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No.1037 日能研6・5年生 第29回算数対策ポイント!

<算数 6年生 第29回>

第29回は「平面図形 角度・合同・対称・対角線」です。ポイントは「角度を求める問題の解き方の完全定着」です。面積を求める問題同様、お子様が苦手意識を持ちやすい角度を求める問題ですが、入試で出題されることも多く、特にテストの前半で出されることが多い問題です。

ただ図をながめて頭の中だけで解くのではなく、面積を求める問題同様、問題文のヒントを図に書き込み、補助線を引いて角度や図形を分割したり、角度を求めるのに使える図形を作るといった作業が絶対に必要です。

何かに気づかないと、そこから先には一歩も進めないようなタイプの問題も多く含まれます。1つ1つどう補助線を引けばよいのかといった解法を確実にマスターしていきましょう。

【対策ポイント】

「考えよう1」は平行線と角の大きさの問題について、「考えよう2」は、多角形の内角・外角・対角線について、「考えよう3」は線対称・点対称について、「考えよう4」は二等辺三角形の利用について、そして「考えよう5」は合同な図形について学習します。

「考えよう1」では、補助線を引いて平行線を上手くつくることがポイントです。 (1)では、角xの部分と80度の部分にAD、BCと平行な補助線を引き、それぞれの角度を2つに分けて錯角を利用して解く方法が一般的です。また、なれると折れ線の左側にある角度の合計と右側にある角度の合計は同じになることから、80°+30°=x+45°でもとめることもできます。(2)では、折り返して裏返った部分と、なくなった部分の形は同じことを利用します。重なっているところは必ず二等辺三角形になることも覚えておきましょう。どちらもこれからのテストや模試、そして入試問題で多く問われるパターンです。

「考えよう2」では、多角形の内角・外角・対角線について演習します。まずは公式をしっかり使えるように覚えることが重要です。また、余裕があれば公式の導き方も説明できるようにしましょう。例えば内角の和であれば、N角形をいくつかの三角形に分けるという考え方が公式のもとですが、(N-2)の2を忘れてしまっても、四角形から逆算して公式を作れるようにしておくとよいでしょう。特に対角線の本数の公式はしっかり使えるようにしておきましょう。

「考えよう3」はいわゆる対称図形の問題です。線対称・点対称の意味を理解して、その違いを間違わないように注意しましょう。特に平行四辺形を線対称としてしまうミスがよくあります。線対称の対象軸と、対応する点(軸で折り曲げると重なる点)どうしを結んだ線は互いに垂直の関係にあることを忘れないでください。実際に線対称・点対称な図形を自分でかいてみるとより理解が深まります。特に志望校で作図の問題が含まれる場合は確実な理解が必要です。

「考えよう4」では二等辺三角形の発見が最重要です。図形問題で困ったときには二等辺三角形を探せ、と塾でも指導を徹底されるぐらいに大切ですので、ぜひ今回の演習で定着させておきましょう。特に(3)のような円やおうぎ形の中に三角形が含まれるかたちでは、半径はすべて同じ長さになることを利用するパターンで、入試でも頻出です。円やおうぎ形の中心と、円周上、弧の上にある点を結んで等しい長さの関係を見つけ出す習慣を確実に身につけておきましょう。

「考えよう5」の(1)は補助線を引いて直角二等辺三角形をつくって解く問題です。ただ線を引くだけではなく、2つの辺が等しいことと直角であることを説明できるようにしましょう。(2)と(3)は図形の分割です。(2)はおおよその形がかければ正解になりますが、(3)ではより精密さが必要となります。まず長方形の面積を2等分する線は必ず対角線の交点を通ります。この考え方は平面図形の問題でとてもよく使いますので、必ず覚えておきましょう。そのうえで図に対角線をかき込み、その交点とAを結ぶ流れとなります。問題にも「使用した線はそのままにしておきましょう。」とあるように、こうした作図問題では、図をかく流れが正確に把握できているかどうかが問われます。正しい手順で進めるように注意しましょう。

