仕入れの合計 という考え方を徹底しましょう。

【第2位 ニュートン算:線分図を使って内容を整理できていますか?】

ニュートン算は条件を目で見えるかたちで線分図にまとめると、問題を理解し易くなります。線分図のかき方は、まず線分図を1本かいて途中で区切ります。区切った左側の上の部分に「はじめの量」を書き、次に右側の上に「増加分」を書きます。最後に線分図の下側全体に「減少分」を書くと完成です。問題に合わせてかき方を工夫していきましょう。

「ある牧場で、牛を9頭放牧すると20日で草がなくなり、15頭放牧すると8日で草がなくなります。この牧場に牛を25頭放牧すると、草は何日でなくなりますか。」

という問題を考えてみましょう。
牛1頭が1日に食べる草の量をマル1とし、1日に生えてくる草の量をシカク1とします。がマル1の何倍なのかを求めるのが最初の方針です。
わかっている状況が2つあるので、線分図を2本たてに並べてかきます。このとき「はじめの量」をそろえてかき、「増加分」は20日間草が生えたほうが長くなるようにかきます。すると線分図の長さに違いができるので、ここの部分の上に「増加分」の違いを、下に「減少分」の違いを書き込みます。上はシカク1×20-シカク1×8=シカク1×12となり、下はマル1×9×20-マル1×15×8=マル60となります。よって、シカク1=マル60÷12=マル5と求まります。次に「はじめの量」がマル1の何倍なのかを求めます。□=マル5を代入して計算すると、はじめの量=マル180-マル5×20=マル80となります。最後に牛25頭の場合を考えます。牛25頭が食べる量は1日にマル1×25=マル25ですが、生えてくる草の量が1日にマル5なので、牧場全体としてはマル25-マル5=マル20草が減ることになります。したがって、マル80÷マル20=4(日)と求まります。
ニュートン算の典型的な問題はこのように線分図を使ってあっさりと解くことができます。思考時間を大幅に減らせるので、ぜひ身につけてください。

【第1位 既約分数:すべての数を書き出してはいないですか?】

次の問題はシンプルですが、解き方を知らないと苦労する問題です。確認してみましょう。

「2と5の間で分母が24である既約分数は全部で何個ありますか。また、それらの分数の和を求めなさい。」

いきなり2から5まで考えないで、まずは0と1の間で考えます。24を素因数分解すると 2×2×2×3 となり分子が2の倍数または3の倍数のときに約分ができます。23÷2=11…1、23÷3=7…2、23÷6=3…5 となるので、約分できる個数は 11+7-5=15(個) です。したがって0と1の間で既約分数は 23-15=8(個) とわかります。具体的には、1/24、5/24、7/24、11/24、13/24、17/24、19/24、23/24 です。
では、2と3の間ではどうでしょう。実は、2・1/24、2・5/24、……2・23/24となり8個あります。3と4の間、4と5の間も同様に8個あります。
したがって、2と5の間の既約分数の個数は8×3=24(個)と求まります。
次に和を考えます。これも0と1の間を参考にします。よく見ると、1/24+23/24=1、5/24+19/24=1、7/24+17/24=1、11/24+13/24=1 と同じ数が 8÷2=4(組) できます。
この考え方を利用して、2と5の間の既約分数の和は、(2・1/24+4・23/24)×(24÷2)=84 と求まります。
既約分数の性質を上手く利用しています。解き方を知らないと差がついてしまう問題なので、しっかり復習して確実に身につけましょう。

《5年 第3回組分けテスト》

【第5位 第6回から第9回の復習:仕入れ値や利益などの言葉の意味は理解できていますか?】

点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。
・第6回 円・おうぎ形の公式、複合図形の面積・まわりの長さ
・第7回 食塩水の基本操作(食塩水を加える、水を加える、食塩を加える、蒸発させる)
・第8回 仕入れ値(原価)と定価と売り値と利益の関係
・第9回 差集め算の基本、取り違えの問題

