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No.847 100分で偏差値を5上げる!サピックス5年生11月15日(金)マンスリーテストの戦い方

 今回は「平面図形と比」の中で、面積比の問題に要注意です。相似という大事な単元を優先するあまり、高さ一定などの面積比の復習が手薄になってしまわないように気をつけてください。また、仕事算、流水算は図を使いこなせるかどうかが勝負の分かれ目になります。ランキングでご紹介する5つのポイントをしっかりおさえて、偏差値アップ、クラスアップを実現してください。応援しています!
 さらに、このメルマガは明日公開の予想問題と連動しています。これから紹介するランキングと予想問題を照らし合わせれば今度のマンスリーの勝者となれます!頑張ってください!
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【第5位 縮尺の問題:面積の単位は確実に覚えられていますか?】

 縮尺の問題では、計算を分数型で進めること、単位換算に注意することがポイントです。例えば、

「360a(アール)の広さは1/4000の地図上では何平方cmですか。」

といった問題。まず式の立て方ですが、
360×100×100×100÷4000÷4000=22.5(平方cm)
としてもよいのですが、分数のかたちにすると、0(ゼロ)をスムーズに消せるメリットがあります。
また、面積の単位(平方cm、平方m、a、ha、平方km)の換算が曖昧になっていないか、必ずチェックしておきましょう。せっかく計算ができても単位換算で間違えてしまっては、あまりにもったいないです。

【第4位 面積比①:同じ面積の部分に数値を記入して、等積関係を見やすくしましょう!】

 面積比で、三角形を同じ面積に分けるタイプの問題があります。例えば、

「下の図のように、三角形ABCの面積を3本の直線で5等分しました。ADの長さが4cmであるとき、 
DEの長さは何cmですか。」といった問題。

このタイプの問題は、高さが同じ三角形では、底辺の長さの比が面積比となることを利用して解き進めます。そこで、面積の比がわかりやすくなるように、同じ面積にあたる部分に①などの記号を記入していきます。右の図で、三角形ACDと三角形BCDは高さが共通で、面積の比が①:③より1:3となるので、AD:BD=1:3が求められます。ここでBDの長さが4×3=12(cm)となります。
同じように三角形DEFと三角形BEFを見ると、面積は①:①=1:1より、DE:BE=1:1となるため、DEの長さは、12÷2=6(cm)と求められるのです。
慣れてくれば記号の記入は不要になりますが、少しでも面積比の関係を見やすくするためにも、ぜひ記号の記入を実践してみて下さい。
 

【第3位 面積比②:辺の長さの比をかけ合わせるパターンは補助線なしで!】

 面積比で三角形を辺どうしを結ぶ線で分けるタイプの問題があります。例えば、

「下の図で、BPとCPの長さの比は2:3、AQとCQの長さの比は3:1、ARとBRの長さの比は1:2です。三角形PQRの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。」

といった問題です。

 解答の方針は、三角形ABCから三角形ARQ、三角形BPR、三角形CPQの面積を引いて、三角形PQRの大きさを比で表すことになります。
 ここで、三角形ARQが三角形ABCの何分のいくつかを求める際に、BとQを補助線で結んで考える方法があります。三角形ABQが三角形ABCの3/4、三角形ARQが三角形ABQの1/3より、三角形ARQは三角形ABCの3/4×1/3=1/4、と求める流れですが、できればこの式は補助線なしで求められるようにしておきたいところです。求める三角形の面積比がひとつであればまだしも、この問題のように3つの三角形で面積比を求めるとなると、左の図のように、線が渋滞を起こしてしまい、どの部分の面積を求めるのかが、わからなくなってしまいます。
 まずは補助線で面積比の求め方の流れを理解したうえで、できるだけ早い段階で、補助線なしで面積比を求められることを目指しましょう。

【第2位 仕事算:途中で1人が休むパターンは面積図で攻略できる!】

 仕事算の中で難度が高いタイプひとつが、次のようなタイプの問題です。

「ある仕事をするのに、A君だけでは12日、B君だけでは15日かかります。この仕事を、最初は2人で始めましたが、途中でA君が何日か休んだため、仕事を始めてからちょうど10日で終わりました。A君が仕事を休んだのは何日間ですか。」

 このように、途中で全体の仕事量が減るようなタイプの問題は、状況を具体的にイメージがしづらいこともあり、苦手とされるケースが多いです。こうした問題は慣れるまでは、図で内容を整理すると式が立てやすくなります。下のような図になります。

 上記のように仕事量を面積で表すことで、途中で1人が休む、といった状況も視覚的に把握できるメリットがあります。
 あとは、全体の仕事量を1とするよりも、12と15の最小公倍数である60とおくことで、分数計算をする必要がなくなり、計算ミスを起きづらくすることができます。
 マル60-マル4×10=マル20…A君だけが行った仕事量
 マル20÷マル5=4(日)…A君が仕事を行った日数
 10-4=6(日)として正解に行き着くことができます。
 慣れてくれば面積図をかく必要はなくなりますが、1人が休む、といった状況をイメージするために、ぜひ面積図をかく解法を試してみてください。 

【第1位 流水算:上り下りを瞬時に把握できるような図のかき方はできていますか?】

 流水算は、静水時の速さ、上り・下りの速さ、流れの速さの関係を線分図に表すことができれば、決して難しい問題ではありません。例えば「下りは上りの時よりも川の流れの速さが3倍になった」といった頻出のパターンも、線分図で流れの速さの部分を3倍に延ばせば、式をスムーズに立てることができます。
 むしろその前段階として、上りと下りの関係を正確に瞬時に把握できているかどうかをチェックしておく必要があります。特に問題文が長くなりがちな流水算ですので、上りなのか下りなのかという基本情報を把握できなくなってしまうことが起こり得ます。
そこで、下の左の図のように傾斜をつけた線分図をかいておくと、どちらの船が上るのかで迷うことがなくなります。すでに実践されている方々も多いかと思いますが、ちょっとした工夫で失点を防げる方法ですので、ぜひ試してみて下さい。

もう1点、流水算と旅人算が合わさった問題。

「川の上流にあるP町と下流にあるQ町の間を、A船がP町から、B船がQ町から同時に出発し、向かい合って進みます。P町とQ町は120km離れていて、A船とB船の静水時の速さは、それぞれ時速18kmと時速12㎞です。A船とB船が初めて出会うのは、出発してから何時間後ですか。」

 ここでA船とB船が1時間ごとに、18+12=30(㎞)距離を縮めることは、問題を見た瞬間に答えられるようにしておきましょう。A船、B船の速さの和の式をかけば、流れの速さが相殺されることは明らかです。ここはテストでも得点源にしたいところですので、テスト前にしっかり確認をしておきましょう。 
 問題の答えは、120÷(18+12)=4(時間)となります。

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