さらに、「深めよう1」は等しい角度の合計を利用する問題、「深めよう2」は辺の長さの合計を利用する問題を学習します。

「深めよう1」では、1つ1つの角度はわからなくても合計の角度なら求められるという、難度が少し上がった問題です。解き方を覚えてしまえば楽ではありますが、ただ覚えるのではなく、なぜそうなるのかという確認が必要です。どうしても解けないときは、勝手に角度を決めてしまうのも一つの手です。ただし、問題の条件が複雑になると使えなくなるので、あくまで奥の手としておきましょう。

「深めよう2」の(1)も、それぞれの辺の長さはわからなくても、合計の長さならわかります。辺の長さを求めることが出来る部分に辺を区切ると、よりわかりやすいでしょう。この考え方は、後に学習する立体図形などでも使います。確実に身につけておきましょう。演習では、194ページ~196ページの問1~問5の基本問題はもちろん、196ページ問7の六角形の辺をのばす問題、197ページ問9の折り曲げる問題、198ページ問12の二等辺三角形が複数ある問題、問13の角の合計問題、問14の正方形を利用した角度の和問題を学習状況に応じて学習すると良いでしょう。

特に問13は様々なバリエーションがある問題です。解き方も含めて確実に身につけましょう。余裕があるお子様は、199ページのオプションの四角形の分類や、「学びのとびら」の三角形の合同条件に目を通しておくとよいでしょう。特に三角形の合同条件はこれから使うケースが増えてきます。今のうちに理解しておくとよいでしょう。

<算数 5年生 第29回>

第29回のテーマは「平面図形・複合図形の面積」です。今回のポイントは「図形問題の解き方の手順を正しく身につける」です。

今まで習ってきた図形問題の総復習回とも言える回です。図形問題の解き方の基本である「求めることが出来る図形に分ける」「大きい図形から小さい図形を引く」「移動させてまとめる」の3つを自由に使えるように練習しましょう。特に前回学習した円・おうぎ形の公式を使うので、あやふやな場合は今回の復習にて確実に使えるようにしておきましょう。

【対策ポイント】

「学び1」では「移動させてまとめる」ことについて、「学び2」ではレンズ型の面積の求め方について学びます。

「学び1」では、「移動させてまとめる」工夫を練習します。特に円・おうぎ形の複合図形問題では移動させると面積が求めやすくなることが非常に多いので、まず移動させてひとまとめに出来ないかを考えましょう。実際、210ページ「やってみよう!」は5cm×10cmの長方形に、211ページ上段では半径18cm、中心角180°のおうぎ形に、211ページ下段では10cm×5cmの長方形に変形できます。基本の移動となるので、ぜひ見た瞬間に出来るようにしておきましょう。

「学び2」では、213ページの考え方のいずれでもレンズ型をもとめることが出来ますが、テストなどのことを考えるとBさんの考え方を、中学生以降のことを考えるとAさんの解き方をきちんと理解すればよいでしょう。Aさんの解き方は、半径10cm、中心角90°のおうぎ形から、一辺10cmの直角二等辺三角形を引いたもの2個分を引くことで出します。Bさんは正方形の面積から半径10cm、中心角90°のおうぎ形を引き、それを2倍したものを正方形から引くことで面積を求める方法です。

ただ、実際テストなどでは、レンズ型の面積(図形の色付き部分)は正方形の面積×0.57、白抜き部分1この面積は正方形の面積×0.215で求めることがほとんどです。これは、割合の考え方から求めることができます。ただし、この方法は円周率が3.14のとき限定の方法ですので、それ以外では使えないことに注意のうえ使えるようにするとよいでしょう。

演習では、215ページ問1の基本問題はもちろんのこと、218~219ページ問1・2の円・おうぎ形を組合せた図形の面積の問題、221ページの問5の直角三角形と半円2こがくっついた図形の面積問題(ヒポクラテスの月と呼ばれる有名図形です)を優先して取り組むとよいでしょう。テストで出やすい問題になります。特に218ページ問1の3では内側の正方形を動かすこと、4では円の中心から円周上の点に線を引いた上で長さを書き足すと解きやすくなります。

余裕があるお子様は、220ページ問3の円・おうぎ形の移動の応用問題、221ページ問6のおうぎ形と他の図形の複合問題、222ページ問7の面積の差を求める問題、223ページ問10の円の折返し問題に取り組むとよいでしょう。考え方も含めてテストや入試で出やすい問題です。

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