No.875 100分で偏差値を5上げる!サピックス新6年生2月11日(火)マンスリーテストの戦い方

 今回のマンスリーでの偏差値アップのポイントは、問題内容に合わせた正確な式を立てることです。ニュートン算や場合の数、平面図形など、今回のテスト範囲は多岐に渡ります。それぞれの単元について基本理解を徹底したうえで、考え方の方針を確立してから、正確に式を立てるという流れが求められます。特にニュートン算や速さのつるかめ算は、式の立て方が理解できなければ太刀打ちできない問題ですが、問題の出され方はパターン化されていますので、解法のプロセスさえしっかり固まれば攻略の糸口がつかめます。自分がかいた式の意味をもう一度確認して、式で出した答えをそのまま問題の答えにしてよいのか、徹底チェックを重ねることが、得点力の大幅アップに直結します!
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【第5位 速さ:つるかめ算を使った速さの応用問題に対応できていますか?】

 速さが途中で変わるタイプ問題で、次のように変わる前と後の速さ、道のりの合計、時間の合計が分かっている問題では、つるかめ算の考え方を使うことは、問題を見た瞬間に対応できるようにしておきたいところです。例えば次のような問題です。

「太郎君は7時にP地点を出発して12㎞はなれたQ地点に向かいました。出発してからは時速6㎞の速さで歩き、途中のR地点で10分間休み、R地点からは時速4㎞の速さでQ地点まで歩きました。太郎君がQ地点に到着したのが9時30分とすると、P地点からR地点までの道のりは何㎞ですか。」

 つるかめ算の考え方を使うことがわかれば、あとは「1本100円のボールペンと1本80円の鉛筆を合わせて20本買った時の合計代金が1760円でした。ボールペンは何本買いました」といった基本的な解き方は変わりません。注意するのは最後に何を求めるかです。今回のように道のりを求める場合には、式から得られた時間に速さをかけて求めますが、そこで使う速さを間違えないように注意しましょう。
 まず内容を整理すると、太郎君が歩いた時間の合計は、9時30分-7時-10分=2時間20分なので、上の左のようにまとめることができます。ここから式を立てます。なお、帯分数はa・c/bのかたちで表します。
 求める道のりはP地点からR地点までの道のりなので、太郎君が時速6㎞で歩いた時間を求めればよいことになります。上の右の図の面積図の斜線部の面積は、12-4×2・1/3=8/3(㎞)にあたりますから、8/3÷(6-4)=4/3(時間)が時速6㎞で歩いた時間なので、答えは6×4/3=8(㎞)と求められます。
 つるかめ算は式の立て方は難しくありませんが、要素を間違って選ぶ(この問題であれば、6×2・1/3-12という式を立ててしまう)ことがないように十分に注意しましょう。

【第4位 ニュートン算:線分図にできるだけ情報をかき込んで内容を整理しましょう!】

 ニュートン算は問題文が複雑なため、やりづらさを感じてしまいがちですが、線分図で内容を整理できれば、そこからの進め方は決して難しくはありません。線分図をかく練習をできるだけ重ねて、いかに慣れるかがポイントです。線分図をかく際には、問題で与えられた情報をできるだけかき入れて、問題内容を視覚的にも把握できるようにしましょう。
 例えば次のような問題。

「水の入った水そうに一定量の水を入れながら、排水口の1つを開くと15分で、3つを開くと3分で水そうは空になります。排水口を2つ開くと、何分で水そうはからになりますか。」

 排水口1つが1分間にくみ出す水の量をマル1(メルマガでは○の中に数字をこのように表します)、1分間に入れられる水の量をシカク1とします。ニュートン算の難しいところは、加わる量と減る量が同時に発生している点です。そこで、もともと水そうにあった量を「もともとの量」として、加わる量を一旦「もともとの量」に加えた後に、排水口からすべての量を流す、と考えます。線分図に「加わる」「減らす」(上の図のように加、減でもよいでしょう)とかき込んでおくと、その流れがよりわかりやすくなります。
 ここからは、マル1とシカク1のどちらかに統一することで、一気に正解に進んで行きます。
 線分図のの部分に注目して、をマルとシカク両方で表すことで下の式が表せます。
 ★=シカク15-シカク3=マル15-マル9より、
 シカク12=マル6
 シカク2=マル1
となります。
線分図の上の方で、もともとの量をシカクで表すと、
マル15-シカク15=シカク30-シカク15=シカク15
排水口2つで1分間に流す量はマル2=シカク4
入れられる水の量はシカク1
なので、シカク15÷(シカク4-シカク1)=5
より5分と求められます。
ニュートン算は上記のようなマルやシカクを使った式を立てられるかどうかがポイントです。そのためにも問題の内容を正確にとらえるために、「加わる」「減らす」といった言葉を含めて、できる限りの情報をかき込むようにしましょう。