【第4位 回転体:出来上がった立体をイメージできていますか?】

回転体を考える上で大切なのは、図をかいてどのような立体になるかイメージを持つことです。テスト等では、問題にかいてある図に少し手を加えるだけで求めたい立体の形が出来上がります。次の問題で練習してみましょう。

「AB=12cm、BC=6cm、CD=4cm、DA=10cmで角Bと角Cが直角になっている台形ABCDがあります。この台形ABCDを、辺ABを軸にして1回転してできる立体をP、辺CDを軸にして1回転してできる立体をQとします。このとき、PとQの体積の差は何立方cmですか。また、PとQの表面積の差は何平方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。」

では立体Pを作ってみましょう。まず台形ABCDをかきます。次に、辺ABが対称の軸になるように台形ABCDと線対称な台形を付け加えます。この時点で、辺の長さが頂点Aから時計まわりに10cm、4cm、12cm、4cm、10cmの五角形ができています。最後に頂点Cと頂点Dが移動した部分は円になりますので、円柱や円すいの底面の円に見えるように図に曲線をかきます。これで完成です。半径6cm、高さ4cmの円柱の上に、半径6cm、高さ(12-4=)8cm、母線10cmの円すいが乗っている立体になりました。
体積は、6×6×3.14×4+6×6×3.14×8×1/3=(144+96)×3.14=240×3.14となり、表面積は、6×6×3.14+6×2×3.14×4+10×6×3.14=(36+48+60)×3.14=144×3.14となります。まだ計算が続くので3.14の計算はやってはいけません。
同じように立体Qもやってみましょう。まず台形ABCDをかきます。次に辺CDが対称の軸になるように台形ABCDと線対称な台形を付け加えます。この時点で、辺の長さが頂点Dから時計まわりに10cm、12cm、12cm、12cm、10cmの一部がへこんだ五角形ができています。最後に頂点Aと頂点Bが移動した部分は円になりますので、円柱や円すいの底面の円に見えるように図に曲線をかきます。これで完成です。半径6cm、高さ12cmの円柱から、半径6cm、高さ8cmの円すいをくり抜いた立体になりました。
体積は、6×6×3.14×12-6×6×3.14×8×1/3=(432-96)×3.14=336×3.14となり、表面積は、6×6×3.14+6×2×3.14×12+10×6×3.14=(36+144+60)×3.14=240×3.14となります。
したがって、体積の差は336×3.14-240×3.14=(336-240)×3.14=96×3.14=301.44(立方cm)、表面積の差は240×3.14-144×3.14=(240-144)×3.14=96×3.14=301.44(平方cm)と求まります。
図のかき方が身に付けば得点源にもなります。頑張って練習しましょう。

【第3位 組み合わせの利用:場合分けは正確にできていますか?】
「0、1、2、3、4、5の6枚のカードがあります。この中から3枚のカードを並べて3けたの整数を作ります。偶数は何通りできますか。また、6の倍数は何通りできますか。」

という問題を考えてみましょう。
一の位が偶数なら、3けたの整数も偶数です。ここで百の位には0が使えないので次の3つの場合に分かれます。
(1) 一の位が0のとき
百の位には0以外の5通り、十の位には百の位と一の位に使った数字以外の4通りが考えられるので、全部で5×4=20(通り)
(2)一の位が2のとき
百の位には2の他に0も使えません。したがって4通り。十の位には百の位と一の位に使った数字以外の4通りが考えられるので、全部で4×4=16(通り)
(3)一の位が4のとき
(2)と同じ場合の数になるので、16(通り)
よって、3けたの偶数は20+16+16=52(通り)と求まります。
次は6の倍数を考えます。6=2×3なので、6の倍数は2の倍数であり、さらに3の倍数でもあることがわかります。つまり、「一の位が偶数で、さらに各位の数字の和が3の倍数である数」ということになります。手順ですが、まず3の倍数になることを確定させて、その3の倍数で偶数になるものを数えます。
・和が3のとき
(0、1、2) …… 120、210、102(一の位に使う数字を決めて調べています)の3通り
・和が6のとき
(0、1、5) …… 150、510の2通り
(0、2、4) …… 240、420、402、204の4通り
(1、2、3) …… 132、312の2通り
・和が9のとき
(0、4、5) …… 450、540、504の3通り
(1、3、5) …… 0通り
(2、3、4) …… 342、432、234、324の4通り
・和が12のとき
(3、4、5) …… 354、534の2通り
以上から、6の倍数は3+2+4+2+3+0+4+2=20(通り)と求まります。
このように倍数になるときの条件を整理して、手際よく調べられるように頑張りましょう。
また、6の倍数の求め方を理解すると応用ができます。例えば12=3×4なので、12の倍数は「各位の数字の和が3の倍数で、さらに下2けたの数が4の倍数か00」と考えられます。ぜひ6の倍数の考え方を覚えておきましょう。

