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＜算数　5年上　第7回＞

第7回は『食塩水』です。食塩水（水に食塩を加えたもの）の重さをもとにする量として、その中にとけている食塩の重さを比べる量とする、割合の問題です。もとにする量となる食塩水の重さは、食塩の重さと水の重さの合計であることに注意しましょう。
また、濃さの単位は％ですが、計算上は、小数か分数を使用することにも注意が必要です(分数で計算するとスピードアップになります)。加えて、予習シリーズの各問題の解説にある図（ビーカー図とよばれます）を使って問題を整頓すると、理解が深まります。ビーカー図がかけるよう、トレーニングしましょう。
※分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞

　食塩水の問題では、食塩水，食塩、濃度の3要素のうち，何が変化しているのか、変化していないのかを見極めることが重要です。濃度などの変化の様子を把握するには、ビーカー図を書くことが効果的です。また、公式がきちんと使えることとともに、濃度を分数で計算することにより、スピードアップを図りましょう。

【対策ポイント1】

　公式を自在に使えるようにしましょう。

[必修例題1]

基本のトレーニングです。「食塩水の重さ×食塩水の濃さ＝食塩の重さ」を基本に整頓します。
(1) 食塩水の重さ(＝水の重さ＋食塩の重さ)に注意します。濃さを小数で□として整頓すると、(100＋25)×□＝25となります。□＝25÷125＝0.2と計算できますが、濃さの単位は％ですから、計算結果の0.2を100倍して％の単位にします。
よって、食塩水の濃さは20％です。
(2) 濃さは8％ですから、計算上8/100として、150×8/100＝12より、とけている食塩の重さは、12ｇです。
(3) 繰り返しますが、食塩水は水の重さと食塩の重さの合計ですから、水の重さを□ｇとして整頓すると、(□＋15)×6/100＝15となります。
□＋15＝15÷6/100＝250で、□＝250－15＝235より、水の重さは、235ｇです。
食塩水の重さを計算して答えとしないよう、注意しましょう。

【対策ポイント2】

　食塩の重さは変わらなくても、水の重さが変わると、濃度は変化することに注意しましょう。

[必修例題2]

食塩水に水を加える混合問題です。「水を加えても、食塩の重さは変わらない」ことに注目します。
(1) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、200×18/100＝36ｇです。
水を40ｇ加えるので、食塩水の重さは、200＋40＝240ｇになりました。
よって、36÷240＝0.15より、濃さは15％です。
(2) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、250×8/100＝20ｇです。加える水の重さを□ｇとして、整頓すると、(250＋□)×5/100＝20となります。
よって、250＋□＝20÷5/100＝400で、□＝400－250＝150より、加えた水の重さは150ｇとなります。

[必修例題3]

水を蒸発させる問題です。
前問と同様、「水を蒸発させても食塩の重さは変わらない」ことに注目します。
(1) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、250×6/100＝15ｇです。
50ｇの水を蒸発させますので、食塩水は、250－50＝200ｇになります。
よって、200×□＝15より、□＝15÷200＝0.075となりますので、濃さは7.5％になります。
(2) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、400×3/100＝12ｇです。
蒸発させる水の量を□ｇとすると、食塩水は、(400－□)ｇになりますので、(400－□)×5/100＝12と整頓できます。
よって、400－□＝12÷5/100＝240より、□＝400－240＝160ですから、蒸発させる水の量は、160ｇです。

[必修例題4]

