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第19回は『旅人算とグラフ(2)』です。今回は、池のまわりのような円周上の旅人算、一定の距離を往復する旅人算を学習します。
往復問題を理解することがポイントになります。出会う回数が増えるにつれて、時間がどのように増えていくのか、進む距離がどのようになるのか、をきちんと理解しましょう。
池のまわりを歩く旅人算です。
(1) P地点から、A君とB君が反対方向に進みます。2人の速度から、1分間に75＋60＝135mずつ（速度の和）離れていきます。
8分で出会いますから、2人が8分間で進んだ距離の和が、池1周分になります。
135×8＝1080より、池のまわりの長さは1080mです。
(2) 2回目に出会うのも、また8分かかりますので、2回目に出会うのは、出発して(8＋8＝)16分後です。A君の進んだ距離で考えたとき、A君は75×16＝1200m進んでいます。
1200－1080＝120より、P地点から120m先ですが、半周の1080÷2＝540より短いですから、計算結果をそのまま答えとすることができます。
答えは、P地点から120mのところです。
公園のまわりを、同じ方向にA、B、Cの3人が進む旅人算です。
(1) 毎分70mの速さで歩くAと、毎分250mの速さの自転車で進むCが、同じ地点から同時に同じ方向に出発します。ですから、CがAに追いつくのは、CがAより、1周分多く進むときです。
CはAより、1分間に250－70＝180m（速度の差）多く進み、1周の長さは900ｍですから、900÷180＝5より、CがAに追いつくのは5分後です。
(2) Cは(5＋4＝)9分後にBに追いつきますが、この9分でBとCの進んだ距離の差が公園のまわり1周分つまり、900mです。よって、900÷9＝100より、BとCの速さの差は毎分100mとわかります。
CがBに追いつくということは、Cの方が速いということですから、250－100＝150より、Bの走る速さは、毎分150mです。
往復の旅人算を学習します。往復する問題はこの後もよく出てきます。往復の動きを正確に理解するには、動きを表す線分図が有効です。予習シリーズ177ページの先頭にある説明および線分図をよく理解してください。特に、出会いのくり返し、追いこしのくり返しの際に、距離がどのように増えていくのかを線分図で理解してください。
2人の登場人物（太郎君と花子さん）が、はなれた2地点から向かい合って往復する問題です。
(1) 1800ｍ離れた2地点であるA地点とB地点から向かい合って同時に進みます。向かい合って進みますので、速度は和を考えます。
1800÷(70＋50)＝15より、2人がはじめて出会うのは、15分後です。
(2) 予習シリーズ177ページの解説にある線分図を参照してください。
2度目に出会うのは、1 度目に出会った後に、2人合わせて1往復したときです（ここがポイントです）。つまり、AB間の距離を2つ分進みます。1度目に出会うのは、2人合わせてAB間の距離を1つ分進むのにかかった15分ですから、2つ分では15×2＝30分かかります。
よって、2度目に出会うのは、スタートしてから、1度目に出会った時間の3倍の時間ですので、15×3＝45分後です。
花子さんは45分で、50×45＝2250ｍ進みますから、2250－1800＝450より、2人が2度目に出会うのは、A地点から450ｍのところです。
(3) 追いつく場合の問題です。はじめて追いつくのは、太郎君が花子さんより、AB間の距離を1つ分、つまり1800m多く進むときです（ここがポイントです）。
1800÷(70－50)＝90より90分後です。
向かい合って進む場合、(1)、(2)で考えたように、1度目の出会いは15分後、その後30分ごとに出会いますので、90分までには、15分後、45分後、75分後の3回出会うことになります。
整頓すると、離れた2地点から向かい合って往復する問題では、スタートして1度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を1つ分で、1度目の出会いから2度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を2つ分です（スタートしてからは3つ分）。
ですから、時間もスタートして1度目の出会いまでの時間を1とすると、1度目の出会いから2度目の出会いまでの時間は、2倍となります（スタートしてからは3倍）。
