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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第10回は『文章題(2)』です。割合や比の入った文章題を学習します。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表記します。また、〇の中に数を入れた表示は、文字化けしますので、マル1 のように表します。
まずは、マルイチ計算が使えるように、トレーニングしましょう。また、割合を含むやり取り問題は、流れ図をかいた上で必ずマスターしておいてください。
マルイチ計算を使えるようにしましょう。
[必修例題1(2)]
相当算の問題です。
問題の整頓は、線分図を書きますが、予習シリーズ124ページの解き方にある線分図を参照してください。
はじめの折り紙の枚数をマル1とします。
1回目に使った折り紙の枚数は、(マル1/3＋5)枚となります。
この時の残りは、(1－1/3＝)2/3より5枚少なくなっていますので、残りは、(マル2/3－5)枚になります。
2回目に使った折り紙は、この残りの枚数の4/7より3枚多く使いました。つまり、(マル2/3－5)×4/7＋3で、分配法則によりかっこをはずすと、
マル2/3×4/7－5×4/7＋3＝マル8/21－20/7＋3＝マル8/21＋1/7 となります。
この後の残りが、マル1/5ですから、1回目と2回目に使った折り紙の枚数に残りを加えるともとの枚数になりますので、
マル1/3＋5＋マル8/21＋1/7＋マル1/5＝マル1 となります。
まとめると、マル(1/3＋8/21＋1/5)＋(5＋1/7)＝マル1から、マル32/35＋36/7＝マル1
よって、36/7÷(1－32/35)＝60 より、はじめにあった折り紙の枚数は60枚です。
この問題のように、複雑なマルイチ計算もできるようにトレーニングしましょう。解ける問題が増えます。
割合を含むやり取りの問題を学習します。
[必修例題2]
やり取りの問題です。
予習シリーズ125ページの解き方にあるやり取りの流れ図を参照してください。
自分でこの図が書けるようにしましょう。合計48個の栗は、やり取り後に3人が持っている個数が等しくなったということから、(48÷3＝)16個ずつになりました。
(1) Cにわたす前にBが持っていた個数は、流れ図のアの個数です。Cにそのとき持っていた個数アの3/7をわたしましたので、残りは(1－3/7＝)4/7ですが、これが16個です。残りの割合を考えることがポイントになります。
よって、16÷4/7＝28 より、アは28個でした。
(2) はじめにAは、持っていた個数イの1/5をBにわたしたので、残りは(1－1/5＝)4/5で、これが16個です。
16÷4/5＝20 より、Aのはじめの個数イは20個でした。
20個のうちの1/5をBにわたしたところ、Bは28個になったのですから、
28－20×1/5＝24 より、はじめにBが持っていた個数ウは、24個です。
倍数算を考えます。
[必修例題3(2)]
マルイチ計算による倍数算です。
倍数算は、和一定、差一定の他に、一定になるものが無い問題があります。この問題の解法として、マルイチ計算による解法を学習します。
はじめ、兄と弟の持っているカードの枚数の比は、4：1です。この枚数を使って進めます。兄は3枚なくしたので、(マル4－3)枚になり、弟は友だちから8枚もらったので、(マル1＋8)枚になりました。その結果5：3になったことから、比例式にすると、
(マル4－3)：(マル1＋8)＝5：3 と表されます。
比例式の性質（内項の積は外項の積に等しい）により、
(マル4－3)×3＝(マル1＋8)×5 より、マル12－9＝マル5＋40 となります。
ここで、線分図をかくとより理解できます。予習シリーズ126ページの解き方にある図を参照してください。
よって、マル(12－5)＝40＋9 ですから、マル1＝49÷7＝7 となります。
はじめに兄が持っていたカードの枚数は、7×4＝28 より、28枚です。
売買損益を考えます。
[必修例題5(2)]
複数個仕入れた場合の売買損益の問題です。
リンゴを1個60円で□個仕入れて販売します。
品物(リンゴ)が「完売(仕入れた個数がすべて売れた状態)の場合」には、1個の利益(売った値段－仕入れた値段)に仕入れ個数をかければ利益になります。つまり、(100－60)×□＝利益合計です。
この計算を利用するため、完売にした状態にして考えます。
そのため、捨てた15個も100円で売ったことにします。
100×15＝1500円の売り上げになりますが、その前に、仕入れ合計をすべて実際の売上合計から引いて利益(3300円)を計算してあるので、この1500円はすべて利益になります。
つまり、完売すると利益は、3300＋1500＝4800円になります。
(100－60)×□＝4800 より、□＝4800÷40＝120より、仕入れた個数は、120個です。
第11回は『柱体とすい体』です。
