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No.824 100分で偏差値を5上げる!早稲アカ・四谷大塚6年・5年 9/1組分けテストの戦い方

今回、偏差値アップの鍵となる重要ポイントは5つだけです!1つのポイントを20分で整理できるようにまとめてあります。皆さんの頑張りを無駄にはさせません!ぜひクラスアップを実現してください!応援しています!
6年生の方は、このポイントを身につけて、すでに公開中の予想問題に取り組めば、鬼に金棒です!
予想問題はこちらのページで無料公開中です。

《6年 第4回組分けテスト》

【第5位 規則性:決まりを見つけるための書き出しができていますか?】

 規則性の問題では、書き出して決まりを見つけることも重要な手筋の1つです。問題文を読んでもわからないときは手を動かして書き出してみましょう。

 「1より小さく、分母が2020である分数について考えます。このとき、既約分数は全部で何個ありますか。また、それらの分数の和を求めなさい。」

 という問題を考えてみましょう。
 2020を素因数分解すると 2×2×5×101 となるので、分子が2でも5でも101でも割れない数のときに、既約分数になります。
 問題文の条件では、分子は1から2019までの数ですが、2020/2020は約分できるので、分子を1から2020としても既約分数の個数は同じになります。
 分子について2、5、101の倍数の個数をそれぞれ求めます。ここで気をつけなくてはいけないのが、例えば10の倍数は2の倍数でもあり、5の倍数でもあるため、「2の倍数でもあり5の倍数でもある数」の個数は、(2の倍数の個数)+(5の倍数の個数)-(10の倍数の個数)で求められるということです。集合のベン図で考えるとよりわかりやすいでしょう。倍数の個数は以下のようになります。
2020÷2=1010 ……2の倍数
2020÷5=404 ……5の倍数
2020÷101=20 ……101の倍数
2020÷10=202 ……10の倍数(2の倍数でもあり、
           5の倍数でもある)
2020÷202=10 ……202の倍数(2の倍数でもあり、
           101の倍数でもある)
2020÷505=4……505の倍数(5の倍数でもあり、
          101の倍数でもある)
2020÷1010=2 ……1010の倍数(2の倍数でもあり、
                5の倍数でもあり、
                                101の倍数でもある)
1010+404+20-202-10-4+2=1220……約分可能な分数
以上より、既約分数の個数は 2020-1220=800(個)と求まります。
 また、既約分数を小さい方から順に書き出すと
   1/2020、3/2020、7/2020、……
となり、大きい順に書き出すと
   2019/2020、2017/2020、2013/2020、……
となります。分子に注目してよく見比べると、1+2019=2020、3+2017=2020、7+2013=2020 となっていて、和が2020になるように組が作れます。既約分数は全部で800個あるので、800÷2=400(組)作れます。したがって既約分数の和は(1/2020+2019/2020)×400=400と求まります。

【第4位 立体図形:公式が使えるように工夫をしてみましょう!】

 まずは公式の確認からやってみましょう。

 「三角すいO-ABCがあります。OA上にOP:PA=1:1 となる点P、OB上にOQ:QB=2:1 となる点Q、OC上にOR:RC=3:1となる点Rをそれぞれとります。このとき、三角すいO-PQRの体積は三角すいO-ABCの体積の何倍ですか。」

 (公式) 体積の割合は次の式で求まります。
    三角すいO-PQR/三角すいO-ABC
 =OP/OA×OQ/OB×OR/OC

 以上の公式より、1/2×2/3×3/4=1/4(倍)と求まります。
公式を確認したところで、次の問題を解いてみましょう。

 「四角すいO-ABCDがあります。OC上にOM:MC=1:1となる点M、OD上にON:ND=1:1となる点Nをそれぞれとります。このとき、四角すいO-ABMNの体積は四角すいO-ABCDの体積の何倍ですか。」

 先程の公式を使いたいところですが、四角すいのままでは使うことができません。そこで、公式を使える形に直すことを考えます。三角すいであれば公式が使えますから、四角すいを2つの三角すいに分けて考えましょう。
 3点O、A、Cを通る平面で四角すいO-ABCDを切って、三角すいO-ABCと三角すいO-ACDに分けます。すると公式より、
  三角すいO-ABM/三角すいO-ABC
   =1/1×1/1×1/2=1/2
  三角すいO-AMN/三角すいO-ACD
   =1/1×1/2×1/2=1/4
と計算できます。したがって、四角すいO-ABMN/四角すいO-ABCD=1/2+1/4=3/4(倍)と求まります。
 公式はとても便利ですが、使える条件が限定されていることが多いです。問題文の条件により直接公式が使えないときは、補助線を引いたり場合分けをしたりして、うまく公式が使えるように工夫してみましょう。

