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No.1060 日能研6・5年生 第38回算数対策ポイント!

<算数 6年生 第38回>

 第38回のテーマは「立体図形 水位と求積/比の利用」です。今回のポイントは、「水そうの水の変化問題の基本解法を確認、マスター」です。時間あたりの水量やグラフ、面積図の利用や比の利用など、点の移動や速さの問題と共通点が多い単元です。そのため、難関校入試で極めてよく問われます。今まで行ってきた速さ・点の移動問題との共通する計算、違う部分を意識しながら練習するとよいでしょう。また、グラフや図を利用した解き方もマスターしていきましょう!

【対策ポイント】

 「考えよう1」・「考えよう2」では底面や容器を変えたときの水の高さ問題を、「考えよう3」では水そうに棒を沈める問題を、「考えよう4」・「考えよう5」では容器の水の高さとグラフの関係を考える問題を学びます。

 「考えよう1」「考えよう2」では、直方体や円柱などの柱状の容器の場合、外に溢れたりしない限り、底面積×深さで求められる水の体積は一定になります。そこから、底面積と深さは逆比の関係になることを利用して問題を解きます。この逆比の関係を利用すると、体積を求めなくても答えを求めることができます。例えば「考えよう1」の(1)では、水の部分の体積を求めずとも、底面積の比が5×6:5×4=6:4=3:2より、深さを3×3/2=4.5(cm)と求めることができます。
 また、比が苦手なお子様の場合でも、容器から水がこぼれたり、取り出さない限り水の量は一定ということを知っておけば、様々な場面で役立つでしょう。

 「考えよう2」では円柱の問題を扱いますが、計算の工夫をできるだけ行うように注意が必要です。基本的な工夫としては、底面積の比が半径の比の2乗になることはもちろん、また、(2)では深さが同じということから、容器を2つ合体させてひとつの底面積にするという考え方が使えます。
 そして計算では、1×1×3.14×12で水の部分の体積を求めて、それを底面積の和である(1×1+2×2)×3.14で割る時に、それぞれを計算するのではなく、分数線を引いて分子に体積、分母に底面積の和の式を入れれば、3.14を消去でき、計算が圧倒的に楽になります。

 「考えよう3」では面積図の活用が必須です。面積図をかけば平均の問題と同じ要領で解くことができます。ポイントとなるのは、断面図のどの部分の面積が等しくなるかということ。その点は、冒頭の「学びのとびら」の1ページ目の下にわかりやすい図があります。このタイプの問題の面積図に自信がない場合は必ず目を通し、図の斜線部分が同じ面積になることを頭の中に刷り込んでおきましょう。

 「考えよう4」と「考えよう5」では、速さのグラフと同じように、高さの増減や、ペースが変わるのはなぜなのかを考えます。水を入れる割合が一定のままで水の高さが増えるペースが上がるのは、底面積が小さくなるためです。この点は理科の実験で使うビーカーや、家のお風呂などをイメージすればわかりやすいでしょう。
 グラフが折れるということは高さが増すペースが変わるということですから、水が一定量で注がれている場合では、底面積の大きさに変化が生まれたことになります。この理由を自分で説明できるようにしておきましょう。

 さらに、「深めよう1」では空気の部分と水の部分の体積比の問題を、「深めよう2」では立体の置き方と水量の差の比を考える問題を考えます。
 「深めよう1」では空気の部分と水の部分の体積の比で考えると、「考えよう1」同様、体積そのものを求めずに済みます。比を使わずに実数値を利用する場合、水より空気の部分に注目すると、かたちがシンプルなため解きやすくなります。立体のかたちをよく見て、水の部分か空気の部分のどちらが求めやすそうか判断できるようにしましょう。

 「深めよう2」は、そのまま入試に出ることもある典型題です。上昇した分の水の体積が、はじめに水面の上に出ていた部分の体積と同じであることが見抜けることが重要です。あとは「考えよう3」と同じように解けます。

 演習では、346ページ~349ページの問1~問7はもちろん、問9の棒を沈めるのを途中で止める問題、350問10の切断された立方体の個数を求める問題、350ページ問10の棒を沈めるタイプの応用問題、問11の仕切りがある水そう問題、351ページ問12の立方体の中点を切断して作った立方体の問題、問14の回転体の問題を学習状況に応じて演習しましょう。特に問11は数多くの学校で出題される典型題となっています。必ず解くようにしましょう。

 また、テキストにはありませんが、水そうを傾けて水をこぼす問題、水そうに棒を追加して入れていき、水面が棒の高さを超えるかを考えさせる問題などは必ず一度経験しておくべきでしょう。水そうとグラフの問題では、じゃ口が左右両側についている水そうや、床に穴があいて絶えず水がもれる水そうもよく出題される設定です。また、仕切り板が左右に動いたり、床がせり上がったり、円柱のまん中をたてに仕切る板が回転したりする設定が上位校の入試問題で目立ちます。これらの問題は本科テキストだけでは対応できません。志望校の傾向に応じて他の問題集などを活用して対策を立てる必要があります。

<算数 5年生 第38回>

 第38回のテーマは「売買損益」です。今回のポイントは、「売買の言葉の意味の理解と線分図を使った解き方のマスター」です。売買損益は割合を使った問題の中でも、テストで出題される頻度が高い単元です。引き続き、前回までに学習した割合の考え方と線分図をフル活用します。一方で、「利益」「原価」「定価」「売価」といった言葉は、大人にとっては常識ですが、小学生にとっては理解することから始める必要があります。線分図を使った説明と共に理解することが重要です。

【対策ポイント】

 「学び1」では商売の仕組みについて、「学び2」では原価と定価、利益の関係と線分図について学習します。

 「学び1」では、冒頭でお伝えしたように、まずは基本の用語と意味が理解できることが重要です。特に「定価」と「売価」の違いと「利益」の求め方は自分で説明できるようにしておきましょう。

 「学び2」では、実際に線分図を使って原価と定価、売価や利益の関係を表します。「状況1」「状況2」「状況3」の線分図をすぐにかけるよう練習を重ねましょう。特に、「状況3」の原価から定価、定価から売価と値段の設定が3段階になるタイプはテストや入試で頻出です。徹底的な練習と演習で必ずかけるように仕上げましょう。

 演習では、391~393ページ問1~問5、395~396ページ問1~3の基本問題はもちろん、396ページ問4・問5の損をするタイプの問題、問7の原価を自分でおくタイプの問題を徹底的に練習しましょう。
 特に原価を自分でおくタイプの問題は、前回の「もとにする量」をおく考え方を使います。確実に使えるよう練習しましょう。
 余裕があるお子様は、369ページ問9の個数がからむタイプの問題に取り組んでおきましょう。難関校入試でよく問われる問題です。

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