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第2回は『平均に関する問題』です。平均に関する公式は、平均＝数量の合計÷個数、とその逆算である、数量の合計(のべ量)＝平均×個数、があります。また、複雑な平均の問題では面積図を利用します。
平均の計算方法を確実に覚えたうえで、面積図が利用できるようにしましょう。また、和差算や、つるかめ算が混ざってきますので、問題内容を正確に整理するように心がけましょう。
公式の利用を学習します。上記の2つの公式どちらを利用するかを、すぐに判断できるようになることが目標です。
基本的な公式利用の問題です。
(1) 理科を含めた4教科の合計得点は、94＋82＋80＋86＝342点です。よって平均を求める公式の通り、342÷4＝85.5より、4教科の平均点は85.5点です。
(2) 平均点が81点ですから、数量の合計を求める公式の通り、4教科の合計点は81×4＝324点です。この合計点から、理科を除く3教科の得点を引きます。324－(94＋82＋86)＝62より、理科の得点は62点です。
身長の平均が2組与えられた問題です。
AとBの身長の和と差から、和差算を利用して、Aの身長を求めます。
A、B、C、D、Eの5身長合計＝身長平均×人数ですので、人の身長合計から、C、D、Eの3人の身長合計を引くと、AとBの身長合計となります。予習シリーズ18ページの解き方にあるように、同じアルファベットがたてに並ぶように式をかくと、差がわかりやすくなるので、ぜひ実践してください。
A＋B＋C＋D＋E＝152×5＝760cm、また、C＋D＋E＝149×3＝447cmより、AとBの身長合計は、760－447＝313cmで、差は3cmです。
和差算により、(313＋3)÷2＝158となり、Aの身長は、158cmです。
和と差が与えられたらすぐに和差算の式が立てられるように、練習を重ねておきましょう。
テストの平均点が3組与えられた問題です。
答えを求めるためには何が必要かを整頓して考えてみましょう。
AはBより10点高いことから、Aの得点はBの得点がわかれば求まります。BとDの平均がわかっているので、Bの得点はDの得点がわかれば求まります。Dの得点は、A、B、C、Dの4人の得点合計から、Dを除く3人の得点合計を引けば求まります。
ということで、4人の得点合計は、70.5×4＝282点、Dを除く3人の平均が73点ですので、3人の得点合計は、73×3＝219点です。このことから、Dの得点は282－219＝63点です。
BとDの平均が67点であることから、2人の得点合計は、67×2＝134点ですので、Bの得点は、134－63＝71点です。よって、71＋10＝81より、Aの得点は、81点となります。
この問題のように一見複雑な問題でも、答えから逆に必要な数量考えていき、与えられた条件につなげることで正解にいきつくことができます。
理解しておいてください。
テストの得点と人数の関係が表で与えられた問題です。
9点の人をA人、7点の人をB人として、A＋B＝40－(7＋11＋8)＝14人です。また、クラス全員の得点合計は、8×40＝320点で、表に出ている得点合計は、10×7＋8×11＋6×8＝206点です。
よって、320－206＝114より、9×A＋7×B＝114点です。得点が9点の人と7点の人の、人数合計と得点合計がわかった段階で、つるかめ算を利用できる、と思いつくように練習を重ねましょう。(114－7×14)÷(9－7)＝8より、9点の人は8人です。
少し複雑な平均の問題で、面積図を利用して求めます。
予習シリーズ21ページの解き方にある面積図を参照してください。面積図の仕組みは、たて×横＝(長方形の)面積の公式と、平均×個数＝合計の公式が同じ形であることを利用します。面積図がかけるよう、繰り返しトレーニングしましょう。
今までのテストの回数を□として、たてに今までのテストの平均の84(点)、横に□(今までのテストの回数)の長さの長方形をつくり、そのとなりに、次のテストの点数として、たてに100(点)、横1(回)の長方形をつなげてかきます。
この2つの長方形の面積の合計が、次のテストで、100点をとったときの合計得点となり、たて86、横が(□＋1)の長方形と同じ面積になるのです。面積が等しいのですから、たての100－86＝14に、横の1をかけた面積(図のa)と、たての86－84＝2に、横の□をかけた面積(図のb)は等しくなります。
つまり、14×1＝2×□という関係がわかります。
