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＜算数　5年上　第16回＞

　第16回は『速さ(2)』です。速さの3公式、往復の平均速度、ダイヤグラム、その他の速さの問題を学習します。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で、また帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、速度の3公式を使う問題です。速度の問題では単位換算が重要になります。時速○kmならば、時間の単位は時間を、距離(＝道のり)の単位はkmを使います。分速○mならば、時間の単位は分を、距離の単位はmを使います。基本的には、問われている単位にそろえて計算をします。単位換算では分数計算が多く行われます。正確な分数表記ができるように気をつけましょう。
(1) 時速□kmを求めますので、距離単位はkmを、時間単位は時間を使用します。1時間20分を時間単位で表すと、20分は20/60＝1/3時間ですから、速度＝距離÷時間の公式により、20÷1・1/3（1＋1/3を1・1/3と表すことにします）＝20×3/4＝15となりますので、時速15kmですから、□にあてはまる数は15となります。
(2) 分速ですので、3時間40分＝220分と分単位に換算します。距離＝速度×時間の公式により、60×220＝13200より、距離は13200ｍですが、km単位に換算して、□にあてはまる数は、13.2です。
(3) 時間＝距離÷速度の公式により、12.6÷36＝126/360＝7/20となりますので、7/20時間です。分単位に換算すると、60分×7/20＝21分より、□にあてはまる数は21です。

　「必修例題2」は、往復の平均速度の問題です。「往復の平均速度＝往復の距離÷往復の時間」となります。
行きと帰りの速度をたして2で割ることではありませんので、注意しましょう。もともと速度の計算は、動きはじめから速度が一定であるわけではなく、距離の合計を時間の合計で割るという平均の考えです。2つの平均をたして2で割っても全体の平均を求めたことにはなりません。例えば、3人の体重平均と2人の体重平均から5人の体重平均を求める場合でも、正しくは、5人の体重合計を5で割ることで求める、ということと同様です。
(1) 行きにかかる時間は、5÷12＝5/12時間で、帰りにかかる時間は、5÷3＝5/3時間です。5/12＋5/3＝5/12＋20/12＝25/12＝2・1/12より、2・1/12時間で、1/12時間は、60分×1/12＝5分ですから、往復にかかった時間は、2時間5分です。
(2) 先に述べた公式を使います。往復の距離＝5×2＝10km、(1)の結果より往復の時間＝2・1/12時間ですので、10÷2・1/12＝10×12/25＝24/5＝4.8より、往復した平均速度は、毎時4.8kmです。
　平均速度の問題は、間違えやすい問題ですので、しっかり身に付けておきましょう。

【攻略ポイント2】

　「必修例題3」は、ダイヤグラムの問題です。ダイヤグラムとは、たて軸に距離を表し、横軸に時間を表して、距離と時間の関係を表したグラフのことです。このグラフを読めるようにすることが、今後の速さの問題を解くうえで大切になってきます。グラフの直線が右上がりの部分は、時間とともに前に進んでいることを表しています（右下がりの場合は、後ろへもどることを表します）。グラフの直線が横軸と平行の部分は、時間がたっても距離が進まない、つまり、ある場所にとどまっていることを表しています。予習シリーズの問題にあるダイヤグラムを見ながら読み進めてください。
(1) グラフのaは、午前8時に出発した太郎君が、時速4kmの速度で3.2km進んだときの時刻を表しています。時間＝距離÷速さ です。3.2÷4＝0.8より、0.8時間＝48分ですから、aにあてはまる数は、8時＋48分＝8時48分です。
(2) グラフの読み方としては、直角三角形を作って読みます。走る部分のグラフを直角三角形の斜めの辺、横軸が底辺、たて軸が高さにあたる三角形として考えると整頓できます。たて軸(距離)は、5－3.2＝1.8kmで、横軸(時間)は、C地点で立ち寄っていた20分を入れた（8時＋48分＋20分＝）9時8分から9時17分までの、(17－8＝)9分間です。9分＝9/60時間ですから、速度＝距離÷時間 より、1.8÷9/60＝18/10×60/9＝12となりますので、走る速度は、時速12kmです。