【第3位 文章題:わかりやすい具体例を自分でつくる解き方を試してみましょう!】
「長さ10mの2つの巻尺A、Bを使いPQ間の長さを測りました。巻尺Aで測った結果は39m、巻尺Bで測った結果は45mでした。この2つの巻尺には少しくるいがあり、巻尺Aと巻尺Bの長さを比べると、正しい物差しで1.4mの差がありました。このときPQ間の長さは何mですか。」

という問題を考えてみましょう。
 問題文を理解するために自分で具体例をつくって解き方を調べてみましょう。その場合はわかりやすい数字を使う方が調べやすいです。例えば、長さ10mの巻尺Cを考えます。この巻尺Cの実際の長さを9mとします。
 巻尺Cで測った長さが30mだとすると実際の長さは何mか考えてみましょう。巻尺Cを30÷10=3(回)使ったことがわかるので、実際の長さは9×3=27(m)だと求まります。もう1つやってみましょう。巻尺Cで測った長さが25mのときはどうでしょうか。同様に考えると25÷10=2.5(回)使ったことがわかります。したがって実際の長さは9×2.5=22.5(m)だと求まります。
以上のことから、「長さ=巻尺の実際の長さ×巻尺を使った回数」だとわかりました。
 では問題を解いていきます。
 巻尺Aの正しい長さをaとすると、巻尺Aを使った回数は 39÷10=3.9(回)ですから、PQ間の長さは a×3.9 となります。また、巻尺Bの正しい長さをbとすると、巻尺Bを使った回数は 45÷10=4.5(回)ですから、PQ間の長さは b×4.5 となります。したがってa×3.9=b×4.5 となり a×(39/10)=b×(9/2) なので、a:b=10/39:2/9=15:13 とわかります。比の1あたりが 1.4÷(15-13)=0.7(m)ですから、巻尺Aの正しい長さは 0.7×15=10.5(m)と計算できます。よってPQ間の長さは 10.5×3.9=40.95(m)と求まります。
 このように、問題文の内容を理解するために具体例を使って調べることは、初めて見るタイプの問題を考える上で必要です。難しい問題を考える手段の1つとして、ぜひ覚えておきたいところです。

【第2位 平面図形:面積比=高さの比を利用できるように視点を切り替えましょう!】

 次の問題を考えてみましょう。

 「1辺が12cmの正方形ABCDがあります。BC上にBE=4cmとなる点Eをとります。AEとBDの交点をF、DEとCFの交点をGとするとき、DG:GEとFG:GCをそれぞれ求めなさい。」

 図をかいて考えていきます。三角形ADFと三角形EBFはクロス型の相似になっていますから、DF:FB=12:4=3:1 となります。このことから、
  三角形CDFの面積=12×12÷2×3/4=54(平方cm)、
  三角形CEFの面積=12×12÷2×1/4×8/12=12(平方cm)とわかります。
 ここで「底辺の長さが等しい三角形において、高さの比と面積の比は等しい」という公式を使います。点DからCFに引いた垂線の足をH、点EからCFに引いた垂線の足をIとします。三角形CDFと三角形CEFにおいて、CFが共通な底辺と考えると高さの比は、DH:EI となります。よって、DH:EI=54:12=9:2 となります。
 また、三角形DHGと三角形EIGはクロス型の相似になっています。したがって、DG:GE=DH:EI=9:2 と求まります。
 今回の結果から、DG:GEを高さの比とみなして公式のように使えると便利です。
 同じようにFG:GCも求めてみましょう。
   三角形DEFの面積=4×12÷2×3/4=18(平方cm)、
   三角形DECの面積=8×12÷2=48(平方cm)
となります。
   三角形DEFと三角形DECのおいて、DEを共通の底辺と考えると、FG:GC=18:48=3:8 と求まります。
 今回紹介した公式は、補助線を引いて相似が作りにくい図形で威力を発揮します。身につけておくと、対応できる問題がかなり増えます。繰り返し練習してみましょう。