ダイヤグラムの問題です。
(1) 前問と同様、離れた2地点から向かい合って往復する問題です。2度目の出会いは、スタートしてから1度目の出会いにかかる時間の3倍の時間がかかります。
ダイヤグラムから、1度目の出会いは28分後です。よって、28×3＝84より、aは84(分)です。
(2) AB間は、11.2kmです。2度目に出会うまでに、太郎君は11.2×2－3.5＝18.9km進んでいます。この距離を84分で進みますので、18.9÷84/60＝13.5より、太郎君の速さは時速13.5kmです。また、花子さんは、11.2＋3.5＝14.7km進んでいます。よって、14.7÷84/60＝10.5より、花子さんの速さは時速10.5kmです(分数は、分子/分母の形で表しています)。
ダイヤグラムから折り返しの距離を求めることは、はじめのうちは難しく感じるかもしれません。それでも、慣れれば読み取れるようになりますので、くりかえし演習を重ねましょう。
第19回は『立方体と直方体の性質』です。立方体と直方体の各部分の名前や性質、展開図について、学習します。
まずは、予習シリーズ176ページの説明をよく読んで、面や辺や頂点、あるいはその他
の用語、性質がわかるようにしておきましょう。
直方体にひもをかける問題や、さいころの目の数を考える問題をきちんと解けるよう、
練習しましょう。また、立方体や直方体において、見取り図と展開図とで頂点の位置の関係は、上級学年でも重要になります。しっかり身に付けましょう。
直方体の辺の長さについての問題です。
(1) 直方体は、たて、横、高さの方向に辺があり、それぞれが4本ずつで立体が成り立っています。
たて20cm、横30cm、高さ15cmですから、これらの長さが4本ずつの合計を計算します。
(20＋30＋15)×4＝65×4＝260より、この直方体の辺の長さの合計は、260cmです。
(2) この直方体にリボンをかけたときの、リボン全体の長さを求める問題です。図に見えていない部分も考えてリボンのかけ方を確認します。
たて方向は下面も入れて2本で、20×2＝40cm。
横方向は下面も入れて2本で、30×2＝60cm。
高さ方向は左面・奥の面も入れて4本で、15×4＝60cm。
また、結び目の長さ20cmも入れることを忘れずに計算します。
40＋60＋60＋20＝180より、リボンは全部で180cm使いますが、長さ単位はmですので、答えは1.8mです。
立方体の展開図を学習します。予習シリーズ177ページから178ページの説明は、見取り図と展開図の関係を表していて、とても重要です。特に(性質3)の内容はとても有効ですので、しっかり理解しておきましょう。
見取り図と展開図の関係を考える問題です。なお、マルの中に数の入る記号は、メルマガでは使えませんので、マル1のように表します。
(1) 見取り図において平行な面は、展開図においては隣り合うことはなく、面が3つ以上連続している場合は、1つとばした面どうしが平行な面となります。よって、マル1の面とマル3の面、マル2の面とマル4の面は、それぞれ平行な面となります。
結果として、面ABCDと平行な面はマル5です。
(2) 予習シリーズ177ページから178ページの説明を使って解く問題です。
解答は、予習シリーズの解き方を参照して下さい。
立方体のさいころについての問題を学習します。
さいころの目の数を考える問題です。基本的に、さいころの目は対面（向かい合う面、平行な面）にかかれた目の数の和が7になっています。このことを利用して、解く問題です。
上段、下段の2つのさいころの、それぞれの側面の目の合計は、対面が上段に2組、下段に2組の合計4組あります。そこで、目の数に関係なく、和の7が4組ですので、7×4＝28です。
よって、表から見える9つの目の合計を最も大きくするには、上段の上の目の数を最大の6にすればよいのです。
28＋6＝34より、答えは、34です。
立体を切り開いた展開図について考えます。
スタートの正方形において、つながっている辺をもつ正方形をかきます。これをくり返すことにより、展開図をかくことができます。予習シリーズ180ページの解き方を参照して下さい。また、自分で実際にかいていくとコツがつかめます。
今回の内容は、簡単なようでいて、むずかしい問題へとつながっていきます。１つ１つをきちんと理解して、今後も使えるように心がけて進んでいきましょう。
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