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No.931 早稲アカ・四谷大塚4・5年生 予習シリーズ算数上 第19回対策ポイント

<算数 5年上 第19回>

 第19回は『旅人算とグラフ(2)』です。今回は、池のまわりのような円周上の旅人算、一定の距離を往復する旅人算を学習します。

【攻略ポイント1】

 「必修例題1」は、池のまわりを歩く旅人算です。
(1) P地点から、A君とB君が反対方向に進みます。2人の速度から、1分間に75+60=135mずつ(速度の和)離れていきます。8分で出会いますから、2人が8分間で進んだ距離の和が、池1周分になります。135×8=1080より、池のまわりの長さは1080mです。
(2) 2回目に出会うのも、また8分かかりますので、2回目に出会うのは、出発して(8+8=)16分後です。A君の進んだ距離で考えたとき、A君は75×16=1200m進んでいます。1200-1080=120より、P地点から120m先ですが、半周の1080÷2=540より短いですから、計算結果をそのまま答えとすることができます。答えは、P地点から120mのところです。

「必修例題2」は、公園のまわりを、同じ方向にA、B、Cの3人が進む旅人算です。
(1) 毎分70mの速さで歩くAと、毎分250mの速さの自転車で進むCが、同じ地点から同時に同じ方向に出発します。CがAに追いつくのは、CがAより、1周分多く進むときです。CはAより、1分間に250-70=180m(速度の差)多く進み、1周の長さは900mですから、900÷180=5より、CがAに追いつくのは5分後です。(2) Cは(5+4=)9分後にBに追いつきますが、この9分でBとCの進んだ距離の差が公園のまわり1周分つまり、900mです。よって、900÷9=100より、BとCの速さの差は毎分100mとわかります。CがBに追いつくということは、Cの方が速いということですから、250-100=150より、Bの走る速さは、毎分150mです。

【攻略ポイント2】

 往復の旅人算を学習します。往復する問題はこの後もよく出てきます。往復の動きを正確に理解するには、動きを表す線分図が有効です。予習シリーズ177ページの先頭にある説明および線分図をよく理解してください。特に、出会いのくり返し、追いこしのくり返しの際に、距離がどのように増えていくのかを線分図で理解してください。

「必修例題3」は、2人の登場人物(太郎君と花子さん)が、はなれた2地点から向かい合って往復する問題です。
(1) 1800m離れた2地点であるA地点とB地点から向かい合って同時に進みます。向かい合って進みますので、速度は和を考えます。1800÷(70+50)=15より、2人がはじめて出会うのは、15分後です。
(2) 予習シリーズ177ページの解説にある線分図を参照してください。2度目に出会うのは、1 度目に出会った後に、2人合わせて1往復したときです(ここがポイントです)。つまり、AB間の距離を2つ分進みます。1度目に出会うのは、2人合わせてAB間の距離を1つ分進むのにかかった15分ですから、2つ分では15×2=30分かかります。よって、スタートしてから、1度目に出会った時間の3倍ですので、15×3=45分後です。花子さんは45分で、50×45=2250m進みますから、2250-1800=450より、2人が2度目に出会うのは、A地点から450mのところです。
(3) 追いつく場合の問題です。はじめて追いつくのは、太郎君が花子さんより、AB間の距離を1つ分、つまり1800m多く進むときです(ここがポイントです)。1800÷(70-50)=90より90分後です。向かい合って進む場合、(1)、(2)で考えたように、1度目の出会いは15分後、その後30分ごとに出会いますので、90分までには、15分後、45分後、75分後の3回出会うことになります。

 整頓すると、離れた2地点から向かい合って往復する問題では、スタートして1度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を1つ分で、1度目の出会いから2度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を2つ分です(スタートしてからは3つ分)。ですから、時間も、スタートして1度目の出会いまでの時間を1とすると、1度目の出会いから2度目の出会いまでの時間は、2倍となります(スタートしてからは3倍)。

【攻略ポイント3】

 「必修例題4」は、ダイヤグラムの問題です。
(1) 前問と同様、離れた2地点から向かい合って往復する問題です。2度目の出会いは、スタートしてから1度目の出会いにかかる時間の3倍の時間がかかります。ダイヤグラムから、1度目の出会いは28分後です。よって、28×3=84より、aは84(分)です。
(2) AB間は、11.2kmです。2度目に出会うまでに、太郎君は11.2×2-3.5=18.9km進んでいます。この距離を84分で進みますので、18.9÷84/60=13.5より、太郎君の速さは時速13.5kmです。また、花子さんは、11.2+3.5=14.7km進んでいます。よって、14.7÷84/60=10.5より、花子さんの速さは時速10.5kmです。(分数は、分子/分母の形で表しています。)

