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＜算数　5年上　第6回＞

　第6回は『円(2)』です。
　円とおうぎ形について、面積と、円周や弧（こ）の長さの求め方を学習します。
　円の計算では、円周率としての3.14という小数のかけ算や、分子を中心角の大きさ、分母を360度とする「中心角/360」という分数の形の(割合)計算が数多く使われます。ですから、計算上の注意も必要となります。
　なお、分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞

　公式を覚えることはもちろんですが、この公式を使う上で、どの部分が半径または直径なのかまた中心角が何度になるかの読み取りが重要となります。また，必修例題5にある、「はっぱ型（レンズ型）」の面積の求め方も重要です。

【対策ポイント1】

[必修例題1]

　円の中にある角度を求める問題です。
　円の半径はどこでも等しい長さですから、半径を使った三角形は二等辺三角形や正三角形になることを利用します。
(1) 半径であるOA＝OBより、三角形OABは二等辺三角形となるので、角OAB＝角OBA＝36度です。よって、180－36×2＝108より、ｘは108度です。
(2) (1)と同様に、半径であるOA＝OCより、三角形OACも二等辺三角形です。角OAC＝角OCA＝ｙで、外角の定理を利用すると、ｙ×2＝ｘ＝108となります。よって、108÷2＝54より、ｙは54度です。

　なお、直径を1辺として、その1辺の向いにある頂点が円周上にあるような三角形では、円周上の頂点の角が、必ず直角になります。
　この性質を利用して、(2)は別の解き方もできます。角BACは直角ですから、三角形ABCの残りの2つの角、角ABCと角ACBの和は、(180－90＝)90度になります。角ABC＝36度ですので、角ACB＝90－36＝54度となり、角CAO(＝y)=角ACB＝54度です。
　このように、円やおうぎ形の問題では直角三角形を利用する場面が多くありますので、理解しておきましょう。

[必修例題2]

　公式を使って円周や弧の長さを求める問題です。なお、直径に対する円周の長さの割合は一定で、この割合を円周率といい、およその数である3.14を使用します。
　予習シリーズ54ページ中央の二重線でかこんである、公式を覚えましょう。
(1) 円周の長さの求め方は、「直径(半径×2)×円周率」です。8×3.14＝25.12より、円周の長さは、25.12cmとなります。
(2) 弧の長さの求め方は、「円周の長さ×中心角/360」です。9×2×3.14×120/360＝6×3.14＝18.84より、弧の長さは、18.84cmです。

　このように、3.14を含む式では、3.14以外を計算した後で、最後に3.14の計算をするようにしましょう。効率よく計算でき、ミスも少なくなります。

【対策ポイント2】

[必修例題3]

　同じ大きさの円を重ねた図形の問題です。円に関係した角度の問題では、半径を新たにひいて考えることが多くあります。つまり、長さの同じ半径を使うことで、二等辺三角形や正三角形の性質を利用します。
(1) 直線PB、QBをひくと、AP＝AB（半径）、BA（AB）＝BP（半径）、AQ＝AB（半径）、BA（AB）＝BQ（半径）より、三角形APBも三角形AQBも正三角形になります。よって、角PAB＝角QAB＝60度です。60×2＝120より、角PAQの大きさは120度と求められます。
(2) 2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、円周の一部、つまり弧でできています。弧PBQの長さは、半径6cm、中心角(角PAQ)は120度であることを使って求めることができます。また、もう一方の弧PAQも同じ長さです。6×2×3.14×120/360×2＝8×3.14＝25.12より、2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、25.12cmです。

[必修例題4]

　公式を使って、円やおうぎ形の面積を求める問題です。予習シリーズ55ページにある説明を理解して、二重線でかこんである公式を覚えましょう。
(1) 円の面積の求め方は、「半径×半径×円周率」です。5×5×3.14＝25×78.5より、円の面積は78.5平方cmです。
(2) おうぎ形の面積の求め方は、「円の面積×中心角/360」です。4×4×3.14×135/360＝6×3.14＝18.84より、おうぎ形の面積は18.84平方cmです。

　繰り返しになりますが、このように、3.14の入った計算は、3.14以外を計算した後で、最後に計算します。

【対策ポイント3】

[必修例題5]

　円に関連した図形の面積を求める問題です。面積公式の成り立ちを理解して、公式を使えるようにしましょう。この問題の形は「はっぱ型（またはレンズ型）」といわれています。これは、四分円（円を4等分したおうぎ形）の面積から、直角二等辺三角形の面積を引いて求めた形を2つ合わせて、はっぱ（レンズ）の形になっています。予習シリーズ56ページの解き方にある図を参照してください。
　半径10cmの四分円の面積は、10×10×3.14×1/4＝25×3.14＝78.5より、78.5平方cmです。また、等辺(直角をはさむ2辺が等しい)が10cmの直角二等辺三角形の面積は、10×10÷2＝50より、50平方cmです。
よって、(78.5－50)×2＝57より、はっぱ形の面積は、57平方cmです。

　別の解き方も紹介しましょう。四分円を上下さかさまに重ね合せると、正方形の面積に、求めるはっぱ形の部分のみが二重に上積みされた形となります。そこで、はっぱ形の面積は、「四分円の面積2つ分から、正方形の面積をひく」という解き方でも求められます。