【第1位 速さ:道のりが一定の場合の、歩数と歩幅の関係を理解できていますか?】
 「P地点からQ地点に向かって動いている「動く歩道」があります。A君がP地点からQ地点に向かって、この歩道の上を一定の速さで歩くと28秒かかり、B君がP地点からQ地点に向かって、この歩道の上を一定の速さで歩くと36秒かかります。このとき歩かずに立ったままP地点からQ地点まで移動するのにかかる時間は何秒ですか。ただし、A君が4歩あるく間にB君は5歩あるき、A君が3歩であるく距離をB君は5歩であるくものとします。」

という問題を考えてみましょう。
 まずはA君とB君の速さの比を求めます。
 問題文の「A君が3歩であるく距離をB君は5歩であるく」は、道のりが一定のときなので、歩数の比と歩幅の比は逆比になります。よって歩幅の比はA:B=1/3:1/5=5:3となります。
 また問題文の「A君が4歩あるく間にB君は5歩あるく」は、時間が一定のときなので、道のりの比と速さの比は等しくなります。道のり=歩幅×歩数 で計算できるので 道のりの比は A:B=(5×4):(3×5)=4:3となり、速さの比も A:B=4:3となります。
 次にPQ間の道のりが一定なので速さの比は(A+歩道):(B+歩道)=1/28:1/36=9:7となります。差が一定なので比をそろえると
   A :B =4:3 → 8:6
  (A+歩道):(B+歩道) =9:7 → 9:7
 PQ間の道のりを 9×28=252 と決めると、立ったまま(歩道の速さのみで)P地点からQ地点まで移動するのにかかる時間は 252÷(9-8)=252(秒)と求まります。
 今回取り上げた問題は、理解が不十分なまま後回しになっていることが多い問題です。問題文の意味を1つ1つ考えて復習してみましょう。

《5年 第5回組分けテスト》

【第5位 数に関する問題:「互いに素」であることをしっかり利用しましょう!】

  予習シリーズ5年上の第1回や第14回で学習した内容です。倍数や約数、素因数分解などの基本事項の確認と、連除法を用いた典型的な問題の練習を中心に勉強していきましょう。

 「2けたの整数A、B(A<B)があります。この2つの整数の和は40、最大公約数は8です。この2つの整数を求めなさい。」

という問題を考えてみましょう。
 最大公約数が8なので、Aを8で割った商をa、Bを8で割った商をbとして連除法にまとめます。ここでaとbは互いに素であることが分かります。また、A=8×a、B=8×bとなるので、A+B=40という式が8×a+8×b=40、8×(a+b)=40、a+b=5と整理できます。aとbの組は(a,b)=(1,4)、(2,3)となります。よって (A,B)=(8,32)、(16,24)となりますが、AとBは2けたの整数ですから、(A,B)=(16,24)だけが答えとなります。
 今回取り上げた問題はいろいろなパターンがありますが、連除法を中心にして問題文の条件を使っていくと解くことができます。問題文の条件に当てはまらないものはしっかりと除外して、ミスをしないように注意しましょう。

【第4位 立体図形:「図形」と「数の性質」の複合型の問題に要注意です!】

 予習シリーズ5年上の第11回で学習した内容です。角柱の体積や表面積の求め方、円すいに関する各公式、回転体の図のかき方などを中心に勉強していきましょう。次の問題を使って円すいの公式を確認してみましょう。

 「母線が13cm、高さが12cmの円すいがあります。この円すいの表面積が282.6平方cmのとき、この円すいの体積は何立方cmですか。」

 半径を□cmとします。円すいの側面積を求める公式は「母線×半径×円周率」ですから、式を作ると13×□×3.14+□×□×3.14=282.6となり、□×(13+□)×3.14=282.6、□×(13+□)=90と整理できます。積が90になる整数の組は(1,90)、(2,45)、(3,30)、(5,18)、(6,15)、(9,10)と調べられ、このうち差が13になる組は(5,18)と分かります。したがって□=5となります。
 体積の公式は「底面積×高さ×1/3」ですから、5×5×3.14×12×1/3=100×3.14=314(立方cm)と求まります。
 円周率が絡む問題では、計算処理の仕方で難易度が大きく変化します。円周率はまとめて計算することを心掛けましょう。

【第3位 割合の文章題:売買損益での仮の利益の計算を間違えないように!】

 予習シリーズ5年上の第4回、第7回、第8回で学習した内容です。第4回では相当算、第7回では食塩水、第8回では売買損益を学習しました。必修例題や基本問題は復習して確実にできるようにしておきましょう。今回はこの中から売買損益の問題を取り上げます。