 ダイヤグラムから折り返しの距離を求めることは、はじめのうちは難しく感じるかもしれません。それでも、慣れれば読み取れるようになりますので、くりかえし演習を重ねましょう。

<算数 4年上 第19回>

 第19回は『三角形の面積』です。三角形の面積計算は、基本的には正方形、長方形、平行四辺形の面積の、半分あるいは4等分を考えます。

【攻略ポイント1】

 「必修例題1」は、直角三角形の面積計算です。
(1) 直角三角形は、1本の対角線で長方形を2等分した図形です。よって、たて2cm、横7cmの長方形の面積を2でわります。4×7÷2=14より、この直角三角形の面積は、14平方cmです。
(2) 最も長い辺の長さがわかっている直角二等辺三角形は、2本の対角線で正方形を4等分した図形として考えます。よって、6cmを1辺とする正方形の面積を4でわります。6×6÷4=9より、この直角二等辺三角形の面積は、9平方cmです。

【攻略ポイント2】

 直角が1つもない、一般的な三角形の面積を求める公式を学習します。予習シリーズ146ページにある、公式の成り立ちを参照してください。基本は、1本の対角線で平行四辺形を分けた形が三角形である、と考えることです。平行四辺形の面積=底辺×高さより、「三角形の面積=底辺×高さ÷2」となります。また、平行四辺形の面積の求め方で学習したように、三角形においても底辺と高さは必ず垂直の関係になっていることを忘れないようにしてください。

 「必修例題2」は、一般的な三角形の面積をもとめる問題です。
(1) 底辺は12cm、高さは7cmですから、12×7÷2=42より、この三角形の面積は、42平方cmです。
(2) 底辺と高さは垂直の関係になっていなければならないので、底辺は9cm、高さは8cmです。よって、9×8÷2=36より、この三角形の面積は、36平方cmです。
(3) 直角二等辺三角形ですから、必修例題1の(2)と同様、8×8÷4=16より、この三角形の面積は、16平方cmです。
別の考え方もできます。8cmの辺を底辺として考えると、底辺に含まれない残りの1つの頂点から、この底辺に垂直になる線を引いて高さを作ることができます。この線によって、直角二等辺三角形は、大きさの等しい2つの小さな直角二等辺三角形に分かれます。そして、それぞれの等しい辺の長さは、8÷2=4cmになります。つまり、底辺8cmで、高さは4cmです。よって、8×4÷2=16より、面積は16平方cmと考えられます。予習シリーズ147ページの解き方(3)を参照してください。

 「必修例題3」も、一般的な三角形の面積を求める問題です。
 図の三角形の、最も長い辺を対角線とした平行四辺形を考えます。この平行四辺形は、底辺が6cmで、高さは、底辺と垂直の関係にある4cmとなります。ですから、三角形の面積として、6×4÷2=12より、この三角形の面積は、12平方cmです。
 この三角形のように、三角形の内側に高さがない場合の注意点をお話しします。三角形の高さは、1つの辺を底辺とし、その辺に含まれない1つの頂点から、この底辺に垂直になる線を引き、この線の長さを高さとします。ですが、この線は、底辺を延長した線と交わる線でもかまいません。あくまでも底辺と高さが垂直の関係にあることを、きちんと理解してください。「必修例題3」で底辺6cmに対する高さを5cmとしないように注意しましょう。予習シリーズ147ページの例題の前にある説明を参照してください。

【攻略ポイント3】

 「必修例題4」は、(面積公式の使えない)一般的な四角形の面積を求める問題です。このような場合は、三角形の面積を利用します。
(1) 四角形ABCDを三角形ABDと三角形CBDに分けて、三角形の面積を合計します。三角形ABDは、底辺10cm、高さ7cmですから、10×7÷2=35平方cmです。また、三角形CBDは、底辺10cm、高さ5cmですから、10×5÷2=25平方cmです。よって、35+25=60より、四角形ABCDの面積は、60平方cmです。
(2) 四角形AECDの面積は、台形ABCDの面積から三角形EBCの面積をひいて求めます。台形ABCDは、上底6cm、下底8cm、高さ5+5=10cmですから、(6+8)×10÷2=70平方cmです。三角形EBCは、底辺8cm、高さ5cmですから。8×5÷2=20平方cmです。よって、70-20=50より、四角形AECDの面積は、50平方cmです。

 多角形の面積は、前回に学習した四角形、今回学習した三角形を利用して面積計算をおこないます。これらの図形に分けて計算した上で合計して面積を求めるか、引いて面積を求めるかの2通りを考えて求めていきます。上級学年で学習する面積も、ここから始まりますので、きちんと身に付けておきましょう。

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