【第2位 素因数分解の応用:素数ではない数で割り続ける問題に対応できていますか?】
「次のように、1から順に整数を100までかけた積をAとします。
 A=1×2×3×4×………×99×100
このとき、Aは一の位から0が何個連続してならびますか。また、Aを8で割り続けるとき何回目で商が整数でなくなりますか。」

という問題を考えてみましょう。
例えば、3×10=30とか320×10=3200のようにある整数を10倍するとその整数の末尾に0が1つ増えます。このことから、10をかけた回数がわかれば答えが求まることがわかります。ここで注意しなければいけないのは、10=2×5なので素因数分解をして2と5が1組あれば10が作れるということです。実際に1×2×3×4×5=120となり「10」をかけてなくても「2と5を1組」かけていれば末尾に0が増えていることが確認できますね。
あとは素因数分解したときの「2の個数」と「5の個数」を調べます。「2」は偶数に必ず入っているので、少ない方の「5の個数」を調べます。100÷5=20、100÷(5×5)=4となりAは一の位から0が20+4=24(個)連続して並ぶことがわかります。
次にAを8で割り続けることを考えます。これも先程と同じく「8」で割らなくても、8=2×2×2なので「2で3回」割れれば8で1回割ったことになります。
Aを素因数分解したときの2の個数を調べると、
100÷2=50、
100÷(2×2)=25、
100÷(2×2×2)=12…4、
100÷(2×2×2×2)=6…4、
100÷(2×2×2×2×2)=3…4、
100÷(2×2×2×2×2×2)=1…36
となり、2の個数は50+25+12+6+3+1=97(個)とわかります。97÷3=32…1なので「2×2×2」が32組作れることがわかります。したがって8で「割り切れる」回数は32回となりますが、今回は「割り切れなくなる」のは何回目かということなので、32+1=33(回目)と求まります。
このように素数ではない数で割り続けるときは、素数で割り続けるときと比べて少し考え方が異なります。どちらも重要な考え方ですので整理して考えて間違えないようにしましょう。

【第1位 場所を選ぶ:樹形図を使わない解き方を理解できていますか?】

予習シリーズ5年上第13回で組み合わせの公式を学習しました。ところがこの公式は「異なるN個のものから2個または3個を選ぶ」というもので、「同じもの」がある場合にはそのままでは使えません。そこで考え方を工夫する必要があります。次の問題を使って考えてみましょう。

「赤玉4個、白玉3個、黒玉2個の合計9個の玉があります。この9個の玉を1列にならべる並べ方は、全部で何通りありますか。」

この問題のポイントは、1列に並べるので「前から何番目の玉」という考え方ができる点です。全部で玉が9個あるので前から1番目の玉、2番目の玉、……9番目の玉と区別できるようになります。これを利用して玉の場所を考えていきます。
まず、黒玉の場所を考えます。玉を並べる場所が9カ所あり、そのうち2カ所を選んで黒玉を並べます。よって、9×8÷(2×1)=36(通り)です。次に、白玉の場所を考えます。残った7カ所の場所から、3カ所を選び白玉を並べます。したがって、7×6×5÷(3×2×1)=35(通り)
となります。赤玉は自動的に決まりますので全部で36×35=1260(通り)と求まります。
これらの問題を樹形図で考えることもできますが、かなり大変な作業になります。この考え方は応用できる範囲が広いので繰り返し練習して身につけておきたいですね。

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