よって、14×1÷2＝7より、□は7ですから、テストは今までに7回あったことになります。
同じく、面積図を利用した解き方の問題です。前問と同様に、予習シリーズ21ページの解き方にある面積図を参照してください。
合格者の平均点を□(点)、不合格者の平均点を〇(点)として、たて□、横180(合格者の人数)とする長方形をつくり、そのとなりに、たて〇、横420(不合格者の人数)とする長方形をつなげてかきます。
この2つの長方形の面積の合計が、たて182(受験者全体の平均点)、横600(受験者全体の人数)の長方形と同じ面積です。
この問題では、たての70(合格者と不合格者のそれぞれの平均点の差)に横の180をかけた面積(図のa)と、受験者全体と不合格者のそれぞれの平均点の差である(182－〇)をたてとし、横の600をかけた面積(図のb)が等しくなることを利用します。
式に表すと、70×180＝(182－〇)×600となります。ここから、182－〇＝70×180÷600＝21を計算して、〇＝182－21＝161と求められます。
よって、161＋70＝231より、合格者の平均点は、231点です。
面積図はこれからも他の単元で利用することが多くありますので、かき方をしっかり理解しておくようにしましょう。
第2回は『計算のきまり』です。たし算・ひき算・かけ算・わり算の4種類の計算をまとめて、四則計算といいます。この四則とカッコ( )が混じった計算において、計算の順序には、きまりがあります。予習シリーズ16ページの説明をよく読んで、このきまりをしっかり覚えてください。
今後の算数の計算上とても重要な内容です。式を書くことで、逆算や計算のくふうが見つかります。途中式を必ず書くよう心がけてください。
四則混合計算です。
41－(19＋5)÷6
スタートは（ ）の中から計算します。
（ ）の中は、19＋5＝24です。その結果、41－24÷6となります。この後の計算は、ひき算よりわり算が先ですので、24÷6＝4となります。よって、41－4＝37より、答えは37です。
前問と同様に四則混合計算です。
70÷{27－(9＋4)}
かっこが2つ入っています。内側のかっこ( )を小かっこといい、外側のかっこ{ }を中かっこといいます。計算の順は、小かっこが先です。 スタートの計算は、（ ）の中からです。9＋4＝13です。
その結果、｛ ｝の中の計算は、27－13＝14です。最後に、70÷14＝5 より、答えは、5です。
逆算の問題です。注意すべきは、ひき算・わり算の逆算で、ひく数・わる数を逆算で求める場合です。
例えば、A－□＝Bの逆算は、□＝A－Bとなります。また、A÷□＝Bの逆算は、□＝A÷Bとなります。
逆算は今後のテストで、計算問題で出されるだけでなく、文章題の計算でも使われることがとても多い解法です。特にこの2つの逆算は、実際の中学入試問題でもよく出てくる形です。しっかり身につけてください。
(1) □＋23＝61は、□＝61－23＝38 より、□＝38 です。
(2) 56÷□＝4 は、□＝56÷4＝14 より、□＝14 です。
計算順序を考えた逆算の問題です。
57－□×8＝25
予習シリーズ19ページの解き方の1行目にあるように、計算順序を問題の式の上や下にメモしてすることをお勧めします。
□×8を1つのかたまりとして〇で表すと、57－〇＝25と表されますから、
〇＝57－25＝32です。よって、□×8＝32となります。
逆算をして、□＝32÷8＝4より、□は4です。
計算のくふうの問題です。くふうすることで、計算が早くなります。予習シリーズ19ページの計算法則を身に付けておきましょう。
(1) 83×25×4
25×4 を先に計算すると、25×4＝100 とまとまった数になります
その後、83×100＝8300 より、答えは、100です。楽に早くできました。
(2) 102×7
102＝100＋2 として、(100＋2)×7 を分配法則を利用して計算します。
(100＋2)×7＝100×7＋2×7＝700＋14＝714 より、答えは、714です。
(3) 29×62＋71×62
×62が共通にあるので、分配法則を利用してまとめることができます。
(29＋71)×62＝100×62＝6200 より、答えは、6200です。
これらの法則を身に付けておくと、計算が早くなることで、問題を解く時間が節約できますね。
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