底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱などを柱体といいます。また、同じく底面の形が円や三角形、四角形、などで、上にのびるにつれて細くなり、最終的に点になる立体である円すい、三角すい、四角すいなどをすい体といいます。これらの立体の体積や表面積を学習します。予習シリーズの99ページ、101ページ、102ページにある、公式の説明を理解しましょう。なお、分数は、分子/分数の形で表します。
公式を完全に自分のものとしてください。また、公式の要素が、問題ではどの部分なのかを理解して進めましょう。
[必修例題1]
角柱の体積、表面積を求める問題です。
台形の部分を底面とすることにより、太さの変わらない角柱として考えることがポイントになります。
体積も表面積も、計算に底面積を使用するので、まず、底面積である台形の面積を求めておきます。(5＋8)×4÷2＝26より、台形の面積は26平方cmです。
(1) 角柱の体積を求める公式は、「底面積×高さ」です。高さは6cmですから、26×6＝156より、この立体の体積は、156立方cmです。
(2) 角柱の表面積を求める公式は、「底面積×2＋側面積」です。
角柱の側面積は、展開図から考えると、底面1周の長さを横の長さとし、角柱の高さをたての長さとする長方形になります。ですから角柱の側面積は、「底面1周の長さ×高さ」ということになります。底面1周の長さは、4＋8＋5＋5＝22cmですから、角柱の側面積は、22×6＝132平方cmです。
よって、底面積である台形の面積が2つと側面積を合計して、26×2＋132＝184より、この立体の表面積は184平方cmです。
[必修例題2]
円柱の体積、表面積を考える問題です。
柱体は、円柱も角柱も体積、表面積の求め方は同じです。まず、底面積である円の面積を求めます。底面積は、4×4×3.14＝(16×3.14)平方cmです。
3.14のついた数量は、3.14をまとめてから計算しますので、(16×3.14)のままにしておきます。
(1) 高さは6cmですから、16×3.14×6＝96×3.14＝301.44より、この円柱の体積は、301.44
立方cmです。
(2) 側面積は、「円周の長さ(底面1周の長さ)×高さ」です。高さは6cmですから、側面積は、4×2×3.14×6＝(48×3.14)平方cmです。よって、(16×3.14)×2＋(48×3.14)＝(32＋48)×3.14＝80×3.14＝251.2より、この円柱の表面積は、251.2平方cmです。
繰り返しますが、円に関連する計算では、円周率である3.14の計算は、まとめて計算することで、ミスも少なくなり、迅速に解答につながります。
[必修例題3]
展開図から、組み立ててできる立体の体積を求める問題です。
辺の長さに注目して組み立てると、組み立てた立体は三角すいとなります。すい体の体積を求める公式は、「底面積×高さ×1/3」です。
1/3をかける前の計算は、円柱や角柱である柱体の体積計算と同じであることを確認してください。同じ大きさの底面と、同じ高さをもつ柱体の体積を、1/3倍すると、円すいや角すいであるすい体の体積になります。
問題を解きます。底面は、底辺が6cm、高さが9cmの三角形ですから、底面積は6×9÷2＝27平方cmです。高さは底面から頂点まで垂直にはかった長さですので、6cmです。よって、27×6×1/3＝54より、この立体(三角すい)の体積は、54立方cmです。
すい体の体積を求める際には、高さがどの長さになるかによく注意してください。
円すいの展開図の問題です。
[必修例題4]
円すいの展開図において、母線(＝側面のおうぎ形の半径)の長さ、円すいの表面積を考える問題です。
問題に入る前に、大切なことを説明します。予習シリーズ102ページの解説を参考にしてください。
展開図を組み立てると、底面である円の円周（aとする）と、側面であるおうぎ形の弧の長さ（bとする）は重なりますので、同じ長さです。つまり、a＝底面半径×2×3.14と、b＝母線×2×3.14×(中心角/360) は等しくなります。a、bのどちらにも使われている(2×3.14)をなくしても、等しくなりますので、底面半径＝母線×(中心角/360)です。このことから、「底面半径/母線＝中心角/360」や「底面半径/母線×360＝中心角」という関係が成り立ちます。きちんと理解しておきましょう。
側面であるおうぎ形の面積（半径は、母線という言葉を使います）は、
側面積＝母線×母線×3.14×(中心角/360) という計算になります。
上に述べましたように、中心角/360＝底面半径/母線となりますので、この式は、
側面積＝母線×母線×3.14×(底面半径/母線)となり、母線どうしを約分して、結果として、「側面積＝母線×底面半径×3.14」という公式ができます。
ここに記した関係（公式）は、大切ですので、しっかり理解してください
(1) 母線の長さを□cmとして、底面の半径は5cmですから、5/□＝120/360となります。120/360＝1/3＝5/15です（5/□の分子5にそろえました）。
よって、□＝15になりますので、母線の長さは15cmです。