食塩水に食塩を加える混合問題です。
「食塩を加えると、食塩水の重さも増える」ことに注意します。
(1) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、300×4/100＝12ｇです。
よって、食塩を20ｇ加えた後の濃さを小数で□として、整頓すると、(300＋20)×□＝12＋20となります。□＝32÷320＝0.1より、濃さは10％です。
(2) 初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、150×12/100＝18ｇです。
加えた食塩の重さを□ｇとして整頓すると、(150＋□)×20/100＝18＋□となりますが、これでは、□を求めることができません。
そこで、「変化していない水の重さに注目」します。食塩水全体の12％が食塩の重さでしたから、100％－12％＝88％が水の重さということになります。
150×88/100＝132ｇである水の重さは、食塩を加えた後の食塩水（濃さが20％）では、100％－20％＝80％になります。
加える食塩の重さを□ｇとして、水の重さについて整頓すると、(150＋□)×80/100＝132より、150＋□＝132÷8/100＝165で、□＝165－150＝15となります。
よって、加えた食塩の重さは15ｇとわかります。
このように、食塩水の問題では「変化していない量」に注目することに気をつけましょう。

【対策ポイント3】

[必修例題5]

食塩水どうしを混合させる問題です。
(1) それぞれの食塩の重さを求めて、食塩水の重さの合計、食塩の重さの合計から濃さを求めます。
食塩の重さは、200×4/100＝8、300×9/100＝27ですので、食塩の重さの合計は、8＋27＝35ｇです。
濃さを小数で□として整頓すると、(200＋300)×□＝35となります。□＝35÷500＝0.07より、2つの食塩水を混ぜてできた食塩水の濃さは、7％です。
(2) 食塩水200ｇの濃さを小数で□とすると、食塩の重さは200×□となります。もう一方の食塩水100ｇでは、食塩の重さは、100×5/100＝5です。
整頓すると、(200＋100)×7/100＝200×□＋5となります。300×7/100＝21より、21＝200×□＋5です。
よって、□＝(21－5)÷200＝0.08より、200ｇの食塩水の濃さは、8％でした。

[必修例題6]

食塩水のやりとりの問題です。
「やりとりの前後で変化していない量に注目」して解き進めて行きましょう。
こぼした食塩水と同じ重さの水を加えましたから、食塩水の重さは600ｇのままです。
初めの食塩水に含まれる食塩の重さは、600×15/100＝90ｇです。また、あとの食塩水に含まれる食塩の重さは、600×8/100＝48ｇです。
よって、こぼした食塩水にふくまれる食塩の重さは、90－48＝42ｇとなります。
こぼした食塩水の濃さは、初めの食塩水の濃さである15％ですから、42÷15/100＝280より、こぼした食塩水は280ｇです。

　食塩水の問題は、多くの中学校の入試問題に出題されています。基本の考えをしっかりと身に付けましょう。

＜算数　4年上　第7回＞

第7回は『分数の性質』です。予習シリーズ62ページの『分数の意味』をよく読んで、分数の意味と表し方を身につけてください。なお、ここでは分数は、分子／分母の形で表すことにします。

＜今回のポイント＞

　単位のついた分数と単位のついていない分数の違いをよく理解しましょう。また、分数のたし算・ひき算がミスなく早くできるよう、反復演習をしましょう。

【対策ポイント1】

[例題1]

分数の使い方の基本問題です。分数の表していることを考えます。
(1) 54Lの7/9 とは、54Ｌを9等分したものを7つ集めたものです。
よって、54÷9×7＝42より，42Ｌです。
(2) 3/7とは、7等分したうちの3つ分ということですから、1.4m＝140cmより、140÷7×3＝60となり、60cmが使った長さです。
よって、140－60＝80より、残っているリボンの長さは、80cmです。
どの単位で答えるのかにも注意しましょう。

【対策ポイント2】

　単位のついた分数を学習します。予習シリーズ63ページの例題の前に書かれている説明をよく読みましょう。

[例題2]

分数に単位のついた数量が何を表すか、を考える問題です。
(1) 3/5kgとは、1kgの3/5ということです。
1kg＝1000gですから、1000÷5×3＝600より、600gです。
(2) 2/3分とは、1分間の2/3ということです。
1分＝60秒ですから、60÷3×2＝40より、40秒です。

[例題3]