 「1個100円のリンゴを何個か仕入れましたが、いたんでいた18個は売りませんでした。残りのリンゴを定価160円ですべて売ったところ9120円の利益が出ました。仕入れたリンゴは何個ですか。」

という問題を考えてみましょう。
 複数の品物を売買したときの利益は「利益=売り上げの合計-仕入れの合計」で求めます。仕入れた個数を□個とすると「9120=(□-18)個の売り上げ-□個の仕入れ」となっていて、売った個数と仕入れた個数にズレが生じています。このズレを解消するために売らなかった18個がもし売れていたらと考えるのがポイントになります。このとき利益は160×18=2880(円)増えることになるのですが、ここで利益だからと(160-100)×18=1080(円)としないように注意しましょう。すでに9120円の利益を求めるときに仕入れは全部引いています。そのため二重に仕入れを引くことになってしまい計算が合わなくなってしまいます。したがって仕入れた□個が全部定価で売れたときの利益は 9120+2880=12000(円)となり、仕入れた個数は12000÷(160-100)=200(個)と求まります。
 売買損益の応用問題では「複数の品物の売買に関する問題」が多い傾向があります。繰り返し練習して考え方を身につけていきましょう。

【第2位 平面図形:図を自分でかく練習を徹底的にくり返しましょう!】

 予習シリーズ5年上の第3回や第6回で学習した内容です。N角形に関する各公式や、円とおうぎ形に関する各公式などはしっかりと確認しておきましょう。

 「AB=8cm、AD=10cmの長方形ABCDがあります。BC上に点P、CD上にDQ=2cmとなる点Qを取ります。三角形APQの面積が34平方cmのとき、BPの長さは何cmですか。」

という問題を考えてみましょう。
 図をかきながら考えていきましょう。長方形ABCDと点P、点Qを書き込みます。点PはBC上であればどこでも大丈夫です。次に補助線を引きます。点Pを通って辺ABに平行な直線を引き辺ADとの交点をRとします。今度は、点Qを通って辺ADに平行な直線を引き辺PRとの交点をSとします。ここまでで、四角形ABPRと四角形PCQSが長方形になっていれば、図はしっかりとかけています。
 面積を計算すると、長方形ABCD=8×10=80(平方cm)、三角形APQ=34(平方cm)、三角形AQD=2×10÷2=10(平方cm)となるので、三角形ABPと三角形PCQの面積の和は 80-(34+10)=36(平方cm)となります。三角形ABPは長方形ABPRの半分で、三角形PCQは長方形PCQSの半分なので、六角形ABCQSRの面積は 36×2=72(平方cm)と分かります。ここでQSを延長した線と辺ABとの交点をTとすると、長方形BCQT=6×10=60(平方cm)、長方形ATSR=72-60=12(平方cm)と求まるので、AR=12÷2=6(cm)となります。したがって、BP=6(cm)と求まります。
 平面図形は自分で図をかくことが重要です。図をかくためには問題文をしっかり読まなければかけませんし、図をかいて問題を解いているうちに図形に対する感覚も磨かれてきます。是非この機会に練習してみましょう。

【第1位 速さ:速さがわからなくても、「速さの和・差」で解ける問題があります!】

 予習シリーズ5年上の第16回、第18回、第19回で学習した内容です。速さの3公式はもちろん、旅人算の公式も使いこなせるようになるまで練習しておきましょう。特に旅人算では「速さの和」や「速さの差」に注目して考えられるようにしましょう。

 「1800mの池の周りをAさんとBさんは右回りに、Cさんは左回りに休まずに周り続けます。AさんとCさんが10分ごとに出会い、BさんとCさんが18分ごとに出会うとき、AさんはBさんを何分ごとに追い越していますか。」

という問題を考えてみます。
 3人の速さは全く分かりませんが、「速さの和」や「速さの差」に注目して考えていきます。AさんとCさんが10分ごとに出会いますから、AさんとCさんの速さの和は1800÷10=180(m/分)となり、同じように考えてBさんとCさんの速さの和は1800÷18=100(m/分)と分かります。A+C=180、B+C=100なので、AさんとBさんの速さの差は180-100=80(m/分)になります。したがって、AさんがBさんを追い越すのは1800÷80=22.5(分)ごとと求まります。
 速さの問題は公式を使えばすぐに解ける問題から、進行図をしっかりかかなければ解けないような問題まで幅広く出題されています。1つ1つ丁寧に解き直しをして、理解を深めながら学習していきましょう。

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