【攻略ポイント3】

　「必修例題4」は、速さのつるかめ算の問題です。
　家から交番までを毎分70mの速度で歩き、交番から学校までを毎分50mの速度で行きますが、距離の合計は1200mで、時間の合計は20分とわかっています。速度×時間＝距離から、かけ算の関係が2つあり、積(かけ算の答え)の合計が与えられていて、かける数の合計が与えられていますので、つるかめ算の問題になります。家から交番までの距離を求めますので、この距離を進む時間がわかれば、答えを求めることができます。交番から学校まで行く速度である毎分50mで全体の距離を行くと仮定することからはじめます。(1200－50×20)÷(70－50)＝10より、家から交番まで、毎分70mの速度で10分かかったことがわかります。70×10＝700より、家から交番までの距離は、700mです。

　速度の問題は、中学入試において、出題される頻度が極めて高い分野です。また、応用の問題も今後も多く学習しますので、基礎をきちんと身に付けましょう。

＜算数　4年上　第16回＞

　第16回は『等差数列』です。等差数列とは、ある数に、一定の数を次々に加えたり、一定の数を次々に引いたりして、作られる数の列をいいます。たとえば、5に3を次々に加えてできる、5、8、11、14、…、のようなかたちが等差数列です。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、等差数列の□番目の数や、その逆で、〇という数は、何番目に出てくるかといった、基本の問題です。
　5、11、17、23、29、35、…、の数列は、はじめの数が5で、次々に6を加えてできた数列です。
(1) 15番目の数までに、6は15－1＝14回加えています。よって、5＋6×14＝5＋84＝89より、はじめからかぞえて15番目の数は、89です。
このように、加える数（この問題では、6）を何回加えたらよいかは、植木算の考え方で、間の数（この問題では、15番目までに間は14回）を考えることが重要です。
(2) 同様に考えて、5＋6×(□－1)＝125となりますので、逆算して、□番目を求めます。(125－5)÷6＋1＝20＋1＝21より、125は21番目の数です。

　「必修例題2」は、一定の数を、次々と引いてできている等差数列の問題です。
　170、164、158、152、…、8。2　の数列は、170をはじめの数として、6ずつ引いてできた数列です。
(1) はじめの数から最後の数までは、170－2＝168少なくなっていますが、6ずつ引いていますので、168÷6＝28回引いたことになります。ということは、間が28か所です。28＋1＝29より、全部で29個の整数を並べました。
(2) 29個の整数の真ん中は、29÷2＝14あまり1より、14＋1＝15番目です。15番目の数までに、間は14か所ですから、6×14＝84少なくなります。170－84＝86より、この数列の真ん中の数は、86です。
なお、真ん中とは平均と考えられることから、はじめの数と最後の数の平均として、(170＋2)÷2＝86と求めることもできます。

【攻略ポイント2】

　「必修例題3」は、等差数列の和を考える問題です。等差数列のはじめの数から□番目の数までの和を考えます。基本は、予習シリーズ121ページのエピソードにあるように、ガウス少年が考えた等差数列の和を求める公式です。ここで習う等差数列の和の公式は、これから他の単元でも利用することが多い、とても重要な公式です。予習シリーズ123ページ、必修例題3の前にある説明、[等差数列の和]の公式の成り立ちを徹底的に理解しましょう。
　6、10、14、18、22、…、150　の数列は、はじめの数が6で、4ずつ増えて、終わりの数が150になっている等差数列です。(150－6)÷4＝36より、間の数が36か所ですから、数は、36＋1＝37個並んでいます。
「等差数列の和＝(はじめの数＋終わりの数)×個数÷2」を利用して、(6＋150)×37÷2＝2886より、この等差数列の数をすべて加えると、2886です。

　「必修例題4」は、図形における等差数列の応用の問題です。
　長方形を1個作るとき、棒は6本使っています。長方形を2個作るときは、棒を4本増やしてでき、その後も、棒を4本ずつ増やすことで、長方形が1個ずつ増えていきます。したがって、長方形の個数が1個、2個、3個、…となるとき、棒の本数は、6、10、14、…と、はじめの数が6で、4ずつ増える等差数列になっています。
(1) 10番目の数は、6＋4×(10－1)＝42より、長方形を10個つなぐとき、棒は42本使います。
(2) 棒を90本使うときを考えます。6＋4×(□－1)＝90より、□＝(90－6)÷4＋1＝22ですから、22個の長方形をつないだときです。
このとき、図形全体では、たての長さは2cm、横の長さは22cmになりますので、(2＋22)×2＝48より、図形全体のまわりの長さは、48cmです。

　等差数列は、その他の数列の問題や、規則性の問題でもよく使われますので、きちんと使えるようにしておきましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。