(2) 円すいの表面積は、「底面積＋側面積」です。底面積は円ですから、5×5×3.14＝(25×3.14)平方cmです。側面積は、公式により、15×5×3.14＝(75×3.14)平方cmです。よって、(25＋75)×3.14＝100×3.14＝314より、円すいの表面積は、314平方cmです。
まずは、公式をしっかり使えるようトレーニングしてください。
第11回は『三角形の面積』です。
三角形の面積計算は、基本的には正方形、長方形、平行四辺形の面積の、半分あるいは4等分を考えます。
面積計算の公式を使えるようにすることがポイントですが、その要素である底辺と高さは、垂直になっていなければならないことを忘れないでください。
直角三角形の面積を求める計算を学習します。予習シリーズ100ページの説明を理解しましょう。
[例題1]
直角三角形の面積計算です。
解き方の図を参照してください。
(1) 同じ直角三角形を2つ組み合わせて長方形として、その面積を半分(÷2)にします。よって、たて4cm、横7cmの長方形の面積を2で割ります。
4×7÷2＝14 より、この直角三角形の面積は、14平方cmです。
(2) 同じ直角三角形を2つ組み合わせると正方形になります。その面積を半分にします。
6×6÷2＝18 より、この直角三角形の面積は、18平方cmです。
(3) 同じ直角三角形を4つ組み合わせると正方形になります。その面積を4等分します。
6×6÷4＝9より、この直角二等辺三角形の面積は、9平方cmです。
直角三角形ではない(直角のない)、普通の三角形の面積を求める計算を学習します。
予習シリーズページ102ページの説明をしっかり理解しましょう。
基本は、1本の対角線で平行四辺形を分けた形が三角形である、と考えることです。平行四辺形の面積＝底辺×高さより、「三角形の面積＝底辺×高さ÷2」となります。
また、平行四辺形の面積の求め方で学習したように、三角形においても底辺と高さは、必ず垂直の関係になっていることを忘れないようにしてください。
[例題2]
一般的な三角形の面積をもとめる問題です。
(1) 底辺は12cm、高さは7cmです。
12×7÷2＝42より、この三角形の面積は、42平方cmです。
(2) 底辺と高さは垂直の関係になっていなければならないので、底辺は9cm、高さは8cmです。
よって、9×8÷2＝36より、この三角形の面積は、36平方cmです。
(3) 6cmの辺を底辺として、この辺をのばした直線に垂直な4cmが高さになります。
よって、6×4÷2＝12より、この三角形の面積は、12平方cmです。
高さを5cmとしないように注意しましょう。
公式の使えない図形の面積を求める考え方を学習します。
公式が使える図形に分けたり(分割したり)、図形を付け加えた面積から付け加えて面積を引いて求める問題を考えます。
[例題3]
（面積公式の使えない）一般的な四角形の面積を求める問題です。
2通りの求め方を説明します。予習シリーズ104ページの解き方にある図を参照してください。この図の頂点の記号を使って説明します。
(求め方1)
四角形ABCDを三角形ABCと三角形ADCに分けて、三角形の面積を合計します。
三角形ABCは、底辺5cm、高さ8cmですから、5×8÷2＝20平方cmです。
また、三角形ADCは、底辺6cm、高さ5＋5＝10cmですから、6×10÷2＝30平方cmです。
よって、20＋30＝50より、四角形ABCDの面積は、50平方cmです。
(求め方2)
四角形ABCDの面積は、台形AECDの面積から三角形BECの面積をひいて求めます。台形AECDは、上底6cm、下底8cm、高さ5＋5＝10cmですから、(6＋8)×10÷2＝70
平方cmです。
三角形BECは、底辺8cm、高さ5cmですから。8×5÷2＝20平方cmです。
よって、70－20＝50より、四角形ABCDの面積は、50平方cmです。
多角形の面積は、前回に学習した四角形、今回学習した三角形を利用して面積計算をします。多角形を、四角形や三角形に分けて計算した上で合計して面積を求めるか、引いて面積を求めるかの2通りを考えて求めていきます。上級学年で学習する面積も、ここから始まりますので、きちんと身に付けておきましょう。
やや難しい問題を考えます。
[例題4]
面積計算の逆算を考えますが、その面積がわからない問題です。
長方形のたての長さ(6＋3＝)9cmを高さとして、□を底辺とする三角形がみえます。この三角形の面積がわかれば、□は求まります。
この三角形の一部である、色のついていない部分の三角形をウとします。このウは、アの部分と合わせると、底辺12cm、高さ6cmの(直角)三角形になります。
三角形アと、四角形イは面積が等しいので、それぞれに三角形ウを加えると、
ア＝イ より、ア＋ウ＝イ＋ウ となり、2つの三角形の面積は等しいことになります。式にすると、
12×6÷2＝□×9÷2 となりますので、□×9÷2＝36 です。
よって、36×2÷9＝8 より、□は、8cmです。
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