【第3位 数の性質:N進法の問題に対応できていますか?】

 数の性質の中でもN進法の問題は苦手にしている生徒さんが多い単元です。普段使っている10進法との違いがわかりづらく、なかなか式が立てられないことで苦手意識を持ってしまっていると考えられます。例えば次のような問題に対応できているでしょうか。

「下の図のように、数字の0、1、2だけを使って0以外の整数を作り、左から小さい順に並べます。
1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,…
このとき、222は左から何番目ですか。」

 一見してN進法の問題とは見えない複雑そうな問題ですが、3以上の数を0、1、2の位を上げることで表すということから、この問題は3進法で表された222を10進法に直す問題であることにまず気づく必要があります。
 あとは上記のように、各位の下にそれぞれが何の位なのかを記入すれば、一気に解きやすくなります。N進法の問題は頭の中だけで解き進めようとすると、複雑さを極めてしまいます。求める数字の位が何の位なのかをかき出すことで、解法のきっかけを手にしましょう。
 この問題では、1の位、3の位、9(3×3)の位にそれぞれ2がありますので、9×2+3×2+1×2=(9+3+1)×2=13×2=26より、26が正解となります。
 N進法が苦手なお子様は、まずは今回の3進法のような、Nの値が小さなケースで練習を重ねて慣れを身につけるとよいでしょう。

【第2位 場合の数:2つの和が一定の組合せを計算で求められていますか?】

 場合の数の中で、ただあてはまるケースをかき出すのではなく、途中から計算を使って解き進められるタイプの問題があります。例えば次のような問題。

「1個120円のリンゴと1個100円の梨を合わせてちょうど2000円になるように買います。どちらも1個以上は買うものとすると、買う個数の組み合わせは何通りありますか。」

 この問題のように、単価と合計がわかっている問題では、表を使ってかき出す方法があります。確かにもれなく選び出せるメリットはありますが、より時間を短縮できる解法があります。
 まず、リンゴをA個、梨をB個買うとすると、以下のような式になります。
 120×A+100×B=2000
 ゼロが多くなりますので、両辺を10で割って少しでも数をスッキリさせましょう。
 12×A+10×B=200
 さらに両辺を2で割って、
 6×A+5×B=100
 で考えていきましょう。
 ここで、この式を満たすAとBの組み合わせを調べるのですが、(Aの個数、Bの個数)で表すとして、まず(0、20)が式を満たします。問題ではどちらも1個以上買う、という条件がありますので、答えには含まれませんが、解法のスタートとして、この組み合わせを使います。
ここから合計の200を変えずにAとBの組み合わせを変えていくには、Aの値が増えることによって6×Aが増える量と、Bの値が減ることによって5×Bが減る量が等しくなればよいのです。つまり、Aを5ずつ増やしてBを6ずつ減らせば、合計は変わらなくなります。
 そこであてはまる組合せは(0、20)(5、14)(10、8)(15、2)となり、このうち(0、20)は条件に合わないことから、答えが3通りと求められます。
 表にまとめて数を探すよりも、ルールをもって探す方がより速く正確に解くことができます。

【第1位 平面図形:同じ長さを2種の比で表した問題に対応できていますか?】

 平面図形で相似や面積比を用いて長さの比を求める問題がありますが、何本かの線が入り交じる次のような問題にはどのように対応すればよいでしょうか。

「下の図の平行四辺形において、BE:EF:FC=1:2:1、CG:GD=1:2です。このとき、DI:IH:HEを最も簡単な整数の比で表しなさい。」

 DI:IH:IEという3つの長さの比を一気に求めようとしても、なかなか糸口がつかめません。このようなタイプの問題では、全体を含める線分について異なる2つの比で表し、最後に値を調整する方針で進めると正解に行き着けます。
 具体的には、DH:HEの比、DI:IEの比をそれぞれ求めるのですが、そこで必要となるのが相似の関係の活用です。平行四辺形を様々な角度から見て、相似の関係にある図形を見つけることがポイントとなります。
 まず三角形EFHと三角形DAHが相似の関係であることから、DH:HEは三角形EFHと三角形DAHの相似比である4:2=2:1と求められます。
 次にDI:IEを求めるにあたって、もとの図のままでは相似の関係が見つかりません。そこで右の図のように、AGとBCを延長して交わる点をJとすると、三角形ADIと三角形JEIが相似の関係になり、相似比が4:(2+1+2)=4:5なので、DI:IE=4:5となることがわかります。
 ここからの仕上げがこの問題の肝となります。DEにおいてDH:HE=2:1、DI:IE=4:5から、下の図のように比の関係を整理することができます。

 2つの異なる比を統一するために、2:1の2+1=3と、4:5の4+5=9の最小公倍数である9に値をそろえて、DH:HE=2:1=6:3とします。これにより、DEの長さが9とすることができ、DI:IH:IE=4:2:3と求められるのです。
 相似の関係にある図を見つけ、比を和の最小公倍数にそろえるという流れは入試でもよく問われますので、しっかり理解しておきましょう。

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