10×10×3.14×1/4×2－10×10
＝10×10×3.14×1/2－10×10
＝10×10×(1.57－1)
＝10×10×0.57＝57　として上記と同じ結果になります。

　まず面積公式の成り立ちをしっかり理解したうえで、慣れてきたら、このはっぱ形の面積は、正方形の1辺の長さを□とした場合、□×□×0.57で求められることも確認しておきましょう。ただし、この「×0.57」が成り立つのは、円周率が3.14の場合に限られます。円周率が3など、別の値で設定された場合は、数値が変わってきますので気をつけましょう。

　なお、3.14の計算についてですが、3.14に1けたの数をかけた計算結果は、覚えておくとよいです。また、中心角/360の約分結果も、120/360＝1/3、45/360＝1/8など、よく使われる中心角については覚えましょう。

＜算数　4年上　第6回＞

　第6回は『小数と単位』です。
　まずは、予習シリーズ52ページにある小数の仕組みを理解して覚えましょう。また後半の「単位」の問題は5年、6年になっても苦手とされる生徒が多い単元ですので、基本からしっかり固めておきましょう。なおここでは、分数は、分子/分母の形を使って表すことにします。例えば、10分の1は、1/10と表します。

＜今回のポイント＞

　今回の重要ポイントは「単位計算」です。今回は3種類の単位を学習しますが、今後もその他の単位も出てきますので、ここで小数のたし算・ひき算を使う単位の計算方法をしっかり学んでおきましょう。

【対策ポイント1】

[例題1]

　小数のしくみの問題です。
(1) 1が3個で3、 0.1が7個で0.7、 0.001が5個で0.005となります。これらの数を集める、つまり和を求めると、3.705です。
(2) 0.01が10個あつまると、0.1となりますので，24個のうちの20個で、0.2です。残りの4個は、0.01が4個ですから0.04です。合わせて0.24です。
(3) 1/1000は0.001ですから、0.001を683個集めることになります。小さい位から、0.001を3個，0.01を8個、0.1を6個集めることになります。合わせて0.683です。

【対策ポイント2】

[例題2]

　小数のたし算・ひき算の問題です。ここでは、注意点を説明することにします。
　小数のたし算・ひき算は、筆算において小数点を上下でそろえることが重要です。たし算では、計算結果で末尾（答えの右はし）に0(ゼロ)がある時は消すことを注意しましょう。
　ひき算では、ひく数（筆算で下の段におく数）のけたが、ひかれる数（筆算で上の段におく数）のけたより多いときは、ひかれる数の右に0をつけて、けたの数をそろえることがポイントです。
予習シリーズ55ページの解き方にある筆算を参照してください。

【対策ポイント3】

　長さ・重さ・かさの単位について学習します。単位は今後の算数の学習、テストの計算問題など様々な場面に出てきます。確実に習得できるまで、反復練習をしましょう。
　予習シリーズ55ページにある、単位についての説明を参照してください。
　特に、キロ（kの文字を使います）は、ある大きさの1000倍の大きさを表し、ミリ（mの文字）は、ある大きさの1/1000(＝0.001)の大きさを表すことを覚えておきましょう。つまり、1m(メートル)の1000倍の大きさである1000mは1km、1mの1/1000の大きさは1mm(ミリメートル)となります。
キロ，ミリの他、長さの単位では、1/100(＝0.01)の大きさを表すセンチ（cの文字）、かさの単位では、1/10(＝0.1)の大きさを表すデシ（dの文字）も使われます。これらも合わせて使えるようにトレーニングしましょう。

[例題3]

　長さ・重さ・かさの単位を学習します。
　予習シリーズ56ページの例題3の前にある，単位のなおし方をよく読んで理解しましょう。ここでは、小数点の移動によって単位をなおすことを説明しています。
(1) 1ｍ＝100㎝ですから、ｍ→㎝にかえるには、小数点を2つ右にうつします。よって，5.8ｍ＝580㎝です。
(2) 1000ｇ＝1kgですから、ｇ→㎏にかえるには，小数点を3つ左にうつします。よって，2700ｇ＝2.7㎏です。
(3) 1Ｌ＝1000mLですから、Ｌ→mLにかえるには、小数点を3つ右にうつします。よって，0.65Ｌ＝650mLです。

[例題4]

　単位のついた数量のたし算・ひき算です。それぞれの数量を、求める単位にそろえて、たし算・ひき算をします。
(1) 2800ｍ＋0.76㎞＝□ｍ、0.76㎞＝760ｍ より、2800＋760＝3560
よって，□＝3560です。
(2) 2.25Ｌ－1500mL＝□dL、1Ｌ＝10dL より、2.25Ｌ＝22.5dLです。また、1500mL＝15dLです。
よって、22.5－15＝7.5 より、□＝7.5です。

　小数のたし算・ひき算は思いの外、ミスする生徒が多いようです。筆算をていねいにするよう、心がけましょう。また、繰り返しになりますが、単位計算はこの回にできるだけ習得しましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。