　同じ分数でも、単位のついた分数と単位のない分数の違いを考える問題です。
　間違いの多い内容ですので，しっかり理解しましょう。

　1.5ｍのテープがあります。
(1) このテープの2/5を使った残りの長さを求めます。
1.5ｍ＝150㎝ですから，150÷5×2＝60より、60㎝です。
よって， 150－60＝90 より，残りは90㎝です。
(2) 2/5ｍを使った残りの長さを求めます。
2/5ｍは、1ｍの2/5です。1ｍ＝100㎝ですから、100÷5×2＝40 より，40㎝使いました。
よって、150－40＝110より，残りは110㎝です。

【対策ポイント3】

　分数のいろいろな表し方を学習します。予習シリーズ65ページの説明をよく読んで、それぞれの関係を理解しましょう。

[例題4]

分数を、仮分数から帯分数へ、帯分数から仮分数へ直す問題です。
なお、帯分数は、（整数と分子/分母）の形で表します。
(1) 27/4とは、たとえば、1つの丸いケーキを4等分した1個が1/4で、これが27個あるということです。
1/4が4個で丸いケーキ1つとなりますから、27個を4個ずつの組に分けることにすると、27÷4＝6あまり3です。これは、丸いケーキが6つと、4等分したケーキが3個(＝3/4)あることになりますから、(6と3/4)個と同じことになります。
計算に注目すると、分子÷分母の計算をして、商（わり算の答え）が整数(の数)、あまりが、新しい分子(の数)になります。27/4＝6＋3/4＝(6と3/4)です。
(2) (3と2/5)は、3＋2/5です。1＝5/5ですから、整数の3は5×3＝15より、3＝15/5となります。
よって、1/5が15＋2＝17ありますので、(3と2/5)を仮分数になおすと、17/5です。
計算に注目すると、整数×分母(の数)＋はじめの分子(の数)＝新しい分子(の数)となります。

【対策ポイント4】

　分数のたし算・ひき算を学習します。予習シリーズ66ページの説明をよく読んで、計算の仕組みを理解しましょう。基本は、分母はそのままで、分子どうしをたし算・ひき算します。

[例題5]

分数のたし算・ひき算です。
(1) 5/7＋3/7の計算です。
分子のたし算で、5＋3＝8ですから、8/7となりますが、仮分数は帯分数にして答えます。
8÷7＝1あまり1より、1＋1/7＝(1と1/7)となります。
(2) (2と7/9)＋(5と4/9)の計算です。
帯分数のたし算は、整数どうしをたし算、分数どうしをたし算します。
整数どうしは、2＋5＝7です。
分数どうしは、分子のたし算で、7＋4＝11となり、11/9＝1＋2/9ですから、
7＋1＋2/9＝8＋2/9となり、(8と2/9)となります。
(3) 3－1/4の計算です。
整数と分数のひき算は、整数のうちの1を分数になおします。分母の4を使った分数で表すと、1＝4/4ですから、3＝(2と4/4)と表せます。
4/4－1/4の計算は、分子のひき算、4－1＝3ですから、3/4となり、残っている整数の2と合わせて、(2と3/4)となります。
(4) (4と2/7)－(1と5/7)の計算です。
帯分数のひき算は、整数どうしをひき算、分数どうしをひき算しますが、与えられた式のままでは分数部分のひき算ができません。
そこで、ひかれる数である (4と2/7) を、3＋(1と2/7)にして、(1と2/7)を仮分数にします。1＝7/7ですから、ひかれる数は、(3と9/7)と表せます。
結果として、(3と9/7)－(1と5/7)の計算です。
整数どうしは、3－1＝2です。分数どうしは、分子のひき算で、9－5＝4となり、4/7です。よって、(2と4/7)となります。

　仮分数を帯分数へ、帯分数を仮分数へ、また、たし算・ひき算など分数の作業は、「習うより慣れよ」、です。今後の算数の問題では、分数が多く使われます。計算トレーニングを数多くして、早くマスターしましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。